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L'émission stimulée : comment le fait de donner de l'énergie aux électrons peut les faire décroître vers un état inférieur ?

Nous enquêtons dans différents espaces afin de vous montrer la réponse à votre doute, si vous continuez avec des doutes, vous pouvez nous laisser votre préoccupation et nous vous répondrons car nous sommes là pour vous aider.

Solution :

Voulez-vous une explication technique de la mécanique quantique, ou une explication non technique ondulée à la main ?

L'explication non technique ondulée à la main : les photons sont des bosons, et les bosons aiment être ensemble (contrairement aux fermions, qui sont des solitaires).

Supposons donc que vous êtes assis dans votre appartement et que vous vous demandez si vous voulez aller voir le nouveau film Star Wars. Il est possible que vous finissiez par rassembler assez d'énergie pour aller au cinéma et acheter un billet, mais probablement pas. Puis cinq de vos amis frappent à votre porte et vous disent "allons voir le nouveau film Star Wars". Vous jetez votre veste et partez avec eux.

C'est plus ou moins comme ça que fonctionne l'émission stimulée, mais bien sûr pour être précis, il faut écrire les équations de la mécanique quantique qui vous disent à quel point les photons aiment être avec leurs amis, et voir que ça marche vraiment. Et pour les photons, si des milliers de leurs amis passent, ils ont beaucoup plus de chances d'y aller que si seulement cinq d'entre eux le font (alors que dans la vraie vie, si des milliers de vos amis passaient, la chose intelligente à faire serait de décider que le théâtre va être complet et de rester chez vous).

Il y a un moyen facile de montrer que ce à quoi on pourrait s'attendre naïvement - qu'il n'y a pas de différence entre les taux d'émission spontanée et d'émission simulée - ne fonctionne pas. Rappelez-vous que la mécanique quantique est réversible. Cela signifie que l'absorption et l'émission devraient fonctionner de la même manière. Maintenant, supposons que vous avez $n$ photons qui illuminent un atome dans l'état fondamental. Vous vous attendriez naïvement à ce que le taux d'absorption soit de $n$ fois le taux avec un seul photon. Et en fait, c'est exact.

Maintenant, supposons que vous avez un atome dans l'état excité, et que vous brillez.$n-1$ photons sur lui. Le processus de sa désintégration et de son passage à l'état fondamental, avec $n$ photons le quittant est exactement l'inverse de celui de l'atome qui est excité lorsqu'il est illuminé par $n$ photons, avec $n-1$ photons la quittant. Donc le taux d'émission stimulée devrait être $n$ fois le taux d'émission spontanée. (Ceci est un peu compliqué car il n'y a qu'un seul mode dans lequel un atome peut se désintégrer en émission stimulée, alors qu'il peut y en avoir plusieurs pour l'émission spontanée).

Cette explication n'est probablement toujours pas entièrement satisfaisante, car elle ne justifie pas le fait que.$n$ photons vont exciter un atome dans l'état fondamental à $n$ fois le taux qu'un photon le fera. La raison essentielle pour laquelle cela se produit est que l'opérateur de création $a^dagger$ satisfait à $a^{dagger } | nrangle ={sqrt {n+1}} ,| n+1rangle$. La réponse de Julian Ingham explique cela plus en détail.

Edit : J'ai édité cette réponse pour ajouter des explications plus intuitives, voir la fin. Les électrons ne reçoivent pas d'énergie des photons, c'est juste que la présence initiale de.$N$ photons rend plus probable la probabilité que l'électron émette un autre photon. "Dipôles" et "inversion de population" n'ont en fait aucun rapport.

La réponse de Peter Shor est une belle esquisse intuitive, mais voici la présentation mathématique qu'il/OP a demandée.

