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Comment trouver ${operatorname{P.V.}{int_0^1} frac{1}{x (1-x)}{i1}arctan{i} gauche (frac{i}8 x^2-4 x^3+14 x-8}{2 x^4-3 x^3-11 x^2+16 x+16}rright) textrm{d}x$ ?

Gardez votre attention car dans cette actualité, vous trouverez le résultat que vous recherchez. Cette déclaration a été analysée par nos experts pour garantir la qualité et l'exactitude de notre publication.

Solution :

Trop long pour un commentaire.

Depuis
$$T(x)=dfrac{-4x^3 +8x^2+14x-8}{2x^4-3x^3-11x^2+16x+16}
=dfrac{R(x)-S(x)}{1+R(x)S(x)},$$


$$R(x)=dfrac2{x^2-x-4},quad S(x)=dfrac{4x}{2x^2-x-4},quad xin[0,1],tag1$$$
(pointé par Sophie), puis
$$arctan T(x) = arctan R(x) - arctan S(x),$$
(voir aussi le graphique WA)

Décomposition de l'arctangent

$$I=intlimits_0^1arctan T(x) ; dfrac{text dx}{x(1-x)}
=intlimits_0^1arctan T(x);left(dfrac1x+dfrac1{1-x}right),text dx,
$$
$$
I=intlimits_0^1big(2arctan R(x)-arctan S(x)-arctan S(1-x)big) ; dfrac{text dx}{x},tag2$$$


$$S(1-x)=dfrac{4-4x}{2x^2-3x-3}.tag{1a}$$
Cette transformation rend l'intégrale convergente, et l'intégration numérique donne .
$$Iapprox 0.10345,99740,30782,04062,03377,83301,52783,80081,8.$$
Le résultat obtenu correspond exactement à la valeur OP.

Cependant, le résultat analytique n'est pas obtenu.

On peut en plus décomposer les arctangentes de $;R(x),S(x),S(1-x);$ aux termes élémentaires.

En supposant que
$$R(x) = dfrac{(a+2cx)+(b-2cx)}{1-(a+2cx)(b-2cx)},$$
et en tenant compte des coefficients de proportionnalité, on peut obtenir
$$
begin{cases}
a+b=8c^2
2c(b-a)=4c^2{c^2}
ab-1=16c^2
c>0
end{cases}Flèche droite
begin{cases}
a=4c^2-c
b=4c^2+c
16c^4-17c^2-1=0\
c>0
end{cases}
$$
$$
c=sqrt{dfrac{sqrt{353}+17}{32}}approx1.05753,68526,tag3
$$
$$
a=4c^2-c,Nquad b=4c^2+c,$$
$$arctan R(x)=arctan(a+2cx)+arctan(b-2cx),$$$$arctan R(x)=arctan(4c^2+c(2x-1))+arctan(4c^2-c(2x-1)).tag4$$

De même, en supposant
$$S(x) = dfrac{-4x}{-2x^2+x+4} = dfrac{(gx+d)+(hx-d)}{1-(gx+d)(hx-d)},$$
on peut obtenir
$$
begin{cases}
g+h=-(1+d^2)
4d(g-h)=1+d^2N
2gh=1+d^2
d>0
end{cases}Flèche droite
begin{cases}
(2g+1)+(2h+1)=-2d^2{i}
(2g+1)(2h+1)=1
2d((2g+1)-(2h+1))=1+d^2
d>0,
end{cases}
$$
$$
begin{cases}
(2g+1),(2h+1)=-d^2pmsqrt{d^4-1}
4dsqrt{d^4-1}=1+d^2
d>0,
end{cases}
begin{cases}
16d^4-17d^2-1=0\
g,h=dfrac{-(1+d^2)pmsqrt{d^4-1}}2
d>0,
end{cases}
$$
$$
g,h=dfrac{1+d^2}{-(1+d^2)mpsqrt{d^4-1}} =dfrac{4d}{-4dmp1},
$$
$$
d=sqrt{dfrac{sqrt{353}+17}{32}}=c,quad g = -dfrac{4c}{4c+1},quad h = -dfrac{4c}{4c-1},
$$
$$
arctan S(x) = arctan(gx+d)+arctan(hx-d)
$$
$$
arctan S(x) = arctandfrac{4c^2+c-4cx}{4c+1}-arctandfrac{4c^2-c+4cx}{4c-1} tag5
$$
$$
arctan S(1-x) = arctandfrac{4c^2-3c+4cx}{4c+1}-arctandfrac{4c^2+3c-4cx}{4c-1} .tag6
$$

Les intégrales obtenues permettent un calcul analytique via la fonction logarithmique intégrale d'argument complexe.

