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Est-ce que $2^{frak{c}}$ est séparable ?

Bonjour, nous avons trouvé la réponse à votre question, continuez à lire et vous l'obtiendrez ci-dessous.

Solution :

Ce qui suit est une présentation détaillée de la belle réponse d'Eric Wofsey. Si la réponse de Wofsey est un algorithme, ma réponse est une implémentation minutieuse de celui-ci, destinée à servir les futurs lecteurs qui, comme moi, comprennent mieux en voyant à la fois la forêt et les arbres.

Conventions typographiques :
$$
begin{align}
Q, R, S, T, X &.N-texte{ensemble}
q, r, s, t, x &.text{ membres de l'ensemble}
mathbb{N}, mathbb{Z} &.text{ensembles de nombres}
i, k, m &.text{nombre}
mathbf{E}, mathbf{F}, mathbf{G}, mathbf{H} &.text{ ensembles d'ensembles (alias familles d'ensembles)}
mathcal{A}, mathcal{B}, mathcal{C}, mathcal{D}, mathcal{F} & .text{ ensembles de fonctions}
f, g, h &.text{ fonctions}
eta, xi &.text{ fonctions renvoyant des ensembles/fonctions}
Phi, Psi &.text{algèbres booléennes}
mathfrak{I}, mathfrak{P} &.text{L'image d'une fonction, l'ensemble de puissance d'un ensemble, respectivement}
end{align}
$$


Définissez $mathbb{Z}_2 := {0,1}$, $mathbb{N}:={1, 2, dots}$, $mathbb{N}_0 := {0, 1, 2, dots}$. Dénotons par $mathbf{H}_0$ la topologie discrète sur $mathbb{Z}_2$. Soit $X$ un ensemble non vide, et on désigne par $mathbf{H}$ la topologie du produit résultant sur $mathcal{B}:=mathfrak{P}Xrightarrowmathbb{Z}_2$ ($mathcal{B}$ peut être vu comme l'ensemble de toutes les fonctions indicatrices sur $mathfrak{P}X$). Nous allons montrer :

Si $X$ est dénombrable, l'espace topologique $(mathcal{B}, mathbf{H})$ est séparable.

Aperçu général

Nous prouvons l'énoncé mis en évidence en définissant un certain ensemble $mathcal{A} subseteq mathcal{B}$ (section IX), puis en montrant (1) que si $X$ est dénombrable, $mathcal{A}$ l'est aussi (section IX), (2) que $mathcal{A}$ est $mathbf{H}$-dense dans $mathcal{B}$ (section X Corollaire 8).

La preuve suit le plan de la réponse de Wofsey, mais avec tous les détails minutieux et les hypothèses implicites entièrement étoffés. Les sections I - VIII construisent les bases nécessaires, en termes de notation, de terminologie et de faits associés, sur lesquelles la preuve, donnée dans les deux dernières sections IX et X, repose. La section X commence par un aperçu des résultats qui y sont prouvés. Tout au long de ce billet, je n'ai prouvé que les faits dont j'ai estimé que je pourrais avoir du mal à recréer les preuves si on me mettait au défi de le faire dans un avenir lointain.

Les trois piliers de la réponse de Wofsey sont : (a) le concept d'ensemble distinctif, (b) la notion de combinaisons booléennes générées par les membres de $mathcal{B}$, et (c) la technique de restriction du domaine des fonctions membres de $mathcal{B}$. J'ajoute à cela un quatrième pilier qui n'était pas mentionné explicitement dans la réponse de Wofsey, mais qui est néanmoins essentiel à la preuve, à savoir (d) le concept d'homomorphisme entre algèbres booléennes. C'est ce concept qui va s'avérer être la colle qui lie les trois autres.

Les ensembles distinctifs sont définis dans la section III. Une structure d'algèbre booléenne sur $mathcal{B}$ est décrite dans la section IV, tandis que les combinaisons booléennes sont définies dans la section VII. La section VII est également celle où sont présentés les outils nécessaires pour prouver la dénombrabilité de $mathcal{A}$ (voir le deuxième point de la fin de la section). Restreindre le domaine de tous les membres d'un ensemble de fonctions confère à cet ensemble une partition naturelle. Ce type de partition est introduit dans la section II. Agir sur des fonctions dont le domaine a été restreint revient à agir sur ces partitions. Les fonctions dont le domaine est une partition sont étudiées dans les sections V.

