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Définition mathématique formelle du flux du groupe de renormalisation.

Juan, membre de cette équipe de travail, nous a fait la faveur de créer cette chronique car il connaît parfaitement le sujet.

Solution :

Le groupe de renormalisation (RG) en tant que flux géométrique (comme le flux de Ricci) est un cas très
cas particulier du RG, à savoir celui correspondant au modèle sigma non linéaire (NLSM) en deux dimensions avec des valeurs dans un collecteur riemannien.
Or, le RG est beaucoup plus général et s'applique à toutes sortes de modèles, et pas seulement au NLSM.
Afin de trouver des réponses satisfaisantes à vos questions, je recommande de comprendre d'abord comment la RG fonctionne en général en se spécialisant dans un modèle plus simple : le champ scalaire. Ceci est expliqué ci-dessous. Ensuite, regardez le NLSM et voyez comment dans ce cas particulier, le flux de Ricci émerge de la RG. Pour cette deuxième partie, je pense que les deux références données par Igor sont parfaites. Je dois cependant mentionner une source commune de confusion à propos des RG.
Il existe deux RG différents mais liés (cette distinction n'est pas spécifique au champ scalaire ou au NLSM mais s'applique à tous les modèles) : 1) le
l'ancienne RG de Stueckelberg-Peterman-Gell-Mann-Low (SPGLRG), 2) la RG Wilsonienne (WRG), plus récente. Je donne ci-dessous des détails qui devraient, je l'espère, expliquer la relation entre les deux.
En résumé, la RGW est un flux sur l'espace des théories avec une coupure ultraviolette fixe (disons à l'échelle unitaire), tandis que la RGSPL ne concerne que les théories du continuum, après la suppression de la coupure ultraviolette. Ces théories du continuum (points dans un certain espace) sont paramétrées par des coordonnées (couplages renormalisés). Lorsqu'on modifie l'échelle d'une théorie par un certain facteur, on change le point et on aimerait donc savoir comment les coordonnées changent. La réponse à cette question est la SPGLRG.

Pour autant que je puisse dire, la réponse d'Igor et la deuxième (très belle) référence qu'il a donnée par Carfora et al. ne concerne que le SPGLRG, car je n'ai pas vu le mot "cutoff" mentionné une seule fois. Je pense que la première référence qu'il a donnée par Nguyen serait le premier endroit à consulter pour comprendre le lien entre RG et flux de Ricci (immédiatement après avoir lu mes explications non techniques ci-dessous) parce qu'elle articule les deux RG, le SPGLRG et le WRG, et fournit ainsi une image plus complète. Une autre référence que je pourrais ajouter est également une revue écrite par Carfora pour les mathématiciens sur la connexion RG vs flux de Ricci, qui est disponible à https://arxiv.org/abs/1001.3595.

Vous trouverez ci-dessous la réponse que j'ai donnée à

https://physics.stackexchange.com/questions/372306/what-is-the-wilsonian-definition-of-renormalizability

qui comporte plus de détails que celle du post MO mentionné par J. C.


C'est une très bonne question qui, cependant, montre l'étendue de la confusion régnante sur la renormalisation, même quatre décennies après la théorie de Wilson, lauréat du prix Nobel, sur le sujet. J'ai essentiellement répondu à la question de l'OP, et bien plus encore, sur la construction de QFTs de continuum dans le cadre de Wilson dans mon article expositif "QFT, RG, et tout cela, pour les mathématiciens, en onze pages" mais d'une manière très condensée (on doit faire des calculs à côté pour suivre ce qui est dit). Permettez-moi donc de donner plus de détails sur la question spécifique de l'OP. Avant de commencer, je dois dire que ce qui suit est une "caricature" de la renormalisation. Je vais simplifier les choses à l'extrême en ignorant les dimensions anormales, les opérateurs marginaux et les termes non locaux générés par le RG. Vous ne trouverez pas de détails techniques, mais avec un peu de chance, l'image conceptuelle et la structure logique de la renormalisation deviendront plus claires.