Intégration d'analyse

En prenant les parties réelles, on peut obtenir
$$J(p,q,x) = int arctan(px+q),dfrac{text dx}{x}=J_1(p,q,x)+J_2(p,q,x)+J_3(p,q,x),tag7$$$.

$$J_1(p,q,x) = (ln p+ln x)arctan(px+q),$$$$J_2(p,q,x)=dfrac12Imleft(text{Li}_2left(1+dfrac{px}{q-i}right)-text{Li}_2left(1+dfrac{px}{q+i}right)right),
$$
$$
J_3(p,q,x)=dfrac12Imbig(ln(q+i)ln(1-i(px+q))-ln(q-i)ln(1+i(px+q))big). $$$

De $(4),(5),(6)$ devrait que le terme avec x;ln x;$ n'influence pas l'intégrale définie du but.
Par conséquent, nous pouvons supposer
$$J_1(p,q,1)-J_1(p,q,0) = ln parctan,dfrac p{1+(p+q)q}.tag8$$
Aussi,
$$J_2(p,q,1)-J_2(p,q,0) = dfrac12Imleft(text{Li}_2left(1+dfrac{p}{q-i}right)-text{Li}_2left(1+dfrac{p}{q+i}right)right),$$$$J_3(p,q,x) = dfrac12Imbigg(ln(q+i)ln(1-i(px+q))+ln(q+i)ln(1+i(px+q))
$$
$$
-ln(q+i)ln(1+i(px+q))-ln(q-i)ln(1+i(px+q))bigg)$$$.
$$= dfrac12Imbigg(ln(q+i)ln(1+(px+q)^2)-ln(q^2+1)ln(1+i(px+q))bigg),$$$$J_3(p,q,1)-J(p,q,0)
= dfrac12Imbigg(ln(q+i)ln,dfrac{1+(p+q)^2}{1+q^2}-ln(q^2+1)lndfrac{1+i(p+q)}{1+iq}bigg)
$$
$$
= dfrac12Imbigg(ln(q+i)ln,(1+(p+q)^2)-ln(q^2+1)lndfrac{(1+i(p+q))(q+i)}{1+iq}bigg)
$$
$$
= dfrac12Imbigg(ln(q+i)ln,(1+(p+q)^2)-ln(q^2+1)lndfrac{(1+i(p+q))(q+i)(1-iq)}{1+q^2}bigg)
$$
$$
= dfrac12Imbigg(ln(q+i)ln,(1+(p+q)^2)-ln(q^2+1)ln((q+i)^2(p+q-i)) bigg)
$$

Mais cette approche est en contradiction avec les exigences de l'OP.

Voici une réponse complète et détaillée respectant les règles du PO.
comme vu dans la révision #1:

https://math.stackexchange.com/posts/4007626/revisions

La condition ajoutée particulière de "ne pas utiliser les nombres complexes" est arrivée après quelques heures.

Quelques différences entre les révisions

Il est facile d'ajouter ces $39$ sans suggérer pourquoi ou comment cela devrait fonctionner.

Mais bon, quand même, il y a certainement un moyen d'" éviter ".$Bbb C$" ci-dessous,
en utilisant un langage désordonné.
Tout ce dont j'ai besoin, c'est d'une forme proche pour une fonction primitive
pour avec $F$ rationnelle. On peut écrire cette fonction primitive
comme s'il n'y avait pas de nombres complexes sur ce monde.
Le lecteur qui veut vraiment le faire peut le faire, il suffit d'écrire les formules pour
la partie réelle et pour la partie imaginaire du logarithme et du dilogarithme. (Puis de travailler avec eux.)
Par exemple, pour
$z=r(costheta+isin theta)inBbb C$ nous avons des fonctions réelles explicites
$zto|z|$ et $zoperatorname{arg}z$ et la formule
$log (r(costheta+isin theta))=log r +itheta$ peut être écrite sans
utiliser les nombres complexes, quand on a seulement besoin de $log z$ et $log^2 z$ mais où est l'intérêt
à le faire ? !

Je vais donc écrire ces primitives en utilisant des nombres complexes,
puisque ma préoccupation est plutôt sur les idées concises, pas sur le typage pour éviter les $i$,
et puisque ma main doit taper tous ces trucs,
d'une ampleur qui contraste fortement avec le PO en termes de détails et de précision.
L'OP ne mentionne même pas d'essai, et - soit dit en passant - ne satisfait à (m)aucune des lignes directrices communes actuelles de ce site.

La réponse acceptée utilise également <>Im$ donc je vais le faire aussi. Nous voyons les nombres
et prouver le résultat comme indiqué. Bien, avec des nombres complexes.