La section VI spécialise les résultats de la section V au cas où l'espace partitionné est une algèbre de Boole. Les homomorphismes entre algèbres de Boole partitionnées sont étudiés, culminant dans le théorème 3 qui lie les quatre "piliers" mentionnés ci-dessus. Ce sujet est repris dans la section VIII, consacrée à l'étude de la relation entre homomorphismes et combinaisons booléennes.

Puisque l'objet principal au centre de notre préoccupation, l'espace topologique $(mathcal{B}, mathbf{H})$, est constitué de fonctions indicatrices, nous ouvrons la discussion, dans la section I, en décrivant la relation qui permet de traduire entre les énoncés sur les fonctions indicatrices et ceux sur leurs ensembles sous-jacents.

I) Application d'une fonction d'ensemble à un indicateur

Soit $S$ un ensemble. Nous considérerons toute fonction $f:Srightarrow S$ dualement comme une fonction $(Srightarrowmathbb{Z}_2) rightarrow (Srightarrowmathbb{Z}_2)$ comme suit. Pour chaque $R subseteq S$, nous définissons $f(mathbb{1}_R) := mathbb{1}_{f(R)}$. Nous considérerons chaque fonction $g:mathbf{P}Srightarrowmathbf{P}S$ comme une fonction $(Srightarrowmathbb{Z}_2) rightarrow (Srightarrowmathbb{Z}_2)$ comme suit. Pour chaque $R subseteq S$, on définit $g(mathbb{1}_R) := mathbb{1}_{g(R)}$.

II) La relation d'équivalence induite sur un ensemble de fonctions par la restriction du domaine de ses membres.

Soit $S, T$ des ensembles non vides. Chaque $R sous-ensemble S$ induit une relation d'équivalence, $cong_R$, sur $Srightarrow T$ comme suit. Pour toute $f, g : Srightarrow T$, $f cong_R g$ si les deux fonctions coïncident sur $R$ :
$$
Pour tout r in R,f(r) = g(r).
$$

Pour tout $f : Srightarrow T$, on désigne par $$ la valeur de[f]_R$ la classe d'équivalence de $f$. Pour tout $mathcal{D} subseteq (Srightarrow T)$, nous abrégeons par
$$
[mathcal{D}]_R := big{D}[f]_R 😐 f in mathcal{D}big}.
$$

III) Ensembles distinctifs

Soit $T$ un ensemble, et soit $S$ un sous-ensemble de $T$. On définit une fonction, $eta_{hspace{0cm}_{large{S}}:mathfrak{P}Tmathfrak{P}T$, comme suit. Pour chaque $R sous-ensembleq T$,
$$
eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(R) := Rcap S.
$$

Un sous-ensemble, $S$, de $T$, est appelé un ensemble distinctif pour une famille, $mathbf{F}$, de sous-ensembles de $T$ si la restriction, $eta_{hspace{0cm}_{large{S}}big|_mathbf{F}$, de $eta_{hspace{0cm}_{large{S}}$ à $mathbf{F}$, est injective.

Théorème 1 Soit $T$ un ensemble. Toute famille, $mathbf{F}$, de sous-ensembles de $T$, possède un ensemble distinctif, $S$. De plus, si $mathbf{F}$ est fini, on peut choisir que $S$ soit fini.

Preuve

Pour chaque paire de $Q, R \ dans mathbf{F}$ distincts, on choisit quelques $s_{{Q,R}} } dans QDelta R$. Définissez
$$
S := big{s_{{Q,R}} :big| (Q,R) in mathbf{F}times mathbf{F}, Qneq Rbig}.
$$

Alors pour chaque paire de $Q, R in in mathbf{F}$ distincts,
$$
s_{{Q,R}} in (QDelta R)cap S = (Qcap S)Delta (Rcap S) = eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(Q) Delta eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(R),
$$
et donc $eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(Q) Delta eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(R) neq emptyset$, ce qui revient à dire que $eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(Q) neq eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(R)$.

Q.E.D.

Pour toute famille, $mathbf{G}subseteqmathbf{P}S$, de sous-ensembles de $S$, on définit une fonction $eta_{hspace{0cm}_{large{S,mathbf{G}}}}$ qui fait correspondre les familles de sous-ensembles de $S$ aux mêmes, comme suit. Pour chaque $mathbf{F} subseteq mathbf{P}S$,
$$
eta_{hspace{0cm}_{large{S,mathbf{G}}}}(mathbf{F}) := eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{F}capmathbf{G}).
$$

IV) L'algèbre de Boole induite sur la famille des fonctions booléennes.

