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Groupe d'automorphisme des groupes de Lie orthogonaux réels.

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Solution :

Abordons d'abord votre commentaire en réponse à la réponse d'Igor Rivin : pourquoi ne trouve-t-on pas ce sujet abordé dans les manuels sur les groupes de Lie ? Au-delà du cas défini (= compact), les problèmes de déconnexion deviennent plus compliqués et votre question est donc très bien informée par la théorie des groupes algébriques linéaires $G$ sur $mathbf{R}$. Cela implique à son tour deux aspects subtils (voir ci-dessous) qu'il n'est pas facile d'exprimer uniquement en termes analytiques et qui dépassent donc le niveau de ces livres (qui ne supposent généralement pas une familiarité avec la géométrie algébrique au niveau nécessaire pour travailler avec des groupes algébriques linéaires sur un champ tel que $mathbf{R}$ qui n'est pas algébriquement fermé). Et les livres sur les groupes algébriques linéaires ont tendance à dire peu de choses sur les groupes de Lie.

La première subtilité est que $G(mathbf{R})^0$ peut être plus petit que $G^0(mathbf{R})$ (c'est-à-dire que la connexité pour la topologie analytique peut être plus fine que pour la topologie de Zariski), comme nous le savons déjà pour les groupes orthogonaux indéfinis, et les manuels sur les groupes de Lie ont tendance à se concentrer sur le cas connecté pour les théorèmes structurels. C'est un théorème profond d'Elie Cartan que si un groupe algébrique linéaire $G$ sur $mathbf{R}$ est Zariski-connecté, semi-simple et simplement connecté (au sens des groupes algébriques ; par ex, ${rm{SL}}_n$ et ${rm{Sp}}_{2n}$ mais pas ${rm{SO}}_n$) alors $G(mathbf{R})$ est connexe, mais cela dépasse le niveau de la plupart des manuels. (Cartan a exprimé son résultat en termes analytiques via des involutions anti-holomorphes de groupes de Lie semisimples complexes, puisqu'il n'y avait pas de théorie robuste des groupes algébriques linéaires à cette époque). Le groupe $G(mathbf{R})$ a un nombre fini de composantes connectées, mais ce n'est pas élémentaire (surtout si l'on ne suppose aucune connaissance de la géométrie algébrique), et le théorème sur les sous-groupes compacts maximaux des groupes de Lie $H$ dans le cas où $pi_0(H)$ est fini mais peut-être pas trivial semble être traité dans un seul manuel (le "Structure of Lie groups" de Hochschild, qui ne traite cependant pas de la structure des groupes d'automorphisme) ; par ex,
Le traité de Bourbaki sur les groupes de Lie suppose la connexité pour une grande partie de sa discussion sur la structure des groupes de Lie compacts.
la structure des groupes de Lie compacts.

La deuxième subtilité est que lorsque l'opération purement analytique de "complexification" pour les groupes de Lie (développée également dans le livre de Hochschild) est appliquée au groupe de Lie des $mathbf{R}$-points d'un groupe algébrique linéaire semi-simple (connecté par Zariski), elle ne "correspond" généralement pas à l'opération d'extension scalaire algébro-géométrique plus facile sur le groupe algébrique linéaire donné (par ex, la complexification du groupe de Lie ${rm{PGL}}_3(mathbf{R})$ est ${rm{SL}}_3(mathbf{C})$, et non ${rm{PGL}}_3(mathbf{C})$). Ici aussi, les choses se comportent mieux dans le cas "simplement connecté", mais cela dépasse le niveau des manuels d'introduction aux groupes de Lie.


Passons maintenant à votre question. Soit $n = p+q$, et supposons $n ge 3$ (donc l'algèbre de Lie est semi-simplémentaire.).e;
les cas $n le 2$ peuvent de toute façon être analysés directement). Je n'aborderai que ${rm{SO}}(p,q)$ plutôt que ${rm{O}}(p, q)$, car c'est déjà un assez gros casse-tête de garder la trace des effets déconnectés dans le cas orthogonal spécial. Pour être cohérent avec votre notation, nous écrirons $mathbf{O}(p,q) subset {rm{GL}}_n$ pour désigner le groupe algébrique linéaire sur $mathbf{R}$ "associé" à la forme quadratique standard de signature $(p, q)$ (donc son groupe de points $mathbf{R}$ est
ce que vous avez dénoté comme ${rm{O}}(p,q)$), et de même pour ${mathbf{SO}}(p,q)$.