Le PO a raison de souligner que dans le cadre des ODE et des systèmes dynamiques, une équation du premier ordre peut être parcourue à rebours dans le temps.
Permettez-moi donc de commencer par rappeler une terminologie importante de ce domaine.
Considérons une équation du premier ordre non autonome ODE de la forme
$$
frac{dX}{dt}=f(t,X) .
$$

Elle génère un flux (morphisme groupoïde des couples temporels vers les difféomorphismes de l'espace des phases) que je désignerai par . $U[t_2,t_1]$ qui envoie la valeur initiale $X(t_1)$ à la valeur de la solution au temps $t_2$. Elle satisfait trivialement
$t_2$ pour tout t, U[t,t]={rm Id}$ et la propriété du semigroupe
$$
Pour tout t_1, t_2, t_3, N N U[t_3,t_2]circ U[t_2,t_1]=U[t_3,t_1] .
$$

Cette situation dépendant du temps est à distinguer de la situation autonome cas d'ODE $$
frac{dX}{dt}=f(X)
$$

$U[t_2,t_1]=U[t_2-t_1,0]=:U[t_2-t_1]$.

Dans la RG de Wilson, le temps est une échelle ou plus précisément, $t=-logLambda$ où la coupure UV est implémentée dans l'espace des moments par une condition telle que $|p|leLambda$ ou dans l'espace des positions par $Delta xge Lambda^{-1}=e^t$. La littérature de la physique des hautes énergies travaille généralement dans un cadre non autonome alors qu'il est essentiel de traduire l'équation sous forme autonome pour une bonne compréhension de la RG de Wilson. Cette dernière a importé des outils et des concepts de la théorie des systèmes dynamiques comme les points fixes, les collecteurs stables et instables, etc. Il est possible de faire quelques contorsions pour essayer de donner un sens à ces concepts dans le cadre non-autonome, mais ce sont vraiment des notions qui sont congéniales aux systèmes dynamiques autonomes.

Soit
$mu=:mu_{-infty,infty}$ désigne la mesure de probabilité correspondant à la théorie euclidienne libre.
Son propagateur est $$
int phi(x)phi(y) dmu_{-infty,infty}(phi)=langle phi(x)phi(y)rangle_{-infty,infty}=
intfrac{dp}{(2pi)^D} frac{e^{ip(x-y)}}{p^{D-2Delta}}
$$

$Delta$ est la dimension d'échelle du champ $phi$. Normalement, $Delta=frac{D-2}{2}$ mais je vais permettre plus général $Delta$'s
dans cette discussion.
Maintenant, laissez-moi introduire un mollifiant, c'est-à-dire une fonction lisse de décroissance rapide.
$rho(x)$ telle que $int rho(x) dx=widehat{rho}(0)=1$.
Pour tout $t$, permettez-moi de définir $rho_t(x)=e^{-Dt}rho(e^{-t}x)$, donc en particulier $rho_0=rho$.
Soit {{i1}mu_{i},i} N{i1}infty}$ soit la loi du champ $rho_tastphi$$phi$ est échantillonné selon $mu_{-infty,infty}$ et nous avons utilisé une convolution avec le mollifiant rééchantillonné. En d'autres termes, $mu_{t,infty}$ est la mesure de coupure libre à
{{i1}}Lambda_H=e^{-t}$ et le propagateur $$
int phi(x)phi(y) dmu_{t,infty}(phi)=langle phi(x)phi(y)rangle_{t,infty}=
intfrac{dp}{(2pi)^D} frac{|widehat{rho}_t(p)|^2 e^{ip(x-y)}}{p^{D-2Delta}} .
$$

Notez que $widehat{rho}_t(p)=widehat{rho}(e^t p)$ que nous supposons avoir un module décroissant par rapport à $t$.
On a $widehat{rho}_{-infty}=1$ et $widehat{rho}_{infty}=0$ et $|widehat{rho}_{t_1}(p)|^2-|widehat{rho}_{t_2}(p)|^2ge 0$ chaque fois que $t_1le t_2$. On peut donc définir une famille plus générale de théories libres/gaussiennes modifiées. $mu_{t_1,t_2}$ avec
$t_1le t_2$ par le propagateur
$$
int phi(x)phi(y) dmu_{t_1,t_2}(phi)=langle phi(x)phi(y)rangle_{t_1,t_2}=
intfrac{dp}{(2pi)^D} frac{left(|widehat{rho}_{t_1}(p)|^2-|widehat{rho}_{t_2}(p)|^2right) e^{ip(x-y)}}{p^{D-2Delta}} .
$$

On a la propriété de semigroupe pour la convolution de mesures (de probabilité). $$
mu_{t_1,t_2}astmu_{t_2,t_3}=mu_{t_1,t_3}
$$

lorsque $-inftyle t_1le t_2le t_3le infty$. Cela signifie que pour toute fonctionnelle $F(phi)$,
$$
int F(phi) dmu_{t_1,t_3}=intint dmu_{t_1,t_2}(zeta) dmu_{t_2,t_3}(psi) .
$$