Soit $Phi = (S, vee, wedge, neg, 0, 1)$ une algèbre booléenne. Pour tout ensemble non vide, $R$, le sextet $(R rightarrow S, vee, wedge, neg, 0, 1)$ devient une algèbre de Boole si on applique les opérations booléennes par composantes et si on considère $0$ et $1$ comme des fonctions constantes sur $R$. Nous appellerons cette dernière algèbre de Boole $Phi^R$.

Nous désignerons par $Psi_0$ l'algèbre de Boole standard à deux éléments sur $mathbb{Z}_2$, et par $Psi$ l'algèbre de Boole induite $(Psi_0)^{mathfrak{P}X}$.

V) Partitions cohérentes

Soit $S, T$ des ensembles non vides. Pour tout $i in mathbb{N}_0$ on considère l'ensemble $mathcal{F}^{S, T}_i$ constitué de toutes les fonctions $f:S^irightarrow T$. Définissons $mathcal{F}^{S, T} := bigcup_{i=0}^infty mathcal{F}^{S, T}_i$. Pour chaque $f in mathcal{F}^{S, T}$, on définit le degré de $f$, $deg(f)$, comme étant le nombre unique $iinmathbb{N}_0$ tel que $f in mathcal{F}^{S, T}_i$. Si $S = T$, on simplifie et on écrit $mathcal{F}^S := mathcal{F}^{S, T}$.

On appelle une paire $(mathbf{F}, mathbf{G})$, où $mathbf{F}$ est une partition de $S$ et $mathbf{G}$ une partition de $T$. cohérent avec un sous-ensemble $mathcal{D}$ de $mathcal{F}^{S, T}$ si pour chaque $finmathcal{D}$ ce qui suit tient, avec $m:=deg(f)$. Chaque fois que $s_1, dots, s_m, t_1, dots, t_m in S$ sont tels que pour chaque $i in {1, dots, m}$, $[s_i]_{{mathbf{{F}} = [t_i]_{mathbf{F}}$, alors $big[f(s_1, dots, s_m)big]_{mathbf{G}} = big[f(t_1, dots, t_m)big]_{mathbf{G}}$. Si $mathbf{G} = langle Trangle$, où $langle Trangle$ est défini comme étant la partition la plus fine de $T$, à savoir $langle Trangle := big{{{t} :!| tin Tbig}$, on simplifie et on écrit que $mathbf{F}$ est cohérent avec $mathcal{D}$. Si $T = S$ et que $(mathbf{F}, mathbf{F})$ est cohérent avec $mathcal{D}$, on simplifie et on écrit que $mathbf{F}$ est.auto-consistant avec $mathcal{D}$. Nous désignons par $mathcal{F}^{S, T}_{mathbf{F}, mathbf{G}$ le plus grand sous-ensemble de $mathcal{F}^{S, T}$ avec lequel $(mathbf{F}, mathbf{G})$ est consistant. Nous écrivons $mathcal{F}^{S, T}_mathbf{F}$ comme abréviation de $mathcal{F}^{S, T}_{mathbf{F}, langle Trangle}$, et $mathcal{F}^S_mathbf{F}$ comme abréviation de $mathcal{F}^{S, S}_{mathbf{F}}, mathbf{F}}$.

Les résultats suivants, que le lecteur doit vérifier, sont des conséquences immédiates de ces définitions.

  • Toute partition, $mathbf{F}$, d'un ensemble non vide, $S$, est auto-consistante avec ${mathrm{Id}_S}$, la fonction identité sur $S$.

  • $langle Srangle$ est auto-consistant avec $mathcal{F}^S$.

  • Toute paire, $(mathbf{F}, mathbf{G})$ de partitions des ensembles non vides $S, T$, respectivement, est cohérente avec
    $$
    big{f(g_1, dots, g_k) :!big| f in mathcal{F}^{S, T}_{mathbf{F}, mathbf{G}},k = deg(f),g_1, dots, g_k in mathcal{F}^S_mathbf{F}big},
    $$
    où $f(g_1, dots, g_k)$ doit être compris comme la fonction $S^{deg(g_1) + cdots + deg(g_k)}rightarrow S$ qui attribue à chaque
    $$
    (s^{(1)}_1, cdots, s^{(1)}_{deg(g_1)}, dots, s^{(k)}_1, cdots, s^{(k)}_{deg(g_k)}) in S^{deg(g_1) + cdots + deg(g_k)}
    $$
    la valeur
    $$
    fBig(g_1big(s^{(1)}_1, dots, s^{(1)}_{deg(g_1)}big), dots, g_kbig(s^{(k)}_1, dots, s^{(k)}_{deg(g_k)}big)Big).
    $$

Soit $mathbf{F}, mathbf{G}$ des partitions des ensembles non vides $S, T$, respectivement, qui sont cohérentes avec une certaine $mathcal{D}sous-sous-entréeqmathcal{F}^{S, T}$.