Outline :

  • $(1)$ Utiliser le fractionnement de Sophie, qui mérite sa propre ligne :
    $$
    tag{$1$}
    arctan h(x) = arctan 2{x^2-x-4}-arctanfrac{4x}{2^2-x-4} .
    $$

  • $(2)$ Débarrassez-vous du P.V. en résolvant les singularités. Pour cela, écrivez $frac 1{x(1-x)}$
    comme $frac 1x+frac1{1-x}$, pour les expressions dans utilisez la substitution
    $y=1-y$ et résoudre la singularité uniqe qui vient de $frac 1x$.
    Ceci conduit à une expression de l'intégrale donnée $J$ sous la forme
    $$
    tag{$2$}
    J = 2J_1-J_2-J_3 ,
    $$

    $J_1$ est une intégrale de $displaystylefrac 1xarctan F(x)$ sur $[0,1]$,
    et $J_2,J_3$, sont similaires, en remplaçant la fonction rationnelle $F$ par d'autres fonctions rationnelles $G,H$.

  • $(3)$ Utilisez
    $$
    tag{3$}
    arctan t = frac 1{2i}logfrac{1+it}{1-it}
    $$

    pour passer de $arctan$ à $log$ qui peut encore être divisé.

  • $(4)$ Écrire
    $$
    tag{4}
    frac {1+iF(x)}{1-iF(x)}=frac{a_3a_4}{a_1a_2}cdotfrac{(x-a_1)(x-a_2)}{(x-a_3)(x-a_4)} ,
    $$

    et diviser le logarithme. De même pour $G,H$, où les
    valeurs $b_1,b_2,b_3,b_4$ et $c_1,c_2,c_3,c_4$ apparaissent. Puis on intègre les pièces en utilisant la formule :

  • $(5)$$$
    tag{$5$}
    intfrac 1xlog(x-a) ; dx
    % = log(x-a)log frac xa
    % +operatorname{Li}_2left(1-frac xaright) + C'''
    % =
    % log(x-a)log frac xa
    % -operatorname{Li}_2left(frac xaright) + C'
    % -logleft(1-frac xaright)logfrac xa
    % =
    % log(-a)logfrac xa -operatorname{Li}_2left(frac xaright) + C'
    =
    log(-a)log x -operatorname{Li}_2left(frac xaright) + C
    .
    $$

  • $(6)$ On a explicite des nombres réels pour les intégrales $J_1,J_2,J_3$. jusqu'à présent.
    Nous travaillons plutôt en $iBbb R$, vu comme $Bbb Ccong Bbb Roplus iBbb R$ pris en modulo
    le premier $oplus$ composant $Bbb R$.
    Ces intégrales sont des sommes de termes faisant intervenir des dilogarithmes et des produits de deux logarithmes,
    calculés en des points qui sont des expressions dans $a_1,a_2,a_3,a_4$ pour $J_1$ et de même pour $J_2,J_3$.
    On utilise les identités dilogarithmiques pour se débarrasser de toutes les valeurs du dilogaritme.
    Les propriétés du dilogarithme, permettant d'exprimer. <>Nom de l'opérateur{Li}_2(1-z)$ et $operatorname{Li}_2(1/z)$ en termes de $operatorname{Li}_2 z$,
    sont utiles :

    • dlmf.nist.gov/25.12 et
    • mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html et
    • mathworld.wolfram.com/Dilogarithme.html
  • $(7)$ Nous présentons une simple relation cachée entre les "$a,b,c$-valeurs",
    qui conduit immédiatement à la simplification des produits logarithmiques.

Allons-y.


  • $(1)$ et $(2)$

Laissez $J$ soit l'expression donnée
$$
J = lim_{epsilonsearrow 0}int_{0+epsilon}^{1-epsilon} frac 1 {x(1-x)}arctan underbrace{frac{-4x^3 +8 x^2 +14 x-8}{2 x^4-3 x^3-11 x^2+16 x+16} }_{h(x)} ;dx
.
$$

Je déteste le P.V. - donc on se sépare. $displaystyle frac 1{x(1-x)}=frac 1x+frac 1{1-x}$
et par conséquent l'intégrale en deux morceaux.
Les valeurs particulières de $h$ en zéro et un sont $h(0) = -8/16=-1/2$, $h(1) = 10/20=1/2$. Donc $h(0)+h(1)=0$. ce qui donne
$$
begin{aligned}
J &=
lim_{epsilonsearrow 0}
int_{0+epsilon}^{1-epsilon} frac 1x(arctan h(x)-arctan h(0)) ; dx

&qquadqquad+
lim_{epsilonsearrow 0}
int_{0+epsilon}^{1-epsilon} frac 1{1-x}(arctan h(x)- arctan h(1)) ; dx

&=
int_0^1 frac 1x(arctan h(x)-arctan h(0)) ; dx
+
int_0^1 frac 1{1-x}(arctan h(x)-arctan h(1)) ; dx