Les autres acteurs clés sont les transformations d'échelle $S_t$. Leur action sur les champs est donnée par $(S_t phi)(x)=e^{-Delta t}phi(e^{-t}x)$
et satisfait évidemment $S_{t_1}circ S_{t_2}=S_{t_1+t_2}$.
En utilisant la notion de poussée/image directe des mesures, on a
$(S_t)_{ast}mu_{t_1,t_2}=mu_{t_1+t,t_2+t}$, c'est-à-dire $$
int dmu_{t_1,t_2}(phi) F(S_tphi)=int dmu_{t_1+t,t_2+t}(phi) F(phi) .
$$

Comme il s'agit de mesures gaussiennes centrées, il suffit de vérifier la dernière propriété sur les propagateurs, c'est-à-dire, $F(phi)=phi(x)phi(y)$
où cela découle d'un simple changement de variable d'intégration du momentum de $p$ à $q=e^{-t}p$ dans la formule ci-dessus pour le propagateur.
Cela couvre également le cas de l'extrémité infinie avec les conventions. $t+infty=infty$, $t-infty=-infty$ pour les finis $t$.

Le RG wilsonien de la physique des hautes énergies est la transformation des fonctionnelles. $RG[t_2,t_1]$ pour les paires
$t_1le t_2$ obtenus comme suit.
En utilisant la propriété du semigroupe de convolution $$
int e^{-V(phi)} dmu_{t_1,infty}(phi)=int e^{-V(zeta+psi)} dmu_{t_1,t_2}(zeta) dmu_{t_2,infty}(psi)
$$
$$
=int e^{-(RG[t_2,t_1](V))(phi)} dmu_{t_2,infty}(phi)
$$

après avoir renommé la variable d'intégration fictive
$psirightarrowphi$ et en introduisant la définition $$
(RG[t_2,t_1](V))(phi):=-log int e^{-V(zeta+phi)} dmu_{t_1,t_2}(zeta) .
$$

Si $V$ est la fonctionnelle de $phi$ correspondant à l'action/potentiel nu avec coupure UV
$Lambda_H=e^{-t_1}$. alors $RG[t_2,t_1](V)$ est le potentiel effectif à l'échelle du momentum/masse. $Lambda_L=e^{-t_2}$.
Trivialement (Fubini plus associativité de la convolution des mesures de probabilité), on a, pour $t_1le t_2le t_3$,
$$
RG[t_3,t_2]circ RG[t_2,t_1]=RG[t_3,t_1]
$$

ce qui est révélateur d'une non-autonome structure de système dynamique, à laquelle il sera remédié prochainement.
A ce stade, on peut déjà énoncer l'objectif principal de la renormalisation/prise de limites de continuum des QFT : trouver un choix correct de dépendant de la coupure potentiels/actions/lagrangiens intégrés,
$(V_t^{rm bare})_{tinmathbb{R}}$
tels que $$
Pour tout t_2,lim_{t_1flèche droite -infty} RG[t_2,t_1](V_{t_1}^{rm bare}) =: V_{t_2}^{rm eff}{rm exists}.
$$

L'intuition de l'OP est correcte en voyant ceci comme un problème de tir à l'envers : choisir la bonne condition initiale à.${Lambda_{H}}$ pour arriver où l'on veut à $Lambda_{L}$.
Une difficulté ici (liée à la diffusion dans les systèmes dynamiques classiques) est que cela implique un IVP à.$t=-infty$ au lieu d'un temps fini.
Notez que la QFT du continuum, ses corrélations, etc. devraient être complètement déterminées par la collection de ses théories effectives indexées par des échelles $(V_{t}^{rm eff})_{tinmathbb{R}}$. Ceci est le plus facilement visible lorsqu'on considère des corrélations barbouillées avec des fonctions de test à support compact dans l'espace de Fourier et à coupure franche $widehat{rho}(p)$ donnée par la fonction indicatrice de la condition $|p|le 1$ (ou au moins une qui satisfait $widehat{rho}(p)=1$ dans un voisinage de momentum nul).