Chaque $f in mathcal{D}$ avec $m := deg(f)$ induit une fonction $overline{f}:mathbf{F}^mrightarrowmathbf{G}$, en affectant à chaque $R_1, dots, R_m in mathbf{F}$, $overline{f}(R_1, dots, R_m) := [f(r_1, dots, r_m)]_mathbf{G}$, où pour tout $i in {1, dots, m}$, $r_i$ est un membre arbitraire de $R_i$.

Pour tout $f:Srightarrow T$, la famille d'ensembles $f^{-1}(T)$ est une partition de $S$, que nous désignerons par $.[S]_f$. Pour tout $s dans S$, nous désignerons la classe d'équivalence de $s$ dans cette partition par $[S]_f$.[s]_f$. Le lecteur doit vérifier que $[S]_f$ est cohérent avec ${f}$, que $overline{f}$ est injectif, et que $overline{f}$ est surjectif si $f$ est surjectif.

Si $f$ est surjective, on définit la pullback opérateur, $f^*$, comme étant la fonction $f^*:mathcal{F}^S_{.[S]_f}rightarrowmathcal{F}^T$, qui fait correspondre chaque fonction $g in mathcal{F}^S_{[S]_f}$, c'est à dire toute fonction avec laquelle $[S]_f$ est consistante, à la fonction $f^*(g) in mathcal{F}^T_k$, où $k:=deg(g)$, qui à chaque $t_1, dots, t_k in T$ attribue l'unique valeur $f^*(g)(t_1, dots, t_k) in T$ qui satisfait à
$$
{f^*(g)(t_1, dots, t_k)} = overline{f}Big(overline{g}big(f^{-1}({t_1}), dots, f^{-1}({t_k})big)Big).
$$

Le lecteur doit vérifier La caractérisation fondamentale des pullbacks.: Pour tout $g dans mathcal{F}^S_{[S]_f}$, $f^*(g)$ est l'unique fonction dans $mathcal{F}^T$ qui satisfait : pour tout $s_1, dots, s_k in S$,
$$
fbig(g(s_1, dots, s_k)big) = f^*(g)big(f(s_1), dots, f(s_k)big).
$$
Le lecteur doit aussi vérifier que $f^*$ est sur $mathcal{F}^T$ (c'est-à-dire que l'image de $f^*$ est toute sur $mathcal{F}^T$).

VI) Partitions cohérentes d'une algèbre de Boole.

Soit $Phi = (S, vee, wedge, neg, 0, 1)$ une algèbre booléenne. Si $mathbf{F}$ est une partition de $S$ qui est auto-consistante avec ${vee, wedge, neg}$, alors $(mathbf{F}, overline{vee}, overline{wedge}, overline{neg}, [0]_mathbf{F}, [1]_mathbf{F})$ est une algèbre booléenne, que nous désignerons par $Phi_mathbf{F}$, et le mapping $s mapsto [s]_mathbf{F}$ est un homomorphisme de $Phi$ à $Phi_mathbf{F}$. En particulier, $Phi$ est naturellement isomorphe à $langlePhirangle := big(langle Srangle, overline{vee}, overline{wedge}, overline{neg}, {0}, {1big)$.

Notez la différence entre $Phi_mathbf{F}$ et $Phi^R$ (ce dernier a été défini dans la section IV). Toutes deux sont des algèbres booléennes dérivées de $Phi$, mais alors que $Phi^R$ a $Rrightarrow S$ pour ensemble sous-jacent, l'ensemble sous-jacent de $Phi_mathbf{F}$ est $mathbf{F}$, une partition de $S$. Le théorème suivant met en relation ces deux constructions.

Théorème 2 Soit $Phi = (S, vee, wedge, neg, 0, 1)$ une algèbre de Boole, soit $R$ un ensemble non vide, et soit $Qsubseteq R$. Alors $[Rrightarrow S]_Q$ est auto-consistant avec ${vee, wedge, neg}$, de sorte que l'algèbre de Boole dérivée $(Phi^R)_{[Rrightarrow S]_Q}$ est bien définie.