Rapide passage en revue de l'électrodynamique quantique, puis ce sera clair : rappelons que l'interaction entre les champs chargés et le photon est donnée par .
begin{equation}
mathscr{V}_{int}=eint (hat{j}hat{A}) d^3x
end{equation}

Nous pouvons décomposer le champ électromagnétique libre en une somme d'opérateurs d'annihilation de création de photons.
begin{equation}
hat{A}=sum_{n}left(hat{c}_nA_n(x)+hat{c}^dagger_nA^*_n(x)right)
end{equation}

Comme nous le savons de l'oscillateur harmonique, chaque opérateur ne possède des éléments de matrice que pour une augmentation ou une diminution du nombre d'occupation correspondant $N_n$ (le nombre de photons de type $n$; par type, nous entendons d'une fréquence/vecteur d'onde donnée, puisque nous comptons séparément le nombre de photons de différentes fréquences) qui diffèrent de un. Autrement dit, seuls les processus d'émission ou d'absorption d'un seul photon se produisent dans la première approximation de la théorie des perturbations. (Bien qu'encore une fois, par analogie avec l'oscillateur harmonique, nous savons qu'au niveau de la $m$ e ordre dans la théorie des perturbations, $m$-photons sont possibles ie éléments de matrice reliant $N_n$ et $N_npm m$. Quantitativement, les éléments de matrice des opérateurs $c_n$ sont donnés par
begin{equation}
langle N_n|c^dagger_n| N_n-1rangle=langle N_n-1|c_n|N_nrangle=sqrt{N_n}
end{equation}

(La convention est que $c_n$ sont les habituels "$a_n$", mais avec un facteur de $sqrt{2pi/omega}$ absorbé en eux).

L'étude de la probabilité d'un processus d'absorption/émission nécessite une théorie des perturbations. Supposons pour simplifier que les états initial et final du système émetteur/absorbeur appartiennent au spectre discret. Alors le taux de probabilité est donné par la règle d'or de Fermi.
begin{equation}
dw=2pi |mathscr{V}_{fi} |^2 deltaleft(E_i-E_f-omegaright) dnu
end{equation}

Nous avons adopté la normalisation de la fonction d'onde des photons de façon à ce qu'il y ait un photon par volume V, et la fonction d'onde des photons est normalisée en intégrant sur . $dnu$. L'essentiel ici est que le taux de probabilité est proportionnel au carré de l'élément matriciel de $dnu$. $mathscr{V}$ entre l'état initial et l'état final.

Ok donc voici la chute : si l'état initial du champ a déjà un nombre non nul.$N_n$ des photons en question, l'élément de la matrice pour la transition est multiplié par begin{align}
langle N_n+1|c^dagger_n|N_nrangle=sqrt{N_n+1}
end{align}

ie la probabilité de transition, qui implique le carré de l'élément de la matrice, est multipliée par N_n+1$. Le 1 de ce facteur correspond à la $textbf{émission spontanée}$. qui se produit même si N_n=0$. Le terme $N_n$ représente le $textbf{émission stimulée ou induite}$.: la présence de photons dans l'état initial du champ stimule l'émission ultérieure de photons de même nature. L'explication par la main courante est exactement que les photons sont des bosons, voir la réponse de Peter Shor. C'est aussi la même "
$N+1$" cité dans une réponse plus récente, qui implique l'exemple d'un hamiltonien de jouet moléculaire.

Incidemment, nous pouvons obtenir les relations d'Einstein à partir de là avec un effort minimal : l'élément de matrice pour le changement d'état opposé sera proportionnel à .
begin{align}
langle N_n-1|c_n| N_nrangle=sqrt{N_n}
end{align}

et donc les probabilités d'émission et d'absorption pour une paire d'états donnée sont liées par . begin{equation}
w_e/w_a=(N_n+1)/N_n
end{equation}

$textbf{Edit:}$${textit{Quelques questions supplémentaires élaborées.}$

Comme il a été dit dans la réponse de Peter Shor, une façon de penser à cela est que le facteur de $(N_n+1)$ apparaissant dans le taux de probabilité est dû au fait que les photons sont des bosons, et qu'ils "aiment se regrouper" pour aller voir des films de la guerre des étoiles. Les photons d'une certaine fréquence dans l'état initial encouragent la présence d'un autre photon d'une telle fréquence dans l'état final, et l'électron s'y oblige en émettant ce photon. Il y a un point important ici aussi : qui est que les photons de type $n$ c'est-à-dire de fréquence $omega_n$ dans l'état initial encouragent à ce qu'il y ait plus de photons de même type. $n$ fréquence $omega_n$ dans l'état final. Ainsi, le photon que l'électron crache par émission stimulée a pour fréquence $textit{en phase}$ avec les photons originaux - c'est-à-dire du même type. Tout ceci est simplement une conséquence de l'algèbre des opérateurs bosoniques de création/annihilation. L'énergie n'a pas été "donnée" aux électrons de quelque manière que ce soit : c'est clairement l'électron qui a cédé de l'énergie au groupe de photons, car il a émis un photon. Ce qui s'est passé, c'est que le taux de probabilité que l'électron fasse cela a été augmenté.