Le passage à un cadre autonome implique une certaine torsion par les cartes d'échelle.
$S_t$. Étant donné un potentiel V (nu ou effectif) qui "vit" à l'échelle
$t_1$, on a
$$
int e^{-V(phi)}mu_{t_1,infty}(phi)=int e^{-V(S_{t_1}phi)}mu_{0,infty}(phi)=
int e^{-(S_{-t_1}V)(phi)} dmu_{0,infty}(phi)
$$

où nous définissons maintenant l'action des cartes de remise à l'échelle sur fonctionnelles par $$
(S_t V)(phi):=V(S_{-t}phi) .
$$

Comme les cartes sur les fonctionnelles, on a l'identité. $$
RG[t_2,t_1]=S_{t_1}circ RG[t_2-t_1,0]circ S_{-t_1} .
$$

La RG wilsonienne de Wilson est
$WRG[t]:=S_{-t}circ RG[t,0]$, pour
$tge 0$. Elle agit sur l'espace des "théories de treillis unitaires" (je mets des guillemets car j'utilise des coupures de Fourier plutôt que de treillis). Ainsi l'identité précédente devient $$
RG[t_2,t_1]=S_{t_2}circ WRG[t_2-t_1]circ S_{-t_1} .
$$

L'identité peut être dérivée comme suit (notez l'orgie de parenthèses due à l'augmentation de l'abstraction des fonctions aux fonctionnelles, puis aux cartes sur les fonctionnelles) :
$$
[(RG[t_2-t_1,0]circ S_{-t_1})(V)](phi)=-logint dmu_{0,t_2-t_1}(zeta) exp[-(S_{-t_1}V)(phi+zeta)]
$$
$$
=-logint dmu_{0,t_2-t_1}(zeta) exp[-V(S_{t_1}phi+S_{t_1}zeta)]
$$
$$
=-logint dmu_{t_1,t_2}(xi) exp[-V(S_{t_1}phi+xi)]
$$

où nous avons changé les variables pour $xi=S_{t_1}zeta$.
On en déduit $$
[(S_{t_1}circ RG[t_2-t_1,0]circ S_{-t_1})(V)](phi)=[(RG[t_2,t_1,]circ S_{-t_1})(V)](S_{t_1}phi)
$$

et l'identité découle du fait trivial $S_{t_1}(S_{-t_1}phi)=phi$.

Notons que
$(V_t)_{tinmathbb{R}}$ est la trajectoire de $RG$, c'est-à-dire $$
Pour tout t_1le t_2,V_{t_2}=RG[t_2,t_1](V_{t_1})
$$

si et seulement si
$W_t:=S_{-t}V_t$ est une trajectoire de $WRG$, c'est-à-dire $$
Pour tout t_1le t_2,W_{t_2}=WRG[t_2-t_1](W_{t_1}) .
$$

La propriété de semigroupe pour
$RG$ implique aisément que pour $WRG$, à savoir ,
$$
pour tout t_1, t_2ge 0, WRG[t_1+t_2]=WRG[t_1]circ WRG[t_2] .
$$

Maintenant, définissez
$W_{t}^{rm start}:=S_{-t} circ V_t^{rm bare}$. Puis en supposant la continuité de toutes ces cartes RG on a. $$
V_{t_2}^{rm eff}=lim_{t_1rightarrow -infty} RG[t_2,t_1](V_{t_1}^{rm bare})=S_{t_2}(W_{t_2}^{rm eff})
$$

$$
W_{t_2}^{rm eff}:=lim_{t_1rightarrow -infty} WRG[t_2-t_1](W_{t_1}^{rm start}) .
$$

La définition de la QFT du continuum peut également être reformulée comme l'existence des potentiels. $W_{t}^{rm eff}$.
Une source fréquente de confusion est de ne pas voir que, alors que $(W_{t}^{rm eff})_{tinmathbb{R}}$ est (par définition, par la propriété de semigroupe et par continuité) une trajectoire de $WRG$, la famille des potentiels nus $(W_{t}^{rm bare})_{tinmathbb{R}}$ne l'est pas.
La même affirmation est vraie, en annulant le "changement de coordonnées de l'image mobile", en remplaçant $W$ par $V$ et $WRG$ avec $RG$.