Preuve

Soit $f_1, f_2, g_1, g_2 in Rrightarrow S$ tel que
$$
begin{align}
[f_1]_Q &= [f_2]_Q
[g_1]_Q &= [g_2]_Q
end{align}
$$

Pour chaque $q in Q$ nous avons
$$
begin{alignat*}{3}
(f_1vee g_1)(q) &=& f_1(q)vee g_1(q) &=& f_2(q)vee g_2(q) &= (f_2vee g_2)(q)
(f_1wedge g_1)(q) &=& f_1(q)wedge g_1(q) &=& f_2(q)wedge g_2(q) &= (f_2wedge g_2)(q)
(neg f_1)(q) &=& negbig(f_1(q)big) &=& negbig(f_2(q)big) &= (neg f_2)(q)
end{alignat*}
$$

Donc
$$
begin{align}
[f_1vee g_1]_Q &= [f_2vee g_2]_Q
[f_1wedge g_1]_Q &= [f_2wedge g_2]_Q
[neg f_1]_Q &= [neg f_2]_Q
end{align}
$$

Q.E.D.

Le théorème 2 garantit que la notation $(Phi^R)_{[Rrightarrow S]_Q}$ est bien définie. Nous abrégerons cette notation compliquée comme suit : $(Phi^R)_Q := (Phi^R)_{[Rrightarrow S]_Q}$.[Rrightarrow S]_Q}$. En particulier, pour chaque $mathbf{F}$. subseteq mathfrak{P}X$, $Psi_mathbf{F}$ est un raccourci pour $Psi_{mathcal{B}_mathbf{F}}$.

Soit $Phi_i = (S_i, vee_i, wedge_i, neg_i, 0_i, 1_i)$, $i in {1, 2}$, des algèbres booléennes, et soit $h:S_1rightarrow S_2$ un homomorphisme. Le lecteur devra vérifier les faits suivants .

  • Le sextet $big(h(S_1), vee_2, wedge_2, neg_2, 0_2, 1_2big)$ est une algèbre booléenne.

  • $[S]_h$ est auto-consistant avec ${vee_1, wedge_1, neg_1}$.

  • Si $mathbf{F}_i$ est une partition de $S_i$ qui est auto-consistante avec ${vee_i, wedge_i, neg_i}$ ($i in {1, 2}$), et si, en plus, $(mathbf{F}_1, mathbf{F}_2)$ est compatible avec ${h}$, alors $overline{h}$ est un homomorphisme de $Phi_{mathbf{F}_1}$ à $Phi_{mathbf{F}_2}$.

Théorème 3 Soit $mathbf{G}$ une famille de sous-ensembles de $X$, et soit $S$ un ensemble distinctif pour $mathbf{G}$. Alors $(mathcal{B}_mathbf{G}, mathcal{B}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(mathbf{G})})$ est cohérent avec ${eta_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}}$, et $overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}$ est une isométrie de $Psi_mathbf{G}$ à $Psi_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(mathbf{G})}$.

Preuve

Nous commençons par montrer la cohérence. Soit $big[mathbb{1}_mathbf{E}big]_mathbf{G} = big[mathbb{1}_mathbf{F}big]_mathbf{G}$ pour quelques $mathbf{E}, mathbf{F} subseteq mathfrak{P}X$. Nous devons montrer que $big[eta_{hspace{0cm}_{large{S, mathbf{G}}}}(mathbb{1}_mathbf{E})big]mathbf{G} = big[eta_{hspace{0cm}_{large{S, mathbf{G}}}}(mathbb{1}_mathbf{F})big]_mathbf{G}$, c'est-à-dire que pour chaque $R in mathbf{G}$, $mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S, mathbf{G}}}}(mathbf{E})}(R) = mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S, mathbf{G}}}}(mathbf{F})}(R)$. Soit $R in mathbf{G}$. Par symétrie, il suffit de montrer que si $mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S, mathbf{G}}}}(mathbf{E})}(R) = 1$, alors $mathbb{1}_{hspace{0cm}_{large{S, mathbf{G}}}}(mathbf{F})}(R) = 1$. Supposons alors que $mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S, mathbf{G}}}}(mathbf{E})}(R) = 1$, soit que $R in eta_{hspace{0cm}_{large{S, mathbf{G}}}}(mathbf{E}) = eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(mathbf{E}capmathbf{G})$. Nous devons montrer que $R in eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(mathbf{F}capmathbf{G})$. Soit $T in mathbf{E}capmathbf{G}$ tel que $R = eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(T)$. Il suffit de montrer que $T in mathbf{F}$. Puisque $T in mathbf{G}$ et puisque $big[mathbb{1}_mathbf{E}big]_mathbf{G}$ = big[mathbb{1}_mathbf{F}big]_mathbf{G}$, $mathbb{1}_mathbf{E}(T) = mathbb{1}_mathbf{F}(T)$, c'est-à-dire $Tinmathbf{F}iff Tinmathbf{E}$. Puisque $T in mathbf{E}$ on a $Tinmathbf{F}$, comme souhaité.