Nous allons montrer que ${rm{SO}}(p,q)$ n'a que des automorphismes internes pour les $n$ impairs, et que seul le groupe d'automorphisme externe d'ordre 2 attendu
groupe d'automorphisme externe d'ordre 2 attendu (résultant de la réflexion dans tout vecteur non nul) pour les $n$ pairs, à la fois dans le cas défini et dans le cas où $p$ et $q$ sont chacun impairs.
Je laisse à quelqu'un d'autre le soin de trouver (ou de trouver une référence sur ?) le cas où $p$ et $q$ sont tous deux pairs et positifs.

Nous commençons par quelques commentaires préliminaires concernant
le cas défini (= compact) pour tout $n ge 3$, pour lequel le groupe de Lie ${rm{SO}}(p,q) = {rm{SO}}(n)$ est connecté.
Le fait crucial (non trivial) est que
que la théorie des groupes de Lie compacts connectés est complètement "algébrique", et en particulier
si $G$ et $H$ sont deux groupes semi-simples connectés $mathbf{R}$ pour lesquels
$G(mathbf{R})$ et $H(mathbf{R})$ sont compacts alors tout homomorphisme de groupe de Lie
$G(mathbf{R}) rightarrow H(mathbf{R})$ découlant d'un (unique) homomorphisme algébrique $G rightarrow H$.
En particulier, les groupes d'automorphisme de $G$ et $G(mathbf{R})$ coïncident, donc
le groupe d'automorphisme de ${rm{SO}}(n)$ coïncide avec celui de ${mathbf{SO}(n)$.

Notez que tout automorphisme linéaire préservant une forme quadratique non dégénérée jusqu'à un facteur d'échelle non nul préserve son groupe orthogonal et orthogonal spécial. C'est un fait général (dû à Dieudonné sur des champs généraux éloignés de la caractéristique 2) que si $(V, Q)$ est un espace quadratique non dégénéré de dimension $n ge 3$ sur un champ quelconque $k$ et si ${mathbf{GO}}(Q)$ désigne le groupe algébrique linéaire $k$.
groupe linéaire algébrique $k$ d'automorphismes conformes
automorphismes conformes, alors l'action du groupe algébrique
${mathbf{PGO}}(Q) = {mathbf{GO}}(Q)/{rm{GL}}_1$ sur ${mathbf{SO}}(Q)$ par conjugaison donne exactement les automorphismes comme groupe algébrique. Plus précisément, $${mathbf{PGO}}(Q)(k) = {rm{Aut}}_k({mathbf{SO}}(Q)).$$
Ceci est prouvé en utilisant une grande partie de la théorie de structure des groupes semi-simples connectés
sur un champ d'extension qui divise la forme quadratique, il est donc difficile de "voir" ce fait
directement sur le champ de base donné $k$ (tel que $k = mathbf{R}$) ; c'est l'un des grands mérites de la théorie de la structure des groupes semi-simples connectés.
est l'un des grands mérites de la théorie algébrique (nous permettant de prouver des résultats sur un champ
en effectuant des calculs avec un objet géométrique sur un champ d'extension, et en utilisant des techniques telles que la théorie de Galois pour y revenir.
telles que la théorie de Galois pour revenir à notre point de départ).