Steven Sagona demande : $textit{"pourquoi les atomes ont-ils un tel hamiltonien"?}$. Le $jcdot A$ Hamiltonien est le Hamiltonien de l'électromagnétisme. Toutes les interactions entre les photons et la matière sont décrites par cet hamiltonien, car c'est le seul hamiltonien autorisé par l'invariance de jauge et l'invariance de Lorentz.

Une autre question demande le rôle des moments dipolaires et de l'inversion de population. Ni l'un ni l'autre ne sont en fait nécessaires pour comprendre la notion d'émission stimulée, qui est simplement notre facteur de.$N_n$ comme expliqué. Pour être complet, nous allons donner une explication rapide du rôle de ces termes dans la physique des lasers.

Le fonctionnement d'un laser est le suivant : on introduit de l'énergie dans le système - le "pompage" - et on amène ainsi les atomes dans des états excités. L'inversion de population est simplement la situation dans laquelle vous avez plus d'atomes dans des états excités que dans l'état fondamental. Ensuite, vous exposez vos atomes excités à des photons, et les électrons sont stimulés pour redescendre à l'état fondamental et cracher des photons qui sont en phase ("du même type") que les photons incidents, pour les raisons expliquées ci-dessus. Ensuite, ces photons émis de manière stimulée se déplacent en heurtant d'autres électrons, qui subissent à leur tour une émission stimulée, et ainsi de suite dans un effet boule de neige de photons en phase de plus en plus nombreux, jusqu'à ce que vous épuisiez progressivement vos électrons excités. Vous obtenez alors tout un tas de photons cohérents. Encore une fois, aucun dipôle n'est nécessaire ici.

Si on voulait calculer plus exactement les taux d'émission, il faudrait calculer.$mathscr{V}_{fi}$. Lorsque la longueur d'onde du photon est grande par rapport à la taille de l'atome, la contribution dominante à cet élément de matrice provient du rayonnement dipôle. Il existe des règles de sélection qui déterminent si un état initial et un état final peuvent être reliés par une transition dipolaire, https://en.wikipedia.org/wiki/Selection_rule. On peut calculer ${mathscr{V}_{fi}$ plus précisément en développant notre expression pour $jcdot A$ dans une expansion multipolaire. Je pourrais passer en revue tous ces détails mathématiquement mais ce serait trop - le point fondamental est que les symétries des états entre lesquels l'électron saute déterminent si ce processus est autorisé ou non. En pratique, pour que le processus boule de neige expliqué ci-dessus fonctionne, il faut que les électrons restent longtemps dans leurs états excités (c'est-à-dire qu'ils soient métastables) afin que les photons aient une chance de les atteindre et de faire boule de neige sur eux. L'origine des états métastables est généralement la suivante : le saut spontané de cet état métastable à l'état fondamental est interdit par une règle de sélection https://en.wikipedia.org/wiki/Metastability#Atomic_and_molecular_physics. Il est donc peu probable que l'électron sorte de l'état métastable. Cela signifie que la probabilité que l'électron retourne spontanément à l'état fondamental est faible, mais que la probabilité qu'il y retourne par émission stimulée peut être élevée en raison de ce grand facteur de $N_n$ qui compense. C'est une bonne chose : l'émission spontanée crache des photons aléatoires déphasés, mais nous voulons une émission stimulée pour pouvoir avoir des photons en phase (c'est l'intérêt d'un laser). Les règles de sélection nous permettent donc de choisir de bons états métastables, et c'est ce qui nous permet de tirer le meilleur parti de ces atomes excités et d'en tirer le plus grand nombre possible d'événements d'émission stimulée avant qu'ils ne se désexcitent tous. Mais c'est un détail qui dépend du système, et qui ne joue aucun rôle essentiel dans le phénomène de l'émission stimulée en soi - c'est une nécessité pratique nécessaire pour s'assurer que les électrons d'un laser restent excités assez longtemps pour subir une émission stimulée.