&=
int_0^1 frac 1x(arctan h(x)-arctan h(0)) ; dx
+
int_0^1 frac 1x(arctan h(1-x)-arctan h(1)) ; dx

&=
2
underbrace{N-int_0^1frac 1xarctan frac {x^2-x}{2(x^2-x-5)} ; dx}_{J_1}

&N-qquadN-qquad-
underbrace{int_0^1frac 1xarctan frac {4x}{2x^2-x-4} ; dx}_{J_2}

& N-qquadN-qquadN-qqquad-
.
end{aligned}
$$
Lors de la dernière étape, nous avons utilisé en premier lieu
le fractionnement de Sophie, qui mérite à nouveau sa propre ligne :
$$
arctan h(x) = arctan 2{x^2-x-4}-arctanfrac{4x}{2^2-x-4} ,
$$

pour défaire les chicanes dans l'expression de l'intégrale.

(Mon intérêt pour ce problème est venu du calcul explicite des intégrales séparées. $J_1$, $J_2$, $J_3$.
Oui, c'est possible.)


  • $(3)$

Maintenant, nous utilisons $displaystylearctan t = frac 1{2i}logfrac{1+it}{1-it}$,
remplacer chaque $arctan par $log$, diviser chaque ${log$} en calculant les racines des équations du
second degré pour les trois fonctions
$$
begin{aligned}
F(x) &=frac {x^2-x}{2(x^2-x-5)} , N
G(x) &=frac {4x}{2x^2-x-4} ,
H(x) &= frac {8x^2-24x}{6x^2+7x-25} .
end{aligned}
$$

("Les périodes" peuvent être introduites, mais ne le seront pas, les vérifications numériques finales suffisent).


  • $(4)$:

Nous avons explicitement :
$$
begin{aligned}
frac {1+iF(x)}{1-iF(x)} &= frac{a_3a_4}{a_1a_2}cdotfrac{(x-a_1)(x-a_2)}{(x-a_3)(x-a_4)} ,N
frac {1+iF(x)}{1-iF(x)} &= frac{b_3b_4}{b_1b_2}cdotfrac{(x-b_1)(x-b_2)}{(x-b_3)(x-b_4)} ,
frac {1+iF(x)}{1-iF(x)} &= frac{c_3c_4}{c_1c_2}cdotfrac{(x-c_1)(x-c_2)}{(x-c_3)(x-c_4)} ,
end{aligned}
$$


$$
begin{aligned}
a_1 &= frac 12(1 - sqrt{17-8i}) , &
a_3 &= frac 12(1-sqrt{17+8i})=bar a_1
a_2 &= frac 12(1 + sqrt{17-8i}) , &
a_4 &= frac 12(1+sqrt{17+8i})=bar a_2 ,
[2mm]
b_1 &= frac 14(1-4i - sqrt{17-8i}) , &
b_3 &= frac 14(1+4i - sqrt{17+8i})=bar b_1 ,
b_2 &= frac 14(1-4i + sqrt{17-8i}) , &
b_4 &= frac 14(1+4i + sqrt{17+8i})=bar b_2 ,
[2mm]
c_1 &= frac 14(3+4i - sqrt{17-8i}) , &
c_3 &= frac 14(3-4i - sqrt{17+8i})=bar c_1 ,
c_2 &= frac 14(3+4i + sqrt{17-8i}) , &
c_4 &= frac 14(3-4i + sqrt{17+8i})=bar c_2 .
end{aligned}
$$

On peut remplacer la racine carrée $sqrt{17-8i}$ par sa version longue, en utilisant :
$$
begin{aligned}
2Re sqrt{17-8i} & = sqrt{17-8i}+sqrt{17+8i}
= sqrt{\N- left(sqrt{17-8i} + sqrt{17+8i}N-right)^2\}
&=sqrt{34+2sqrt{17^2+8^2}}=sqrt{34+2sqrt{353}} ,
[3mm]
2iIm sqrt{17-8i} & = sqrt{17-8i}-sqrt{17+8i}
=frac{(17-8i)-(17+8i)}{sqrt{34+2sqrt{353}}}
&=-isqrt{-34+2sqrt{353}} .
end{aligned}
$$


  • $(5)+(6)$:

Nous calculons $J_1$, $J_2$, $J_3$ dans une certaine mesure. En fait, je voulais calculer $J_1$ de manière explicite,
et c'est possible, nous avons une formule proche pour cela impliquant les fonctions
$log$ et $arctan$ à des endroits particuliers. Pour $J_2$, $J_3$ individuellement, nous devons
ajouter le dilogarithme.