A l'intérieur du groupe d'automorphisme du groupe de Lie ${rm{SO}}(p,q)$, nous avons construit le sous-groupe
${rm{PGO}}(p,q) := {mathbf{PGO}}(p,q)(mathbf{R})$ d'automorphismes "algébriques" (et cela donne tous les
automorphismes lorsque $p$ ou $q$ disparaissent). Ce sous-groupe est
$${mathbf{GO}}(p,q)(mathbf{R})/mathbf{R}^{times} = {rm{GO}}(p,q)/mathbf{R}^{times}.$$
Pour analyser le groupe ${rm{GO}}(p,q)$ des automorphismes conformes de l'espace quadratique, il existe deux possibilités : si $p ne q$ (comme chaque fois que $p$ ou $q$ disparaissent), tout automorphisme de ce type doit impliquer un facteur d'échelle conforme positif en raison de la nécessité de préserver la signature, et si $p=q$ (le cas "split") : somme orthogonale de plans hyperboliques $p$) alors la préservation de la signature n'impose aucune condition et nous voyons (en choisissant une décomposition comme une somme orthogonale de plans hyperboliques $p$) qu'il existe une involution évidente $tau$ de l'espace vectoriel dont l'effet est de négativer la forme quadratique. Ainsi, si $p ne q$ alors ${rm{GO}}(p,q) = mathbf{R}^{times} cdot {rm{O}}(p,q)$ alors que ${rm{GO}}(p,p) = langle tau rangle ltimes (mathbf{R}^{times}) cdot {rm{O}}(p,p))$. Par conséquent, ${rm{PGO}}(p,q) = {rm{O}}(p,q)/langle -1 rangle$ si $p ne q$ et ${rm{PGO}}(p,p) = langle tau rangle ltimes ({rm{O}}(p,p)/langle -1 rangle)$ pour une involution explicite $tau$ comme ci-dessus.

Nous résumons les conclusions pour les automorphismes externes du groupe de Lie ${rm{SO}}(p, q)$ découlant de la théorie algébrique.
Si $n$ est impair (donc $p ne q$) alors ${rm{O}}(p,q) = langle -1 rangle times {rm{SO}}(p,q)$ et donc les automorphismes algébriques sont internes (comme c'est très connu dans la théorie algébrique). Supposons que $n$ soit pair, alors
$-1 in {rm{SO}}(p, q)$. Si $p ne q$ (avec la même parité) alors le groupe des automorphismes algébriques contribue un sous-groupe d'ordre 2 au groupe des automorphismes externes (provenant de toute réflexion dans un vecteur non isotrope, par exemple). Enfin, la contribution des automorphismes algébriques au groupe d'automorphisme externe de ${rm{SO}}(p,p)$ est d'ordre 4 (générée par deux éléments d'ordre 2 : une involution $tau$ comme ci-dessus et une réflexion dans un vecteur non isotrope).
Ceci règle le cas définitif comme promis (i.e., tous les automorphismes internes pour les $n$ impairs et le groupe d'automorphisme externe
d'ordre 2 via une réflexion pour les $n$ pairs) puisque dans ces cas on sait que tous les automorphismes sont algébriques.


Maintenant, nous pouvons supposer, et nous le faisons, que $p, q > 0$. Est-ce que ${rm{SO}}(p, q)$ possède des automorphismes non algébriques ?
Nous allons montrer que si $n ge 3$ est impair (i.e., $p$ et $q$ ont une parité opposée) ou si $p$ et $q$ sont tous deux impairs
alors il n'y a pas d'automorphismes non algébriques (et nous en aurions fini).

Tout d'abord, calculons $pi_0({rm{SO}}(p,q))$ pour tout $n ge 3$. Par le théorème spectral,
les sous-groupes compacts maximaux de ${rm{O}}(p,q)$ sont les conjugués du sous-groupe évident ${rm{O}}(q) times {rm{O}}(q)$
avec 4 composantes connectées,
et on en déduit de manière similaire
que les sous-groupes compacts maximaux de ${rm{SO}}(p, q)$ sont les conjugués du sous-groupe évident
$${(g,g') in {rm{O}}(p) times {rm{O}}(q),|, det(g) = det(g')}$$$
avec 2 composantes connectées. Pour n'importe quel groupe de Lie $mathscr{H}$
à composante finie (comme le groupe $G(mathbf{R})$)
pour tout groupe algébrique linéaire $G$ sur mathbf{R}$), les sous-groupes compacts maximaux $K
constituent une seule classe de conjugaison (chaque sous-groupe compact étant contenu dans l'une d'entre elles) et en tant que collecteur lisse
$mathscr{H}$ est un produit direct d'un tel sous-groupe contre un espace euclidien (voir chapitre XV, théorème 3.1 de
livre de Hochschild "Structure of Lie groups'' pour une preuve). En particulier, $pi_0(mathscr{H}) = pi_0(K)$,
donc ${rm{SO}}(p, q)$ a exactement 2 composantes connectées pour tout $p, q > 0$.