La question appelait une réponse détaillée, je vais donc montrer un calcul explicite, utilisant l'équation de Schrödinger, dans un modèle jouet qui présente une émission stimulée. La plupart des efforts sont consacrés à la construction du modèle et à l'explication de la signification des différentes pièces. Une fois que cela est fait, le calcul lui-même est relativement rapide et facile, et l'interprétation du résultat est simple.


Le modèle

Un type simple de laser fonctionne en mettant les molécules du matériau lasant dans un état excité à relativement longue durée de vie, un état qui finirait par se désintégrer de lui-même (en libérant un photon) même s'il n'était pas "stimulé". S'il se désintègre de lui-même, le photon émis se trouve dans une superposition de moments différents, sans préférence pour les moments parallèles à l'axe long du laser. Le modèle illustrera ce qui se passe lorsque d'autres photons, émis par d'autres molécules précédemment excitées, sont déjà présents. Le modèle comprend :

  • une seule molécule à deux niveauxe;

  • deux modes de photons différents, représentant deux moments différents avec la même magnitude et des directions différentes (disons orthogonales).

Le modèle fait intervenir deux paramètres :

  • un paramètre réel $lambda$ qui détermine la force de l'interaction entre la molécule et les photons ;

  • un paramètre réel $omega$ représentant l'énergie de l'état excité de la molécule (par rapport à l'état fondamental). Le même paramètre $omega$ représente également l'énergie d'un photon unique (l'un ou l'autre mode).

Les unités avec
<>Barres=1$ sont utilisées ici. Au total, le hamiltonien est $$
H =
omega, a^dagger a +
omega, b^dagger b +
omega, c^^dagger c +
lambda big(c^dagger (a+b) +
(a+b)^dagger cbig),
tag{1}
$$

a,b,c$ sont des opérateurs ayant la signification suivante :

  • $a^dagger$ et $a$ sont les opérateurs de création et d'annihilation, respectivement, pour les photons de même momentum ;

  • $b^dagger$ et $b$ sont les opérateurs de création et d'annihilation, respectivement, pour les photons ayant l'autre momentum ;

  • l'opérateur $c^dagger$ promeut la molécule de son état fondamental à l'état excité, et l'opérateur $c$ la fait passer de l'état excité à l'état fondamental.

Pour s'assurer que le modèle ne fait intervenir que deux niveaux d'énergie pour la molécule, on utilise les opérateurs.
$c,c^dagger$ sont pris pour satisfaire les relations d'anticommutation $$
cc = 0
hskip2cm
c^dagger c^dagger = 0
hskip2cm
cc^dagger+c^dagger c = 1.
tag{2}
$$

En revanche, les opérateurs photoniques
$a,b$ satisfont les relations de commutation habituelles des bosons $$
aa^dagger-a^dagger a=1
hskip2cm
bb^dagger-b^dagger b=1
tag{3}
$$

et :

  • $a$ et $a^dagger$ commute avec $b$ et $b^dagger$

  • $a$ et $a^dagger$ commute avec $c$ et $c^dagger$

  • $b$ et $b^dagger$ commute avec $c$ et $c^dagger$

Les termes d'interaction dans l'hamiltonien, les termes multipliés par
$lambda$, sont $$
c^dagger (a+b)
hskip1cm
text{et}
hskip1cm
(a+b)^dagger c.
$$

Le premier décrit le absorption d'un $a$-photon ou $b$-photon par la molécule, et la seconde décrit.l'émission. Les deux termes doivent être présents car l'hamiltonien doit être auto-adjoint. Pour compléter la définition du modèle, laissons
$|0rangle$ désigne l'état sans photons et dans lequel la molécule est dans son état fondamental, donc $$
a|0rangle=0
hskip2cm
b|0rangle=0
hskip2cm
c|0rangle=0.
tag{4}
$$

Maintenant, supposons que la molécule a été préparée dans son état excité et que.$N$ photons sont déjà présents dans le mode
$a$, donc l'état initial du système est
$$
| | psi(0)rangle = big(a^daggerbig)^N c^dagger|0rangle.
tag{5}
$$

En travaillant dans l'image de Schrödinger, l'état évolue dans le temps selon $$
ifrac{partial}{partial t}|psi(t)rangle
= H|psi(t)rangle
$$

avec $H$ donné par (1).