Pour être concret, nous avons besoin de coordonnées sur l'espace où agit le RG. Supposons le potentiel nu
$V_t^{rm bare}$
est déterminé par une collection de coordonnées ou de couplages
$(g_i)_{iin I}$ via $$
V_{t}^{rm bare}(phi)=sum_{iin I} g_i^{rm bare}(t) int mathcal{O}_i(x) dx
$$

pour les opérateurs locaux de la forme $$
mathcal{O}_i(x)= :partial^{alpha_1}phi(x)cdots partial^{alpha_k}phi(x):_t .
$$

L'ordre de Wick/normal est par rapport à la mesure libre de la coupure $mu_{t,infty}$. Plus précisément, pour toute fonctionnelle $F$,
$$
:F(phi):_t := expleft[-frac{1}{2}
int dxdy frac{delta}{deltaphi(x)} C_{t,infty}(x,y) frac{delta}{deltaphi(y)}
right] F(phi)
$$

où nous avons dénoté le propagateur par $C_{t,infty}(x,y):=langlephi(x)phi(y)rangle_{t,infty}$.
Notez que le changement $-frac{1}{2}$. en $+{frac{1}{2}$ suivi de la mise en place $phi=0$est l'intégration par rapport à $mu_{t,infty}$.
Par exemple $:phi(x)^2:_t=phi(x)^2-C_{t,infty}(x,x)$ et
$:phi(x)^4:_t=phi(x)^4-6C_{t,infty}(x,x)phi(x)^2+3C_{t,infty}(x,x)^2$.
Un changement facile de variables $y=e^{-t}x$ montre que $$
(S_{-t}V_{t}^{rm bare})(phi)=sum_{iin I} g_i^{rm start}(t)
int :partial^{alpha_1}phi(y)cdots partial^{alpha_k}phi(y):_0 dy
$$


$g_i^{rm start}(t):=e^{(D-Delta_i)t} g_i^{rm bare}(t)$
et j'ai utilisé la notation $Delta_i=kDelta+|alpha_1|+cdots+|alpha_k|$ pour la dimension d'échelle de l'opérateur local $mathcal{O}_i$. Le commutateur
$g_i^{rm bare}rightarrow g_i^{rm start}$ correspond à celui de dimensionnel à sans dimension constantes de couplage.
L'ensemble d'indexation se divise comme suit $I=I_{rm rel}cup I_{rm mar}cup I_{rm irr}$$ correspondant respectivement aux trois
possibilités d'opérateurs : D-{Delta_i>0}$. ou pertinents, $D-Delta_i=0$ ou marginale, $D-Delta_i <0>$ ou non pertinent.

$W=0$ est un point fixe du système dynamique autonome $WRG$. Le comportement au voisinage de ce point fixe (trivial/gaussien/libre) est régi par la linéarisation ou la différentielle à.$W=0$, c'est-à-dire les cartes
$mathcal{D}WRG[t]$ données par $$
[mathcal{D}WRG[t](W)](phi):=int W(S_tphi+zeta) dmu_{0,t}(zeta)
$$

comme suit la définition $$
[WRG[t](W)](phi)=-log int e^{-W(S_tphi+zeta)} dmu_{0,t}(zeta)
$$

et les approximations grossières $e^zsimeq 1+z$ et $log(1+z)simeq z$.
Si $W$ a pour coordonnées
$(g_i)_{iin I}$ (avec $:bullet :_0$ ordre de Wick), alors on peut montrer (bon exercice pas si trivial) que $mathcal{D}WRG[t](W)$ a des coordonnées données exactement par $(e^{(D-Delta_i)t}g_i)_{iin I}$, dans le même cadre, c'est-à-dire avec le même
$t=0$ ordre de Wick.
Si au lieu de flux, on préfère parler en termes de champ de vecteurs. $mathcal{V}$ générant la dynamique, alors une trajectoire $(W_t)_{tinmathbb{R}}$ de $WRG$ satisfait à $frac{dW_t}{dt}=mathcal{V}(W_t)$ avec
$mathcal{V}:=left.frac{d}{dt} WRG[t]N- droite|_{t=0}$
admettant un dédoublement linéaire plus non linéaire. $mathcal{V}=mathcal{D}+mathcal{N}$. La partie linéaire, en coordonnées ,
est
$$
mathcal{D}(g_i)_{iin I}=((D-Delta_i) g_i)_{iin I} .
$$