Supposons maintenant que $n$ est impair, et échangeons $p$ et $q$ si nécessaire (comme nous le pouvons) pour que $p$ soit impair et $q>0$ soit pair.
Pour tout $g in {rm{O}}(q) - {rm{SO}}(q)$, l'élément $(-1, g) in {rm{SO}}(p, q)$ se trouve
dans l'unique composante non-identique. Puisque $n ge 3$ est impair, alors ${m{SO}}(p, q)^0$ est le quotient
du groupe de Lie connecté ( !) ${rm{Spin}}(p, q)$ modulo son centre d'ordre 2, la théorie algébrique en caractéristique 0 donne
$${rm{Aut}}({mathfrak{so}}(p,q)) = {rm{Aut}}({rm{Spin}}(p, q)) = {rm{SO}}(p, q).$$
Ainsi, pour trouver des éléments non triviaux du groupe d'automorphisme externe du groupe de Lie déconnecté ${{SO}}(p, q)$, nous pouvons concentrer notre
attention sur les automorphismes $f$ de ${rm{SO}}(p, q)$ qui induisent l'identité sur ${rm{SO}}(p, q)^0$.

On s'est arrangé pour que $p$ soit impair et que $q>0$ soit pair (donc $q ge 2$).
Les éléments $$(-1, g) in {rm{SO}}(p, q) cap ({rm{O}}(p) times {rm{O}}(q))$$ (intersection à l'intérieur de ${rm{O}}(p, q)$, donc
$g in {rm{O}}(q) - {rm{SO}}(q)$) ont une caractérisation intrinsèque
caractérisation intrinsèque en termes de groupe de Lie ${rm{SO}}(p, q)$.
et de ses sous-groupes évidents ${rm{SO}}(p)$ et ${rm{SO}}(q)$ : ce sont les éléments extérieurs à ${rm{SO}}(p, q)^0$ qui centralisent
(Pour le prouver, on considère la représentation standard de
${rm{SO}}(p) times {rm{SO}}(q)$ sur $mathbf{R}^{p+q} = mathbf{R}^n$, en particulier les
sous-espaces isotypiques pour l'action de ${rm{SO}}(q)$ avec $q ge 2$.) Par conséquent, pour chaque $g in {rm{O}}(q) - {rm{SO}}(q)$, nous avons $f(-1,g)(-1,g)$.
on a $f(-1,g) = (-1, F(g))$ pour un difféomorphisme $F$ du collecteur connexe ${rm{O}}(q) - {rm{SO}}(q)$.

Puisque $f$ agit comme l'identité sur ${rm{SO}}(q)$, il s'ensuit que les éléments $g, F(g) in {rm{O}}(q) - {rm{SO}}(q)$
ont la même action de conjugaison sur ${rm{SO}}(q)$. Mais ${rm{PGO}}(q) sous-ensemble {rm{Aut}}({rm{SO}}(q))$,
donc $F(g)g^{-1} in mathbf{R}^{times}$ dans ${rm{GL}}_q(mathbf{R})$.
avec $q>0$ pair. En prenant les déterminants, cela force $F(g) = pm g$ pour un signe qui peut dépendre de $g$.
Mais $F$ est continu sur l'espace connexe ${rm{O}}(q) - {rm{SO}}(q)$, donc le signe est en réalité
indépendant de $g$. Le cas $F(g) = g$ correspond à l'automorphisme identité de ${rm{SO}}(q)$,
donc pour l'étude des contributions non algébriques au groupe d'automorphisme externe de
${rm{SO}}(p, q)$ (avec $p$ impair et $q > 0$ pair) nous sommes réduits à montrer que
le cas $F(g) = -g$ ne peut pas se produire.