Le calcul

Au moment initial
$t=0$, le côté droit peut être évalué explicitement :
begin{align*}
left.ifrac{partial}{partial t}|psi(t)rangle,right|_{t=0}
&= (N+1)omega,|psi(0)rangle
+ lambda big(a^daggerbig)^N (a^dagger+b^dagger)|0 rangle
&= (N+1)omega,|psi(0)rangle
+ |Arangle+|Brangle
tag{6}
end{align*}

avec $$
N-angle
equiv
lambda big(a^daggerbig)^{N+1}|0rangle
hskip2cm
|Brangle
equiv
lambda big(a^daggerbig)^{N}b^dagger |0rangle.
tag{7}
$$

Le terme d'interaction impliquant $c^dagger$ ne contribue pas à (6), car
$(c^dagger)^2=0$. Les relations de commutation pour les opérateurs photons impliquent que $$
frac{langle A|Arangle}{langle B|Brangle}
=frac{(N+1)!}{N!} = N+1.
tag{8}
$$

Pour dériver rapidement (8), remarquez que l'équation (3) dit que $a$ agit formellement comme la "dérivée" par rapport à
$a^dagger$ donc $$
abig(a^daggerbig)^n|0rangle=nbig(a^daggerbig)^{n-1}|0rangle.
$$


Interprétation

Considérons maintenant la signification du résultat (6)-(8). Le côté droit de (6) est une superposition quantique de trois termes :

  • un terme proportionnel à $|psi(0)rangle$ dans lequel la molécule ne s'est pas encore désintégrée,

  • un terme $|Arangle$ dans lequel la molécule s'est désintégrée en émettant un $a$-photon,

  • un terme $|Brangle$ dans lequel la molécule s'est désintégrée en émettant un $b$-photon.

Bien sûr, cela ne représente que la tendance initiale, car l'équation (6) est évaluée à.$t=0$. Mais pour construire une intuition avec relativement peu de calculs, c'est suffisant.

Considérons d'abord le cas $N=0$, représentant la situation où aucun photon n'est présent dans l'état initial, donc la molécule se désintègre d'elle-même, sans stimulation. Dans ce cas, l'équation (8) dit que la molécule de $|Arangle$ et $|Brangle$ ont la même magnitude, l'équation (6) dit donc que le photon est émis dans une superposition égale des deux moments, sans préférence pour l'un ou l'autre. Il s'agit d'une émission spontanée.

Considérons maintenant le cas $Ngeq 1$, représentant la situation avec un ou plusieurs $a$-présents dans l'état initial. Dans ce cas, l'équation (8) dit que le carré de la magnitude du $|Arangle$ est plus grande que la magnitude au carré du terme $|Brangle$ par un facteur de N+1geq 2$. Par conséquent, bien que le photon soit toujours émis dans une superposition des deux momenta parce que les deux termes sont présents dans l'équation (6), il est maintenant émis préférentiellement avec le terme $a$-car le momentum $A$ dans l'équation (6) a une plus grande amplitude que le terme $B$ terme. Le rapport $N+1$ dit que plus $a$-photons sont présents dans l'état initial, plus cette préférence est forte. Il s'agit d'une émission stimulée.

Ce modèle simple ne tenait pas compte des parois qui contiennent le matériau lasant, mais on peut supposer que les parois sont conçues (à l'aide de miroirs, etc.) de façon à ce que les photons en mode.$a$ (disons, avec une impulsion parallèle à l'axe long du laser) restent dans la cavité laser plus longtemps que les photons en mode $b$. Ceci introduit une légère tendance à avoir plus de $a$-photons que $b$-photons après que les molécules initialement excitées commencent à se désintégrer, puis l'effet d'émission stimulée amplifie cette tendance de plus en plus fortement au fur et à mesure que le nombre de $a$-augmente. Finalement, le nombre de $a$-émis (stimulés ou non) équilibre le nombre de photons $a$ $a$ -photons absorbés (le hamiltonien (1) comprend les deux termes), et le processus se stabilise.


Editer : Ces clarifications ont été postées comme commentaires, mais la traînée de commentaires devenait longue, donc j'ai déplacé les clarifications dans cette annexe.