Supposons l'existence de $W_{rm UV}:=lim_{trightarrow -infty} W_{t}^{rm eff}$ le point fixe UV, et W_{rm IR}:=lim_{trightarrow infty} W_{t}^{rm eff}$ le point fixe infrarouge (ils doivent être des points fixes par continuité). La discussion sur la renormalisabilité perturbative
se réfère toujours à la situation où $W_{rm UV}=0$. correspondant aux QFTs du continuum
obtenues comme perturbations de la CFT libre $mu_{-infty,infty}$.
Par définition, la QFT ou la trajectoire $(W_t)_{tinmathbb{R}}$ de ses théories effectives à l'échelle du "treillis unitaire".
se situe sur le manifold instable${mathcal{W}^{rm u}$ de la $W=0$ point fixe. Dans ce qui suit, je supposerai pour simplifier qu'il n'y a pas d'opérateurs marginaux.
opérateurs marginaux, de sorte que le point fixe est hyperbolique et qu'il n'y a pas de subtilités dues aux collecteurs centraux.
L'espace tangent Tmathcal{W}^{rm u}$ est alors parcouru par des fonctionnelles $Tmathcal{O}^{rm u}$ Longmapsto \int mathcal{O}_i$. , pour $i$
dans $I_{rm rel}$ qui est typiquement finie.

Notons qu'en principe, connaître une QFT revient à connaître une trajectoire $(W_t^{rm eff})_{tinmathbb{R}}$ et donc la même chose que de connaître un seul point de cette trajectoire disons.$W_0^{rm eff}$ (si le $t=0$ IVP est bien posé en avant et en arrière dans le temps, ce qui est un autre problème délicat comme expliqué dans la réponse d'Arnold). Le point $W_0^{{rm eff}$ peut être amené à balayer le collecteur instable qui peut être identifié avec l'espace des QFTs du continuum obtenu en perturbant le point . $W=0$ point fixe. D'autre part, notre paramètre de contrôle est le choix des points de départ dépendant de la coupure. $(W_t^{rm start})_{tinmathbb{R}}$. Ceux-ci appartiennent à la surface nue$Tmathcal{W}^{rm u}$. C'est pourquoi lorsque l'on considère disons la $phi^4$ seul un petit nombre fini de termes sont mis dans le Lagrangien nu, sinon nous parlerions d'un autre (famille de) modèle(s) tel que $phi^6$, $phi^8$
, etc.
Ainsi, après toutes ces explications, il devrait être clair que la renormalisation dans le cadre de Wilson peut être vue comme une paramétrisation de la variété non-linéaire ${mathcal{W}^{rm u}$ par le sous-espace linéaire $Tmathcal{W}^{rm u}$. Si nous désignons le collecteur stable par $mathcal{W}^{rm s}$ et son espace tangent par $Tmathcal{W}^{rm s}$ alors, en supposant l'hyperbolicité du point fixe trivial, l'espace complet où agit la RG devrait être $Tmathcal{W}^{rm u}oplus Tmathcal{W}^{rm s}$. Le théorème du collecteur stable donne une représentation de $mathcal{W}^{rm u}$ comme le graphe d'une carte de
$Tmathcal{W}^{rm u}$ en $Tmathcal{W}^{rm s}$.

Le problème principal est de trouver $(W_t^{rm start})_{tinmathbb{R}}$ de sorte que la limite $W_0^{rm eff}=lim_{trightarrow -infty} WRG[-t](W_t^{rm start})$ existe. Le théorème du collecteur stable est le $t=-infty$ cas
d'un mixte problème limite où sur une trajectoire on impose des conditions (sur les coordonnées) de la forme $g_i^{rm start}(t)=0$, $iin I_{rm irr}$, et $g_i^{rm eff}(0)=lambda_{i}^{rm R}$, $iin I_{rm rel}$. La preuve d'Irwin est une belle façon de négliger cela et cela fonctionne. même si la RG n'est pas réversible. Cette méthode peut être appliquée pour les négatifs finis
$t$ , et cela devrait produire une collection $(W_t^{rm })_{t <0>}$ (tout ce dont on a besoin en fait) dépendant de l'indice couplages renormalisés$lambda_{i}^{rm R}$. Supposons par exemple que
$I_{rm rel}={1,2}$ et $I_{rm irr}={3,4,ldots}$.
Considérons la carte $P_t$ donnée par $$
(lambda_{1}^{rm B},lambda_{2}^{rm B})longmapsto
(g_i{WRG[-t](lambda_{1}^{rm B},
lambda_{2}^{rm B},0,0,ldots)})_{i=1,2}
$$

$g_i{W}$
désigne la $i$ -de coordonnées de $W$. Un choix possible de points de départ est donc $$
W_t^{rm start}:=(P_t^{-1}(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R}),0,0,ldots)_{iin I} .
$$