On cherche à exclure l'existence d'un automorphisme $f$ de ${rm{SO}}(p, q)$ qui est l'identité sur
${rm{SO}}(p, q)^0$ et qui satisfait $(-1, g) mapsto (-1, -g)$ pour $g in {rm{O}}(q) - {rm{SO}}(q)$.
Pour qu'il s'agisse d'un homomorphisme, il est nécessaire (et suffisant) que les actions de conjugaison
de $(-1, g)$ et $(-1, -g)$ sur ${rm{SO}}(p, q)^0$ coïncident pour tous les $g in {rm{O}}(q) - {rm{SO}}(q)$.
En d'autres termes, cela nécessite que l'élément $(1, -1) in {rm{SO}}(p, q)$ centralise
${rm{SO}}(p, q)^0$. Mais le groupe algébrique ${mathbf{SO}}(p, q)$ est connexe (pour la topologie de Zariski)
avec un centre trivial et la même algèbre de Lie que ${rm{SO}}(p, q)^0$, donc en prenant en compte
des représentations adjointes algébriques et analytiques compatibles, nous voyons que $(1, -1)$ ne peut pas
centraliser ${rm{SO}}(p, q)^0$. Ainsi, il n'existe aucun automorphisme non algébrique de ${rm{SO}}(p, q)$.
dans le cas indéfini où $n ge 3$ est impair.

Enfin, supposons que $p$ et $q$ soient tous deux impairs, de sorte que ${{SO}}(p,q)^0$ ne contient pas l'élément $-1 in {rm{SO}}(p,q)$ qui engendre le centre de ${{SO}}(p,q)$ (et même le centre de ${rm{O}}(p,q)$). Ainsi, on a ${rm{SO}}(p,q) = {rm{SO}}(p,q)^0 times langle -1 rangle$ avec ${rm{SO}}(p,q)^0$ ayant un centre trivial. Tout automorphisme (analytique) de ${rm{SO}}(p,q)$ agit clairement de manière triviale sur le centre d'ordre 2 $langle -1 rangle$ et doit aussi préserver la composante identité, donc un tel automorphisme est déterminé par son effet sur la composante identité. Il suffit de montrer que tout automorphisme analytique $f$ de ${rm{SO}}(p,q)^0$ découle d'un automorphisme algébrique de ${rm{SO}}(p,q)$, car alors tous les automorphismes de ${rm{SO}}(p,q)$ seraient algébriques (donc la détermination du groupe d'automorphisme analytique extérieur pour $p, q$ impair suit comme pour le cas défini avec $n ge 4$ pair).

Par la théorie des groupes algébriques semi-simples connectés en caractéristique 0, pour tout $p, q ge 0$ avec $p+q ge 3$ tout automorphisme analytique du groupe connecté ( !) ${rm{Spin}}(p,q)$ est algébrique. Ainsi, il suffit de montrer que tout automorphisme $f$ de ${rm{SO}}(p,q)^0$ se transforme en un automorphisme de la couverture de degré 2 $pi:{rm{Spin}}(p,q) rightarrow {rm{SO}}(p,q)^0$. (Attention, cette couverture de degré 2 est pas la couverture universelle si $p, q ge 2$, car ${rm{SO}}(p,q)^0$ a un sous-groupe compact maximal ${rm{SO}}(p) times {rm{SO}}(q)$ avec un groupe fondamental d'ordre 4). L'automorphisme d'algèbre de Lie ${rm{Lie}}(f)$ de ${mathfrak{so}(p,q) = {mathfrak{spin}}(p,q)$ découle d'un automorphisme algébrique unique du groupe ${mathbf{Spin}(p,q)$ puisque ce dernier groupe est simplement connexe au sens de groupes algébriques. L'automorphisme induit du groupe ${rm{Spin}}(p,q)$ de points $mathbf{R}$ fait le travail, puisque sa compatibilité avec $f$ via $pi$ peut être vérifiée sur les algèbres de Lie (puisque nous travaillons avec des groupes de Lie connectés).

Cet argument final montre aussi que le problème restant pour des $p, q ge 2$ pairs est de déterminer si tout automorphisme de ${rm{SO}}(p,q)$ qui est la carte identité sur ${rm{SO}}(p,q)^0$ est lui-même la carte identité. (Si c'est affirmatif pour de tels $p, q$ alors le groupe d'automorphisme externe de ${rm{SO}}(p,q)$ est d'ordre 2, et si c'est négatif alors le groupe d'automorphisme externe est plus grand).

Editer. nfcd a donné une réponse presque complète. Je me permets d'ajouter quelques cas manquants ci-dessous. Malheureusement, je ne m'en sors pas en utilisant uniquement des méthodes élémentaires.