Avant de poursuivre, nous énonçons une égalité qui sera utilisée à plusieurs reprises dans la suite de cette preuve. Pour chaque $mathbf{F}$. subseteq mathfrak{P}X$ nous avons $overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}}big([mathbb{1}_mathbf{F}]_mathbf{G}big) = big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{F}capmathbf{G})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}$. En effet,
$$
overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}}big([mathbb{1}_mathbf{F}]_mathbf{G}big) = big[eta_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}}big(mathbb{1}_{mathbf{F}}big)big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(mathbf{G})} = big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}}(mathbf{F})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(mathbf{G})} = big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{F}capmathbf{G})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}.
$$

Nous montrons maintenant que $overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}$ est une bijection (de $mathcal{B}_mathbf{G}$ sur $mathcal{B}_{hspace{0cm}_{large{S}}(mathbf{G})}$). Nous commençons par montrer que $overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S},mathbf{G}}$ est injectif. Soit $[mathbb{1}_mathbf{E}]mathbf{G}}, [mathbb{1}_mathbf{F}]_mathbf{G}} dans mathcal{B}_mathbf{G}$ pour un certain $mathbf{E}, mathbf{F} sous-ensembleq mathfrak{P}X$ soit tel que $overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}} big([mathbb{1}_mathbf{E}]_mathbf{G}big) = overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}big([mathbb{1}_mathbf{F}]_mathbf{G}big)$. Alors $big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{E}capmathbf{G})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(mathbf{G})} = big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{F}capmathbf{G})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}$. Then $eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{E}capmathbf{G})capeta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G}) = eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{F}capmathbf{G})capeta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})$. Then $eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{E}capmathbf{G}) = eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{F}capmathbf{G})$. Puisque la restriction de $eta_S$ à $mathbf{G}$ est injective (puisque $S$ est un ensemble distinctif pour $mathbf{G}$), on obtient $mathbf{E}capmathbf{G} = mathbf{F}capmathbf{G}$, ce qui implique que $mathbf{G}$.[mathbb{1}_mathbf{E}]mathbf{G} = mathbf{F}capmathbf{G}$. [mathbb{1}_mathbf{F}]_mathbf{G}$. Nous montrons ensuite que $overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}$ est surjective. Soit $[mathbb{1}_mathbf{F}]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})} dans mathcal{B}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}(mathbf{G})}$ pour une certaine $mathbf{F} subseteq mathfrak{P}X$. Soit $mathbf{E}subseteqmathbf{G}$ telle que $eta_S(mathbf{E}) = mathbf{F} cap eta_S(mathbf{G})$. Alors
$$
begin{align}
overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}}big([mathbb{1}_mathbf{E}]_{mathbf{G}}big) &= big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{E}capmathbf{G})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}
&= big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{E})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}
&= big[mathbb{1}_{mathbf{F} cap eta_S(mathbf{G})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}
&= [mathbb{1}_mathbf{F}]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}.
end{align}
$$

Enfin, nous montrons que $overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}$ est un homomorphisme de $Psi_mathbf{G}$ à $Psi_{hspace{0cm}_{large{S}}(mathbf{G})}$. Il suffit de montrer que $overline{vee}$ et $overline{neg}$ sont homomorphes (pourquoi ?).

  1. Soit $[mathbb{1}_mathbf{E}]_mathbf{G}$, [mathbb{1}_mathbf{F}]_mathbf{G} dans mathcal{B}_mathbf{G}$ pour un certain $mathbf{E}, mathbf{F} subseteq mathfrak{P}X$. Alors
    $$
    begin{align}
    overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}}big([mathbb{1}_mathbf{E}]_mathbf{G} overline{vee} [mathbb{1}_mathbf{F}]_mathbf{G}big) &= overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}big([mathbb{1}_mathbf{E} vee mathbb{1}_mathbf{F}]_mathbf{G}big)
    &= overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}}big([mathbb{1}_{mathbf{E} cup mathbf{F}}]_mathbf{G}big)
    &= big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{E}capmathbf{G} cup mathbf{F}capmathbf{G})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}
    &= big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{E}capmathbf{G}) cup eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{F}capmathbf{G})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}
    &= big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{E}capmathbf{G})} vee mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{F}capmathbf{G})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}
    &= big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{E}capmathbf{G})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})} overline{vee} big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{F}capmathbf{G})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}
    &= overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}}big([mathbb{1}_mathbf{E}]_mathbf{G}big) overline{vee} overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}}big([mathbb{1}_mathbf{F}]_mathbf{G}big).
    end{align}
    $$