  • $(5)+(6)$Le calcul de $J_1$:

Nous avons rassemblé tous les ingrédients. On envisage les calculs suivants
dans $iBbb R$ modulo la partie réelle $Bbb R$ et nous écrirons $equiv$ pour ce
calcul modulo.

Soit $a$ est un nombre dans la liste $a_1,a_2;a_3,a_4$. Ensuite,
$$
intfrac 1xlog(x-a) ; dx
% = log(x-a)log frac xa
% +operatorname{Li}_2left(1-frac xaright) + C'''
% =
% log(x-a)log frac xa
% -operatorname{Li}_2left(frac xaright) + C'
% -logleft(1-frac xaright)logfrac xa
% =
% log(-a)logfrac xa -operatorname{Li}_2left(frac xaright) + C'
=
log(-a)log x -operatorname{Li}_2left(frac xaright) + C
.
$$

La primitive ci-dessus a un sens dans $x=1$. Pour $xto 0$ on peut avoir des problèmes avec $x à 0$ ,
mais il n'y en a aucun après avoir considéré toutes les contributions de $logleft(frac{a_3a_4}{a_1a_2}cdotfrac{(x-a_1)(x-a_2)}{(x-a_3)(x-a_4)}right)$
au facteur $log x$:

$$
lim_{epsilonto 0}int_epsilon^1frac1xlogfrac{x-a}{-a}; dx
=-operatorname{Li}_2left(frac 1aright) ,
$$
puisque les deux $logepsilon$ s'annulent finalement.

Notez que $(a_1,a_3)$ et $(a_2,a_4)$. sont des paires de nombres complexes
complexes conjugués, $a_1=bar a_3$, $a_2=bar a_4$.
Le résultat de l'intégration est donc
dans $iBbb R$:
$$
begin{aligned}
2i ; J_1
&= 2i;int_0^1frac 1xarctan F(x) ; dx
&= 2i;int_0^1frac 1xlogleft( frac{a_3a_4}{a_1a_2}cdotfrac{(x-a_1)(x-a_2)}{(x-a_3)(x-a_4)}right) ; dx
&=
-operatorname{Li}_2left(frac 1{a_1}right)
-operatorname{Li}_2left(frac 1{a_2}right)
+operatorname{Li}_2left(frac 1{a_3}right)
+operatorname{Li}_2left(frac 1{a_4}right)

&equiv
-2operatorname{Li}_2left(frac 1{a_1}right)
-2operatorname{Li}_2left(frac 1{a_2}right) text{ puisque $a_3=barre a_1$ et $a_4=barre a_2$}

&=
2contrepoint{
(operatorname{Li}_2(a_1)
+operatorname{Li}_2(1-a_1))}_{pi^2/6 -log a_1log a_2}
&N-qquadN-qquad
+log^2 (-a_1)+log^2(-a_2)

&qquadqquadtext{ et on peut s'arrêter ICI, mais optionnellement obtenons $J_1$ explicitement.}

&equiv
-2log a_1log a_2

&qquadqquad
+
log^2 a_1+log^2a_2 +2ipilogfrac{a_2}{a_1}

& equiv
log^2frac{a_1}{a_2}
+2ipilogfrac {a_2a_4}{a_1a_3}

&=
log^2frac {a_1^2}{a_1a_2}
-2pi ilogfrac {a_1^2a_3^2}{a_1a_2a_3a_4}

&=
log^2frac {a_1^2}{-4+2i}
-2pi ilogfrac {a_1^2a_3^2}{20}

&equiv
left(
frac 12
logfrac
{(1 - sqrt{34+2sqrt{353}} + sqrt{353})^2}
{4^2cdot 20}
+
ileft(2operatorname{arg}(a_1)+arctanfrac 12-piright)right)^2

&qquad
-ipi ;
logfrac{(1 - sqrt{34+2sqrt{353}} + sqrt{353})^2}{4^2cdot 20}

& equiv
i
logfrac
{(1 - sqrt{34+2sqrt{353}} + sqrt{353})^2}
{4^2cdot 20}
cdot
left(2operatorname{arg}(a_1)+arctanfrac 12-2piright)
.
end{aligned}
$$ Nous avons utilisé $a_1+a_2=1=a_3+a_4$, $a_1a_2=-4+2i$, , $a_3a_4=-4-2i$, , $a_1a_2a_3a_4=20$.

Ici, $operatorname{arg}(a_1)$ est explicite, il suffit d'utiliser la partie réelle et la valeur absolue
(ou la partie imaginaire à la place) pour écrire ceci comme une valeur de l'élément $arcsin$ ou $arccos$
ou
$arctan$:
$$
begin{aligned}
Re a_1 &=a_1+a_3=1-frac 12sqrt{34+2sqrt{353}})\, ,N
|a_1|^2 &= a_1bar a_1 =a_1a_3 = frac 14(1-sqrt{34+2sqrt{353}}+sqrt{353}) .
end{aligned}
$$
Notez que nous devons faire attention au signe qui est pris dans chacun des cas. $log(-a_j)=log(a_j)pmlog(-1)$. Le signe est le plus pour $a_2,a_3$
et moins pour $a_1,a_4$.