Comme un commentaire l'a souligné, ce modèle simple est trop simplifié à plusieurs égards. En particulier, il n'inclut que deux moments de photons. Un modèle plus réaliste devrait inclure de nombreux moments photoniques, et une preuve que le lasing se produit réellement devrait montrer que l'effet de la stimulation dans une petite fraction de ces modes est suffisant. Cependant, le but du modèle simple présenté ici n'est pas d'essayer de prouver que le lasing se produit ; le but est d'illustrer le phénomène de l'émission stimulée d'une manière simple.

Une autre préoccupation a été soulevée concernant le traitement de la norme-carrée d'un terme du côté droit de (6) comme une probabilité de transtition. Ce n'était pas l'intention. L'équation (8) a seulement pour but de dire que dans l'équation (6), la contribution de la norme-carrée de l'équation (6).
$A$ croît (initialement) plus rapidement que celle du terme $B$ Avec un seul photon comme stimulateur, l'émission pour ce mode sera renforcée par rapport aux autres modes, mais l'émission dans les autres modes se produit toujours. Avant d'interrompre les choses avec une mesure, toutes ces choses se produisent continuellement ensemble dans le cadre de la superposition quantique selon l'équation de Schrödinger, mais certaines contributions augmentent plus rapidement que d'autres, ce qui affectera la distribution des résultats lorsqu'une mesure se produira finalement.

Un commentaire de Steven Sagona mentionne que les véritables sources de photons uniques sont difficiles à préparer. Une source plus réaliste pourrait préparer un état comme $$
|0rangle
+alpha a^dagger|0rangle
+frac{1}{2}(alpha a^dagger)^2|0rangle
+cdots
$$
avec une magnitude relativement faible du coefficient $|alpha|$ , de sorte que les termes d'ordre supérieur sont négligeables. Pour analyser l'émission stimulée lorsque le ou les photons simulés proviennent d'une telle source, nous pouvons simplement remplacer l'équation (5) par une superposition impliquant différentes valeurs de $N$(telles que $N=0$, $1$ et $2$). L'équation de Schrödinger étant linéaire, cela a pour effet de remplacer les équations (7) par les superpositions correspondantes. En comparant la norme de chaque terme ayant une valeur de $b$-avec le terme associé qui a un photon supplémentaire. $a$-photon à la place, nous concluons à nouveau que ce dernier terme croît plus rapidement (au moins initialement) que le premier dans les termes où au moins un $a$ -photon était présent initialement. L'effet global est plus faible car le terme dominant (celui où aucun photon n'est présent initialement) n'inclut aucune stimulation, mais l'effet d'émission stimulée se produit toujours dans les autres termes (ceux où des photons sont présents initialement).

Ce commentaire soulève un point intéressant. Même dans ce modèle à molécule unique, et même avec un véritable stimulus à photon unique de sorte qu'il n'y a pas d'intrication dans l'état initial, la lumière de sortie est toujours intriquée avec la molécule. Cette tendance est déjà évidente dans l'équation (6), dont le côté droit est une superposition de deux termes :

  • Un terme avec $N$ photons et une molécule excitée (le terme impliquant
    $N$
    )

  • Un terme impliquant $N+1$ photons et une molécule relaxée (le terme $|Arangle+|Brangle$).

L'intrication est encore plus prononcée dans un modèle comportant beaucoup de molécules, car l'état final est une superposition de nombreux nombres différents de molécules ayant émis leurs photons. Puisque c'est enchevêtré, l'état pur exact (s'il y en a un) qui représente le mieux la lumière de sortie (par exemple, un état cohérent) peut être une question délicate, dont la réponse nécessite probablement un examen attentif de la "décohérence".

La question initiale était :

Comment le fait de "donner" de l'énergie (sous forme de photons) à des électrons peut les stimuler à venir dans un état d'énergie plus faible ?

Le message clé de cette réponse est que l'émission stimulée ne consiste pas à donner.de l'énergie à la molécule. L'énergie doit être donnée à la molécule afin de la mettre dans l'état excité en premier lieu.ace; mais le phénomène d'émission stimulée se produit parce que les photons sont des bosons, comme l'exprime l'équation (3). C'est ce qui conduit au facteur $N+1$ dans l'équation (8).

notes et commentaires

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