Modification finale. Je considérerai les groupes $G=O(p,q)$ ou $G=SO(p,q)$ comme des groupes de Lie (dans le cadre $C^infty$), pour éviter les complications avec par exemple $SO(2)$ (qui aurait un nombre incalculable d'automorphismes externes en tant que groupe abstrait).
D'autre part, les outils de géométrie algébrique ne suffisent pas comme on le voit dans la réponse de nfcd.

Il y a fondamentalement deux sources pour les automorphismes externes dans ce cas.

  1. Le normalisateur de $G$ dans $GL(n, mathbb R)$ pourrait être plus grand que $G$ lui-même. Dans ce cas, il faut vérifier quels éléments de $N_{GL(n)}(G)/G$ agissent par conjugaison d'une manière différente des éléments de $G$ lui-même.

  2. Il existe un homomorphisme non trivial $varphi$ de $G/G^0$ au centre $C(G)$. Dans ce cas, il faut vérifier que $gmapsto varphi(g)cdot g$ est bijectif. Contrairement au premier type, ces automorphismes modifient la décomposition spectrale d'une matrice dans $Gsous-ensemble GL(n,mathbb R)$ dans la plupart des cas.

Je n'ai pas pu prouver en général que les groupes de matrices n'ont pas d'autres automorphismes externes. Mais une preuve au cas par cas révélera qu'ici, tous sont générés par les deux types ci-dessus.


Commençons par $O(n)$. Il est généré par des réflexions sur des hyperplans, c'est-à-dire par des éléments $g$ à valeurs propres $pm 1$, tels que l'espace propre $-1$ est unidimensionnel.
Ils satisfont trois propriétés : $g^2=e$, $gne e$, et $C(g)cong O(1)times O(n-1)$. Un sous-ensemble maximal de réflexions commuantes correspond à une sélection de lignes orthogonales dans $mathbb R^n$. Avec un peu de travail supplémentaire, on voit que tous les automorphismes faisant correspondre des réflexions à des réflexions sont des automorphismes internes.

Les seuls autres éléments ayant des propriétés similaires sont les réflexions sur les lignes, qui ont un espace propre unidimensionnel de 1$.
Si celles-ci se trouvent dans $SO(n)$, elles ne peuvent pas générer $O(n)$, donc $O(n)$ n'a pas d'automorphismes externes. Cela se produit lorsque $n$ est impair. Si $n$ est pair, vous avez un automorphisme $gmapstodet(g)cdot g$ inversant les deux types de générateurs. Pour $n=2$, il n'y a pas de différence entre les hyperplans et les lignes, et donc par l'argument ci-dessus, tous les automorphismes sont internes. Pour $nge 4$ pair,
un automorphisme interne ne change pas les multiplicités des valeurs propres, donc l'automorphisme ci-dessus est externe.
Donc $mathrm{Out}(O(n))=mathbb Z/2$ si $n$ est pair et $nge 4$.

Pour $SO(n)$, vous avez déjà remarqué que les éléments $gdans O(n)setminus SO(n)$ donnent des automorphismes. Parce que $-g$ et $g$ induisent le même automorphisme,
cela ne donne pas un automorphisme extérieur si $n$ est impair. En effet, $SO(n)$ est engendré par des réflexions le long d'hyperplans pour $n$ impair, donc par un argument comme ci-dessus il n'y a pas d'automorphismes extérieurs.

Si $n$ est pair, on peut vérifier que l'automorphisme est bien un automorphisme externe en considérant une matrice composée de $frac n2$ blocs de rotation de petit angle non nul. Une telle matrice spécifie une orientation sur $mathbb R^n$ qui est préservée par tous les automorphismes internes, mais pas par un élément de $O(n)setminus SO(n)$.

Pour voir qu'il n'y a plus d'automorphisme extérieur de $SO(n)$, on remarque que tout automorphisme se lève sur la couverture universelle $mathrm{Spin}(n)$. Ce groupe est semi-simple, compact, connexe et simplement connexe pour $nge 3$, donc son groupe d'automorphisme est le groupe de symétrie du diagramme de Dynkin, qui est $mathbb Z/2$ sauf si $n=8$. Pour $n=8$, le groupe d'automorphisme est le groupe de symétrie sur $3$ éléments. On peut vérifier que parmi ceux-ci, seuls deux descendent à $SO(8)$.