Le résultat est un élément dans $iBbb R$. Le site
$arctanfrac 12$ vient lors de la récupération de l'argument pour
$displaystyle
frac{-4-2i}{-4+2i}=
frac{-2-i}{-2+i}=
frac{(2+i)^2}{2^2+1^2}$
, qui est le double de l'argument de
$2+i$.


Pour une vérification numérique, regardez dans la version précédente de cette réponse éditée.
(Ou dans le bloc commenté de cette version).
Beaucoup de travail. $$
Vérification numérique pour $J_1$. Nous utilisons sage.
%
% F = 1/2*(x^2 - x)/(x^2 - x - 5)
% a1, a2 = ((1+i*F)/(1-i*F)).numerator() .roots(multiplicities=False, ring=QQbar)
% a3, a4 = ((1+i*F)/(1-i*F)).denominator().roots(multiplicities=False, ring=QQbar)
%
% A1, A2, A3, A4 = a1.n(200), a2.n(200), a3.n(200), a4.n(200) # approximations
%
% J1 = integral( atan(F(x)) / x, x, 0, 1, hold=True ).n(200)
% print(f'Numerical value of J1 is:n{J1}')
%
% def T(a) : return -dilog(1/a)
% J1_v1 = 1/(2*i) * ( T(A1) + T(A2) - T(A3) - T(A4) )
% print(f'La valeur numérique de J1 réécrite en tant que somme signée de valeurs dilog est:n{J1_v1}')
%
% J1_v2 = 1/(2*i) * ( dilog(A1) + dilog(A2) - dilog(A3) - dilog(A4)
% + 1/2 * ( log(-A1)^2 + log(-A2)^2 - log(-A3)^2 - log(-A4)^2 ) ) )
% print(f'La valeur numérique de J1 réécrite en tant que somme signée des valeurs dilog et log est:n{J1_v2.n(200)}')
%
% J1_v3 = 1/(2*i) * ( -log(A1)*log(A2) + log(A3)*log(A4)
% + 1/2 * ( log(-A1)^2 + log(-A2)^2 - log(-A3)^2 - log(-A4)^2 ) )
% print(f'Numerical value of J1 rewritten using only log values is:n{J1_v3.n(200)}')
%
% J1_v4 = 1/(2*i) * 1/2 * ( log(A1/A2)^2 - log(A3/A4)^2 + 2*i*pi*log(A2*A4/A1/A3))
% print(f'La valeur numérique de J1 réécrite en tant que somme signée de valeurs logarithmiques est:n{J1_v4.n(200)}')
%
% J1_v5 = 1/(2*i) * ( 1/2*log( A1^2/(-4 + 2*i) )^2 - 1/2*log( A3^2/(-4 - 2*i) )^2
% - i*pi * log(A1^2*A3^2 / 20 ) )
% print(f'Numerical value of J1 rewritten is:n{J1_v5.n(200)}')
%
% s = sqrt(353)
% S = sqrt(34 + 2*s)
% E = (1 - S + s)^2/16/20
% J1_v6 = 1/2 * ( log(E) * ( 2*A1.argument() + atan(1/2) - 2*pi ) ).n(200)
% print(f'Numerical value of J1 from explicit formula is:n{J1_v6.n(200)}')
%
% Cela donne les confirmations :
%
% La valeur numérique de J1 est :
% 0.048392365330461616
% La valeur numérique de J1 réécrite en tant que somme signée des valeurs dilog est :
% 0.048392365330461619161981331382180296201063587714971948595743
La valeur numérique de J1 réécrite en tant que somme signée des valeurs dilog et log est de :
% 0.048392365330461619161981331382180296201063587714971948595740
La valeur numérique de J1 réécrite en utilisant uniquement les valeurs logarithmiques est de :
% 0.048392365330461619161981331382180296201063587714971948595742
La valeur numérique de J1 réécrite en tant que somme signée de valeurs logarithmiques est de
% 0.048392365330461619161981331382180296201063587714971948595755
% La valeur numérique de J1 finalement réécrite est :
% 0.048392365330461619161981331382180296201063587714971948595755
La valeur numérique de J1 à partir de la formule explicite est de :
% 0.048392365330461619161981331382180296201063587714971948595743
%
Comme je m'intéresse à la K-théorie des champs de nombres, ici le champ de nombres concerné est le champ
% $F$ associé au polynôme $x^4 - 34x^2 + 353$, l'effondrement des termes dilog ci-dessus
est une telle pitance.(Bien que l'effondrement soit une instance de la K-théorie, nous utilisons la relation symbolique en
% $K_2(F)$ écrite sous la forme $[a]+[1-a]=0$, en termes ad-hoc signifiant que $operatorname{Li}_2(a)+operatorname{Li}_2(1-a)$
est une somme de "polylogarithmes plus simples", donc je ne suis pas si déçu).
$$