  2. Soit $[mathbf{1}_F]_mathbf{G} in mathcal{B}_mathbf{G}$ pour un certain $mathbf{F} sous-entendu mathfrak{P}X$. Alors
    $$
    begin{align}
    overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}}big(overline{neg}[mathbb{1}_mathbf{F}]_mathbf{G}big) &= overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}big([negmathbb{1}_mathbf{F}]_mathbf{G}big)
    &= overline{eta}_{hspace{0cm}_{large{S}, mathbf{G}}}big(big[mathbb{1}_{mathbf{F}^c}big]_mathbf{G}big)
    &= big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G}setminusmathbf{F}})big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}
    &overset{(*)}{=} big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G}) setminus eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{F}capmathbf{G})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}
    &= big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G}) cap (eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{F}capmathbf{G}))^c}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}
    &= big[mathbb{1}_{(eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{F}capmathbf{G}))^c}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}
    &= big[negmathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{F}capmathbf{G})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})}
    &= overline{neg}big[mathbb{1}_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{F}capmathbf{G})}big]_{eta_{hspace{0cm}_{large{S}}}(mathbf{G})} [mathbb{1}_mathbf{F}]_mathbf{G}big),
    end{align}
    $$
    $(*)$ est dû au fait que $S$ est un ensemble distinctif pour $mathbf{G}$.

Q.E.D.

VII) Combinateurs et combinaisons booléennes.

Soit $Phi = (S, vee, wedge, neg, 0, 1)$ une algèbre booléenne. Nous définissons l'ensemble, $mathcal{C}^Phi_1$, de combinateurs booléens de hauteur au plus égale à $1$. est
$$
mathcal{C}^Phi_1 := {vee, wedge, neg, mathrm{Id}_S}.
$$

Pour chaque $i dans mathbb{N}$ avec$i > 1$ on définit l'ensemble $mathcal{C}^Phi_i$, de Combinateurs booléens de hauteur au plus égale à $i$., pour être constitué de toutes les fonctions $f in mathcal{F}^S$ qui satisfont au moins une des conditions suivantes.

  1. deg(f) = k + m$, pour certains $k, m in mathbb{N}$, et il existe certains $g, h in mathcal{C}^Phi_{i-1}$, avec $k = deg(g), m = deg(h)$, tels que $f = gvee h$ dans le sens où pour chaque $s_1, dots, s_k, t_1, dots, t_m in S$,
    $$
    f(s_1, dots, s_k, t_1, dots, t_m) := g(s_1, dots, s_k) vee h(t_1, dots, t_m).
    $$

  2. deg(f) = k + m$, pour certains $k, m in mathbb{N}$, et il y a certains $g, h in mathcal{C}^Phi_{i-1}$, avec $k = deg(g), m = deg(h)$, tels que $f = gwedge h$ dans le sens où pour chaque $s_1, dots, s_k, t_1, dots, t_m in S$,
    $$
    f(s_1, dots, s_k, t_1, dots, t_m) := g(s_1, dots, s_k) wedge h(t_1, dots, t_m).
    $$

  3. $f = neg g$ pour un certain $g in mathcal{C}^Phi_{i-1}$.

  4. $f in mathcal{C}^Phi_{i-1}$.

On définit l'ensemble $mathcal{C}^Phi$, de combinateurs booléens, pour être
$$
mathcal{C}^Phi := bigcup_{i = 1}^infty mathcal{C}^Phi_i.
$$

Le lecteur devra vérifier les conséquences suivantes de cette définition.

  • On peut montrer par induction sur $i in mathbb{N}$ que $mathcal{C}^Phi_i$ est fini. Par conséquent, $mathcal{C}^Phi$ est dénombrable.

  • Si $Phi' : = (R, vee, wedge, neg, 0, 1)$ est une algèbre sous-booléenne de $Phi$ ($Rsubseteq S$), alors on peut montrer par induction sur $i in mathbb{N}$ que $f in mathcal{C}^{Phi'}_i$ s'il existe un certain $g in mathcal{C}^Phi_i$ tel que $deg(f) = deg(g)$ et tel que $f$ est la restriction de $g$ à $R^{deg(f)}$. Ainsi $f in mathcal{C}^{Phi'}$ si $f$ est la restriction à $R^{deg(f)}$ d'un certain $g in mathcal{C}^Phi$.