Pour $G=O(p,q)$ ou $G=SO(p,q)$ avec à la fois $pne 0$, $qne 0$, on a l'observation clé suivante.
Pour chaque automorphisme externe de $G$, il existe un automorphisme externe de $G$ qui agit sur un sous-groupe compact maximal fixe $K$.
Pour que $Phicolon Gto G$ représente un automorphisme externe. Alors $Phi(K)sous-ensemble G$ est un sous-groupe maximal de $K$, donc conjugué à $K$ par un automorphisme interne de $G$. La composition représente le même automorphisme extérieur et agit sur $K$.

Supposons maintenant que $Phi$ agit comme un automorphisme interne sur $K$. En composant avec
composition par un élément approprié de $K$, nous pouvons supposer que $Phi$ agit comme identité sur $K$. Nous voulons trouver tous les automorphismes $Phi$ qui agissent comme identité sur l'ensemble de $K$. Notez que le choix de $K$ correspond à un choix de division $mathbb R^{p,q}congmathbb R^poplusmathbb R^q$. Le groupe $G$ est généré par $K$ et par des groupes de rotations hyperboliques à un paramètre qui agissent sur l'étendue de deux vecteurs unitaires $vinmathbb R^p$ et $winmathbb R^q$ sous la forme $bigl(begin{smallmatrix}cosh t&sinh t\sinh t&cosh tend{smallmatrix}bigr)$. Tous ces sous-groupes sont conjugués les uns aux autres par des éléments de $K$. Chaque sous-groupe commute avec un sous-groupe de $K$ qui est isomorphe à $Kcap(O(p-1)times O(q-1))$, et qui détermine le plan couvert par $v$ et $w$. La vitesse d'une telle rotation peut être mesurée en utilisant la forme de Killing,
qui est intrinsèque, donc $Phi$ ne peut pas changer sa valeur absolue. Le résultat est que le seul automorphisme non trivial qui agit trivialement sur $K$ mais pas sur $G$ est la conjugaison par $(pm 1,mp 1)in O(p)times O(q)$. C'est un automorphisme interne de $G$ sauf si on a affaire à $SO(p,q)$ et que $p$ et $q$ sont tous deux impairs. Dans ce dernier cas, c'est un produit impair de conjugaisons par réflexions, et nous le rencontrerons à nouveau ci-dessous.

Donc à partir de maintenant, nous considérons les automorphismes externes de $K$ et nous voyons si nous pouvons les étendre à $G$.

Nous commençons avec $O(p,q)$, qui est un peu plus facile. Son sous-groupe compact maximal est $K=O(p)times O(q)$. Comme précédemment, nous choisissons comme générateurs un ensemble $mathbb RP^{p-1}sqcupmathbb RP^{q-1}$ constitué de toutes les réflexions le long des hyperplans dans les deux groupes. Chaque élément commute avec un sous-groupe isomorphe à $O(p-1,q)$ ou $O(p,q-1)$, respectivement. Les réflexions (de l'ensemble de $mathbb R^{p,q}$) le long de lignes dans $mathbb R^p$ ou $mathbb R^q$ ont des propriétés similaires. De cette façon, nous obtenons trois endomorphismes non triviaux donnés en multipliant chaque élément du groupe par un homomorphisme localement constant $O(p,q)to{1,-1}$, que nous désignerons par $det_p$, $det_q$ et $det=det_pcdotdet_q$, qui se restreignent sur $K$ à $det_{O(p)}$, $det_{O(q)}$ et $det_{O(q)}$.
et $det_{O(p)}cdotdet_{O(q)}$.
Si $p$ est pair, la multiplication avec $det_p$ est bijective, et donc un automorphisme extérieur. Si $q$ est pair, la multiplication avec $det_q$ est un automorphisme, et si $p+q$ est pair, la multiplication avec $det$ est un automorphisme. Seulement si $p=q=1$, la multiplication avec $det$ ne change pas la décomposition spectrale d'au moins un élément de $K$, et comme dans le cas de $O(2)$ ci-dessus, elle correspond à l'automorphisme extérieur qui provient de l'échange des deux copies de $mathbb R^1$.
Comme il n'y a pas d'autres ensembles de générateurs avec des propriétés similaires, nous avons trouvé tous les automorphismes externes de $O(p,q)$.