Ce qui précède ressemble plus à une feuille de route pour ce qui doit être fait, mais il ne fournit pas tout à fait une recette pour le faire. Dans le cadre perturbatif, on échange les nombres en $mathbb{R}$ pour des séries de puissance formelles dans $mathbb{R}$[[hbar]]$. Les propagateurs de la $mu$ sont multipliés par $hbar$ et il y a maintenant ${frac{1}{hbar}}$. devant le $V$ ou $W$ dans l'exponentielle. Tous les couplages $g_i$ deviennent maintenant aussi des éléments de
$mathbb{R}[[hbar]]$. L'inversibilité de $P_t$ dans ce cadre est facile et suit par des analogues du théorème de la fonction implicite/inverse pour les séries de puissance formelles (par exemple dans Bourbaki, Algebra II, Chapitres 4-7, Berlin, Springer-Verlag, 1990).
Tout le travail consiste à montrer que pour $ige 3$ , les quantités $$
f_i(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R}):=lim_{trightarrow -infty}
g_i{WRG[-t](P_t^{-1}(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R}),0,0,ldots)}
$$

convergent vers des valeurs finies. On obtient ainsi la paramétrisation recherchée $(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R})
mapsto(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R},f_3(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R}),f_4(lambda_{1}^{rm R},ldots)$

de $mathcal{W}^{rm u}$ par
$Tmathcal{W}^{rm u}$. Il y a deux façons de montrer l'énoncé de convergence ci-dessus. Sous-jacent aux deux façons est le fait (voir Bourbaki ci-dessus) la série de puissance formelle. $P_t^{-1}(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R}) dans mathbb{R}[[hbar]]^2$existent et sont uniques.

Les fans de combinatoire préféreraient une procédure en deux étapes consistant à 1) trouver une formule explicite pour $WRG[-t](P_t^{-1}(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R}),0,0,ldots)$ pour finie$t$ ; puis 2), avec cette formule en main, analyser la limite $trightarrow -infty$. La formule explicite de 1) est la formule de la forêt de Zimmermann.
Voir cet article de Hairer pour une prise récente sur les estimations analytiques délicates nécessaires pour l'étape 2).

Pour ceux qui abhorrent la combinatoire, il existe une autre méthode qui évite les formules explicites. Changer l'échelle $0$ dans le problème de frontière mixte à une échelle arbitraire $s>t$. A savoir, imposer $g_i(t)=0$ pour $ige 3$ et $g_i(s)=lambda_i^{rm R}$. pour $i=1,2$ et étudier la variation de $s$ à partir de $s=t$ à
$s=0$ par des techniques d'ODE. C'est l'approche de Wilson-Polchinski. Le meilleur compte rendu rigoureux que je connaisse de cette seconde approche se trouve dans le livre "Renormalization : An Introduction" par Salmhofer.

Enfin, on pourrait se demander ce qui se passerait si l'on utilisait.$W_{s}^{rm eff}$ pour une valeur fixe de $sneq 0$ pour paramétrer les QFTs au lieu de
$W_{0}^{rm eff}$. La réponse est obtenue en remarquant que les maps $W_s^{rm eff}mapsto {rm QFT}$ entrelacent l'action de $WRG$ sur $mathcal{W}^{rm u}$ et celle des cartes d'échelle $S_t$ sur les QFTs (il suffit de remettre à l'échelle les corrélations, c'est-à-dire de faire. $phirightarrow S_tphi$ à l'intérieur des corrélations).
C'est la relation avec l'ancienne RG de Stueckelberg-Peterman-Gell-Mann-Low (c'est-à-dire que le changement d'échelle peut être absorbé dans un changement des constantes de couplage renormalisées). En d'autres termes, la restriction de la non-réversibilité $WRG$ au collecteur de dimension finie $mathcal{W}^{rm u}$ devrait être réversible puisque $S_t$ (sur des collections de corrélations) le sont, ou à cause de la remarque que j'ai faite sur le fait que la preuve d'Irwin est applicable même pour des systèmes dynamiques (discrets) non réversibles.