  • $(5)+(6)$Le calcul de $J_2$
    et
    $J_3$
    :

De la même manière, on obtient : $$
begin{aligned}
2i ; J_2
&= 2i;int_0^1frac 1xarctan G(x) ; dx
&= 2i;int_0^1frac 1xlogleft( frac{b_3b_4}{b_1b_2}cdotfrac{(x-b_1)(x-b_2)}{(x-b_3)(x-b_4)}right) ; dx
&=
-operatorname{Li}_2left(frac 1{b_1}right)
-operatorname{Li}_2left(frac 1{b_2}right)
+operatorname{Li}_2left(frac 1{b_3}right)
+operatorname{Li}_2left(frac 1{b_4}right)

&equiv
-2operatorname{Li}_2left(frac 1{b_1}right)
-2operatorname{Li}_2left(frac 1{b_2}right)

&=
2operatorname{Li}_2(b_1)
+2operatorname{Li}_2(b_2)
&N-qquadN-qquad
+log^2 (-b_1)+log^2(-b_2) ,
[3mm]
2i ; J_3
&= 2i;int_0^1frac 1xarctan H(x) ; dx
&= 2i;int_0^1frac 1xlogleft( frac{c_3c_4}{c_1c_2}cdotfrac{(x-c_1)(x-c_2)}{(x-c_3)(x-c_4)}right) ; dx
&=
-operatorname{Li}_2left(frac 1{c_1}right)
-operatorname{Li}_2left(frac 1{c_2}right)
+operatorname{Li}_2left(frac 1{c_3}right)
+operatorname{Li}_2left(frac 1{c_4}right)

&=
-2operatorname{Li}_2left(frac 1{c_1}right)
-2operatorname{Li}_2left(frac 1{c_2}right)

&=
2operatorname{Li}_2(c_1)
+2operatorname{Li}_2(c_2)
&N-qquadN-qquad
+log^2 (-c_1)+log^2(-c_2) ,
[3mm]
2i(J_2+J_3)
& Èquiv
2cdot
N- Underbrace{(
operatorname{Li}_2(b_1)
+operatorname{Li}_2(c_2))}_{pi^2/6 -log b_1log c_2}

&+2cdot
N- Underbrace{(
operatorname{Li}_2(c_1)
+operatorname{Li}_2(b_2))}_{pi^2/6 -log c_1log b_2}
&N-qquadN-qquad
+log^2 (-b_1)+log^2(-b_2)
+log^2 (-c_1)+log^2(-c_2)

&qquadqquadqquadtext{ puisque $b_1+c_2=1=b2+c_1$}

&equiv
-2log b_1log c_2 - 2log c_1log b_2
&N-qquadN-qquad
+log^2 (-b_1)+log^2(-b_2)
+log^2 (-c_1)+log^2(-c_2)

&equiv
-2log b_1log b_2
-2log b_1log c_2 - 2log c_1log b_2
-2log c_1log c_2
&qquadqquad
+log^2 (-b_1)+log^2(-b_2) + 2log b_1log b_2
&qquadqquad
+log^2 (-c_1)+log^2(-c_2) + 2log c_1log c_2

&equiv
-2(log b_1 + log c_1)(log b_2 + log c_2)
&N-qquadN-qquad
+log^2 (-b_1)+log^2(-b_2) + 2(log(-b_1) - ipi)(log(-b_2) - ipi)
&qquadqquad
+log^2 (-c_1)+log^2(-c_2) + 2(log(-c_1) + ipi)(log(-c_2) + ipi)

& equiv
-2(log b_1 + log c_1)(log b_2 + log c_2)
&qquadqquad
+(log (-b_1)+log(-b_2))^2 - 2pi i(log(-b_1) + log(-b_2))
&qquadqquad
+(log (-c_1)+log(-c_2))^2 + 2pi i(log(-c_1) + log(-c_2))

&=
-2log (b_1 c_1)log (b_2 c_2)
&qquadqquad
+(log (b_1b_2)+0pi i)^2 - 2pi i(log(b_1b_2)+0pi i)
&qquadqquad
+(log (c_1c_2)-2pi i)^2 + 2pi i(log(c_1c_2)-2pi i)