Pour tout sous-ensemble, $R$, de $S$, l'ensemble $mathcal{C}^Phi(R)$, de combinaisons booléennes engendrées par $R$, est défini comme l'ensemble de toutes les instanciations possibles de chaque combinateur booléen, avec des arguments pris dans $R$ :
$$
mathcal{C}^Phi(R) := bigcup_{i = 1}^infty underset{=:mathcal{C}^Phi_i(R)}{underbrace{big{f(s_1, dots, s_{deg(f)}) :|f in mathcal{C}^Phi_i, s_1, dots, s_{deg(f)} in Rbig}}.
$$
De manière équivalente,
$$
mathcal{C}^Phi(R) = bigcup_{f in mathcal{C}^{Phi_1}big{f(s_1, dots, s_k) :!big|\ s_1, dots, s_k in R, k=deg(f)big}.
$$

Le lecteur devra vérifier les conséquences suivantes de cette définition.

  • Si $Rneqemptyset$, alors $0 in mathcal{C}^Phi(R)$. En effet, prenons tout $r in R$. Alors $0 = r wedge neg r in mathcal{C}^Phi$.

  • Si $R$ est dénombrable, alors pour tout $f in mathcal{C}^Phi$ il existe $|R|^{deg(f)} leq aleph_0^{deg(f)} = aleph_0$ façons d'instancier $f$, et donc $mathcal{C}^Phi(R)$ est dénombrable.

  • Si $Phi' := (R, vee, wedge, neg, 0, 1)$, est une algèbre sous-booléenne de $Phi$ ($Rsubseteq S$), alors pour chaque $Qsubseteq R$, $mathcal{C}^{Phi'}(Q) = mathcal{C}^Phi(Q)$.

  • Pour chaque $Q subseteq mathcal{C}^Phi(R)$, on peut montrer par induction sur $i in mathbb{N}$ que $mathcal{C}^Phi_i(Q) subseteq mathcal{C}^Phi(R)$, donc $mathcal{C}^Phi(Q) subseteq mathcal{C}^Phi(R)$.

  • Étant donné une partition, $mathbf{F}$, de $S$ qui est auto-consistante avec ${vee, wedge, neg}$, on peut montrer par induction sur $i in mathbb{N}$ avec le troisième point de la section V, que $mathbf{F}$ est auto-consistant avec $mathcal{C}^Phi_i$. Par conséquent, $mathbf{F}$ est auto-consistant avec $mathcal{C}^Phi$.

Vous devez prendre l'ensemble de toutes les combinaisons booléennes (finies) de vos éléments $e_mathbb{N}(n)in 2^{2^{mathbb{N}}$ (j'entends ici "combinaison booléenne" dans le sens habituel lorsque vous pensez aux éléments de $2^{2^{mathbb{N}}$ comme des sous-ensembles de $2^{mathbb{N}}$). Ces combinaisons booléennes formeront toujours un ensemble dénombrable, et sont effectivement denses.

En effet, étant donné un sous-ensemble fini $Ssubset 2^{mathbb{N}}$, on peut trouver un sous-ensemble fini de $Asubsetmathbb{N}$ qui distingue tous les éléments de $S$. Toute fonction $2^Aà 2$ peut alors s'écrire comme une combinaison booléenne des fonctions données par la restriction de $e_mathbb{N}(n)$ pour $ndans A$, et en particulier cela signifie que pour toute fonction $f:Sà 2$ il existe une combinaison booléenne des $e_mathbb{N}(n)$ qui s'accorde avec $f$ sur $S$.

Pour obtenir un sous-ensemble dense dénombrable de $2^mathbb R,$ prenons l'ensemble de toutes les fonctions échelon avec un nombre fini de sauts en des points rationnels de la droite. Par un argument similaire, tout produit d'espaces séparables en nombre continu est séparable. (Séparabilité de l'espace produit $Q^Q$ où $Q=[0,1]$ est la partie (a) de l'exercice N dans le chapitre 3 de l'ouvrage de John L. Kelley intitulé Topologie générale, qui est disponible sur Internet Archive). "Continuum many" est le mieux possible ici, vu que la cardinalité maximale possible d'un espace de Hausdorff séparable est $2^{2^{aleph_0}}$.

Rappelez-vous quelque chose, que vous avez la capacité d'apprécier cette écriture si elle vous a aidé.



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