Théories classiques des champs (principes variationnels lagrangiens) se présentent parfois en familles. Les familles peuvent être de dimension finie, ou aussi de dimension infinie. On peut même considérer que la famille est constituée de tous les Lagrangiens possibles, disons avec le principe de la variabilité lagrangienne. champs (variables dépendantes) ainsi que les champs source et cible manifolds (domaines des variables indépendantes et dépendantes, respectivement) fixés. La notion de symétrie d'une seule théorie est simple : une transformation locale des champs qui laisse le Lagrangien fixe (jusqu'aux termes de la dérivée totale). La notion d'une symétrie d'une famille de théories est similaire : l'action de la transformation des champs doit maintenir tout Lagrangien de la famille au sein de la même famille. Lors de la quantification de la famille de théories des champs classiques, considérons simplement qu'il est possible de faire passer les transformations des champs du niveau classique au niveau quantique (ceci implique des subtilités techniques et n'est pas automatique, mais ce n'est pas le sujet ici). Idéalement, on aimerait préserver les symétries des théories classiques, mais en général, la levée quantique de la symétrie classique peut ne pas être une symétrie de la théorie quantique. Strictement parlant, on devrait alors dire que la symétrie est.anormale. Cependant, si l'on considère la quantification comme un problème de déformation (paramètre $hbar=0$ correspond au classique, tandis que $hbar ne 0$ à la quantique), il est naturel d'autoriser aussi des corrections quantiques ($hbar$-déformations paramétrées) des symétries classiques levées. Ainsi, le terme symétrie anormale est réservé aux symétries dont les levées quantiques ne peuvent même pas être corrigées quantiquement. De manière encore plus confuse, la procédure de quantification n'est pas unique (dans le contexte de la quantification perturbative, les procédures de quantification spécifiques sont appelées schémas de renormalisation). Ainsi, si l'on peut changer la procédure de quantification pour transformer une symétrie anormale en une symétrie non anormale, on dit que l'anomalie de la symétrie peut être.annulée.

Maintenant, en devenant plus spécifique, supposons que la famille considérée possède une symétrie d'échelle (fondamentalement, une action par les réels positifs multiplicatifs.$mathbb{R}_+^times). Appelons la version infinitésimale de cette action la classique. flux d'échelle. De toute évidence, le flux d'échelonnement a une action sur les paramètres de notre famille de théories. La définition la plus rapide de flux du groupe de renormalisation est qu'il s'agit de la levée corrigée quantiquement du flux d'échelonnement classique (à condition que la procédure de quantification ait été choisie pour annuler les anomalies potentielles dans la symétrie d'échelonnement). On pourrait considérer spécifiquement l'action du flux du groupe de renormalisation sur les paramètres de notre famille de théories, et appeler cela flux du groupe de renormalisation également. Cette dernière signification est celle que l'on rencontre le plus souvent dans la littérature et celle qui apparaît dans le PO.

Pour rendre les choses un peu plus boueuses, une levée quantique donnée d'une symétrie classique dépend strictement de la procédure de quantification. Donc la levée quantique change quand la procédure de quantification change (en se limitant bien sûr aux changements pour lesquels la symétrie reste non anormale). Ainsi, certains disent que le flux du groupe de renormalisation (ou sa restriction à certains paramètres) est.non trivial seulement s'il n'y a pas de choix de procédure de quantification pour laquelle aucune correction quantique n'est nécessaire.

Bien sûr, la discussion que j'ai donnée dans le premier paragraphe est tout à fait heuristique. Quand on lit sur le traitement mathématiquement rigoureux du flux du groupe de renormalisation, la plupart des détails traitent de rendre ce que j'ai décrit mathématiquement précis. Il y a différentes approches pour faire cela et le nombre d'obstacles techniques n'est pas petit, c'est ce qui rend ces traitements difficiles à lire pour les étrangers au domaine.

Enfin, revenant au flux de Ricci, on pourrait dire qu'il coïncide avec le flux du groupe de renormalisation d'un.modèle sigma non linéaire euclidien à 2 dimensions. (quantifié d'une manière perturbative raisonnable), lorsqu'il est restreint à l'espace-métrique cible, comme paramètre du Lagrangien). On peut trouver au moins deux approches mathématiquement précises pour rendre rigoureuse l'affirmation ci-dessus :

Nguyen, Timothy, Quantification du modèle sigma non linéaire revisitée., J. Math. Phys. 57, n° 8, 082301, 40 p. (2016). ZBL1351.81089. arXiv:1408.4466.

Mauro Carfora, Claudio Dappiaggi, Nicolò Drago, Paolo Rinaldi., Flux de Ricci issu de la renormalisation des modèles sigma non linéaires dans le cadre de la théorie euclidienne algébrique des champs quantiques., Commun. Math. Phys. (2019). arXiv:1809.07652

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