&=
-2log (b_1 c_1)log (b_2 c_2)
&qquadqquad
+log^2 (-2) - 2pi ilog(-2)
&N-qquadN-qquad
+gauche(log frac {-3+4i}2 -2pi iright)^2 + 2pi igauche(log frac {-3+4i}2 - 2pi iright)

&=
-2log (b_1 c_1)log (b_2 c_2)
&N-qquadN-qquad
+(log 2 +ipi)^2 - 2pi i(log 2+ipi)
&qquadqquad
+ left(log frac 52 +ipi - iarctan frac 43 -2pi iright)^2
+ 2pi ileft(log frac 52 +ipi - iarctan frac 43 -2pi iright)

&equiv
-2log (b_1 c_1)log (b_2 c_2)
&qquadqquad
+2pi i log 2 - 2pi ilog 2
&qquadqquad
- 2i log frac 52left(pi +arctan frac 43right)
+ 2pi i log frac 52

& equiv
-2log (b_1 c_1)log (b_2 c_2)
&qquadqquad
- 2i log frac 52arctan frac 43

&equiv
-2log (b_1 c_1)log (b_2 c_2)
&qquadqquad
- 4i log frac 52arctan frac 12
.
end{aligned}
$$ Aucune étape intermédiaire n'a été omise. Ce qui précède montre comment un morceau du résultat final entre en jeu.

Ce qui précède donne est une valeur plus ou moins explicite de la somme. $(J_2+J_3)$.


  • $(7)$:

Nous sommes en mesure de mettre tout cela ensemble. Pour cela, les relations simples suivantes
reliant les
$(a,b,c)$
-valeurs libèrent la porte dans le mur :
$$
N-boxed{i1}N{i1}quad b_1c_1=frac 12 a_1^2qquad{i0} et }N{i1}quad b_2c_2=frac 12a_2^2\N .qquad}
$$
On peut le vérifier à la main ou par ordinateur.
C'était dans ma réponse initiale le pont manquant pour arriver à la fin.
(En l'ayant, tous les calculs peuvent être dirigés vers la cible,
donc la réponse a été radicalement changée dans la forme, mais pas dans les idées).

L'utiliser, et mettre tout en commun :$$
begin{aligned}
2i J
&=
2i(2J_1-J_2-J_3)

&=2icdot 2J_2 - 2i(J_2+J_3)

&equiv
- 4 log a_1log a_2 + 2log^2 (-a_1)+2log^2(-a_2)

&qquadqquad
+2log (b_1 c_1)log (b_2 c_2)
&qquadqquad
+4ilog frac 52arctan frac 12

&=
- 4 log a_1log a_2 + 2log^2 (-a_1)+2log^2(-a_2)
&qquadqquad
+ 2log frac {a_1^2}2 log frac {a_2^2}2
&qquadqquad
+4ilog frac 52arctan frac 12

&=
- 4 log a_1log a_2 + 2(log a_1 -ipi)^2 + 2(log a_2 + ipi)^2
&qquadqquad
+ 2(2log a_1 - 2pi i - log 2)(2 log a_2 -log 2)
&qquadqquad
+4ilog frac 52arctan frac 12

&equiv
+ 4 log a_1log a_2 + 2log^2 a_1 - 4pi ilog a_1 + 2log^2 a_2 + 4pi ilog a_2
&qquadqquad
-4log 2(log a_1 +log a_2) -4pi i(2 log a_2 - log 2)
&qquadqquad
+4ilog frac 52arctan frac 12

&= 2(log a_1 + log a_2)^2 -4pi i(log a_1 + log a_2)
&qquadqquad
-4log 2(log a_1 +log a_2) + 4pi i log 2
&qquadqquad
+4ilog frac 52arctan frac 12

&= 2log^2 (a_1a_2) -4pi ilog (a_1a_2)
-4log 2log (a_1a_2) + 4pi i log 2
&qquadqquad
+4ilog frac 52arctan frac 12

&qquadqquadtext{ et avec $log(a_1a_2)=log(-4+2i)=frac 12log 20+i(pi-arctan(1/2))$.}

&equiv
2ilog 20left(pi-arctanfrac 12right)
-2pi ilog 20
-4ilog 2gauche(pi-arctanfrac 12right)
+ 4pi i log 2
&qquadqquad
+4ilog frac 52arctan frac 12

&equiv
-2ilog 20arctanfrac 12
+4ilog 2arctanfrac 12
&qquadqquad
+4ilog frac 52arctan frac 12

&=2ilog frac 54arctan frac 12 .

&qquadqquadtext{ Donc finalement:}
[5mm]
J&=log frac 54arctan frac 12 .
end{aligned}
$$$square$

notes et commentaires

Rappelez-vous quelque chose, que vous avez la possibilité d'ajouter une évaluation correcte si vous avez trouvé votre puzzle juste à temps.



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