Le sous-groupe compact maximal de $SO(p,q)$ est $K=S(O(p)times O(q))=SO(p,q)cap O(p+q)$. Elle a deux composantes connectées. La composante connexe de l'identité est $K^0=SO(p)times SO(q)$. Comme dans le cas de $SO(n)$, les seuls automorphismes externes possibles sont générés par la conjugaison avec des réflexions $r$ dans $O(p)$ ou $O(q)$. Si $p+q$ est impair, $-rin S(O(p)times O(q))$ a le même effet, on obtient donc un automorphisme interne. Si $p+q$ est pair, on obtient un automorphisme externe non trivial par un argument d'orientation comme ci-dessus pour $SO(n)$. Un nombre impair de ceux-ci se compose à la conjugaison par $(-1,1)in O(p)times O(q)$ considérée ci-dessus. Et bien sûr, pour $p=q$, on obtient des automorphismes supplémentaires échangeant les deux facteurs comme ci-dessus. Notez qu'aucun de ces automorphismes ne change les valeurs propres des matrices.

Il reste à vérifier s'il existe des automorphismes extérieurs qui n'affectent que
$$R=Ksetminus K^0=S(O(p)times O(q))setminus(SO(p)times SO(q))=(O(p)setminus SO(p))times(O(q)setminus SO(q)) ;.$$$
Un tel automorphisme devient interne lorsqu'il est restreint à $K^0$,
donc en composant avec un automorphisme interne, nous trouvons un représentant $Phi$ qui agit
comme identité sur $K^0$.
Nous notons que $R$ contient les produits $r_pcirc r_q$ d'une réflexion dans $O(p)$ avec une réflexion dans $O(q)$.
Le seul autre élément de $R$ qui agirait de la même manière par conjugaison sur $SO(p)times SO(q)$ serait $-r_pcirc r_q$,
donc tout ce que $Phi$ peut faire est de multiplier les éléments de $R$ par $-1$.
Cela donne un endomorphisme non trivial qui est un automorphisme externe si et seulement si $p$, $q$ sont pairs (ce qui change les valeurs propres de certaines matrices, donc n'est pas dans notre liste ci-dessus).

En résumé, si $pne q$, le groupe d'automorphisme externe est de la forme $(mathbb Z/2)^k$. Les générateurs sont donnés ci-dessous.
$$begin{matrix}
text{groupe}&text{cas}&text{générateurs}\
O(n)&text{$n$ odd or $n=2$}&text{---}{c}
O(n)&text{$n$ pair, $nge 4$}&mu_{det}
SO(n)&text{$n$ odd}&text{---}
SO(n)&text{$n$ even}&C_r\
O(p,q)&text{$p$, $q$ odd, $p+qge 4$}&mu_{det}
O(p,q)&text{$p$ even, $q$ odd}&mu_{det_p}
O(p,q)&text{$p$, $q$ even}&mu_{det_p},mu_{det_q}
SO(p,q)&text{$p$, $q$ odd}&C_r
SO(p,q)&text{$p$ even, $q$ odd}&C_r\
SO(p,q)&text{$p$, $q$ even}&C_r,mu_{det_p}
end{matrix}$$
où $mu_{dots}$ représente la multiplication avec un homomorphisme au centre, $C_{dots}$ représente la conjugaison avec un élément du normalisateur, et $r$ représente une réflexion.
Si $p=q$, alors il y a un générateur supplémentaire induit par l'échange des deux copies de $mathbb R^p$. Le groupe d'automorphisme extérieur complet sera alors de la forme $(mathbb Z/2)^krtimes(mathbb Z/2)$, où $(mathbb Z/2)^k$ est le groupe décrit dans le tableau.

Ce point est discuté dans cet article de Brian Roberts. (2010), où il souligne que le groupe d'automorphisme extérieur des groupes orthogonaux est trivial.

Rappelez-vous quelque chose, que vous avez la possibilité d'ajouter une critique si cela vous a aidé.



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