Skip to content

Montrez que toute transformation de Lorentz homogène appropriée peut être exprimée comme le produit d'une impulsion par une rotation.

Après une vaste compilation d'informations, nous avons résolu cet obstacle que beaucoup de nos lecteurs peuvent rencontrer. Nous partageons la solution avec vous et nous espérons qu'elle vous sera d'une grande aide.

Solution :

RÉPONSE - Parties I et II


$texttt{Abstract}$

$boldsymbolStexttt{ A. Transformations de Lorentz homogènes propres : }Lambda$

$boldsymbolStexttt{ B. Boosts de Lorentz : }mathrm Lleft(mathbf{v}right)$

$boldsymbolStexttt{ C. La décomposition : Lampda = rm Lleft(mathbf{v}right)mathcal R $

D. L'unicité de la décomposition : rm Lleft(mathbf{v}'right)mathcal R' ! =!rm Lleft(mathbf{v}right)mathcal R'implique mathbf{v}'!=!mathbf{v},mathcal R'!=!mathcal R$

E. Décomposition avec boost de Lorentz en premier : Lambda = rm mathcal Q, Lleft(mathbf u right)$


RÉPONSE - Partie I

Résumé

On prouvera qu'une transformation de Lorentz homogène appropriée (${Lambda$}) peut être décomposée d'une seule et unique manière en un boost de Lorentz ($rm L$) avec une vélocité $mathbf v$ et une rotation dans l'espace ($mathcal R$)
begin{equation}
Lambda = rm L,mathcal R
tag{a}label{a}
end{equation}

dans cet ordre. Les composantes de la vitesse $mathbf v$ et les caractéristiques de la rotation $mathcal R$ (éléments de matrice, axe et angle) seront données comme expressions des éléments de matrice de $Lambda$.

Il faut noter que la transformation $mathcal R$ est supposée a priori comme étant spatiale en général. Qu'elle soit une rotation pure est prouvé a posteriori.


$boldsymbolS$.A. Transformations de Lorentz homogènes propres

Pour être complet, nous notons les propriétés les plus importantes des transformations de Lorentz telles qu'on les trouve dans de nombreux manuels et sur le Web. Soit un vecteur 4 dans l'espace-temps de Minkowski.
begin{equation}
mathbf X =
begin{bmatrix}
vphantom{dfrac{a}{b}}
mathbf xvphantom{dfrac{a}{b}}
vphantom{dfrac{a}{b}}
c,tvphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
=
begin{bmatrix}
x_1vphantom{dfrac{a}{b}}
x_2vphantom{dfrac{a}{b}}
x_3vphantom{dfrac{a}{b}}
x_4vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix},, qquad x_k in mathbb R
tag{A-01}label{A-01}
end{equation}

avec norme
begin{equation}
Vertmathbf XVert^2=left(c,tright)^2-vertmathbf x vert^2=x^2_4-left(x^2_1+x^2_2+x^2_3right)
tag{A-02}label{A-02}
end{equation}

Une transformation de Lorentz homogène
begin{equation}
mathbf X'=
begin{bmatrix}
vphantom{dfrac{a}{b}}
mathbf x'vphantom{dfrac{a}{b}}
vphantom{dfrac{a}{b}}
c,t'vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
=
begin{bmatrix}
x'_1vphantom{dfrac{a}{b}}
x'_2vphantom{dfrac{a}{b}}
x'_3vphantom{dfrac{a}{b}}
x'_4vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
=
begin{bmatrix}
Lambda_{11} & Lambda_{12} & Lambda_{13} & Lambda_{14}vphantom{{dfrac{a}{b}}
Lambda_{21} & Lambda_{22} & Lambda_{23} & Lambda_{24}vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{31} & Lambda_{32} & Lambda_{33} & Lambda_{34}vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{41} & Lambda_{42} & Lambda_{43} & Lambda_{44}vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
begin{bmatrix}
x_1vphantom{dfrac{a}{b}}
x_2vphantom{dfrac{a}{b}}
x_3vphantom{dfrac{a}{b}}
x_4vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
=Lambdamathbf X,, quad Lambda_{ij} in mathbb R
tag{A-03}label{A-03}
end{equation}

est celle par laquelle la norme eqref{A-02} reste invariante. Cette norme s'exprime d'une manière différente sous la forme
egin{align}
Vertmathbf{X}Vert^2 &=-
egin{bmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 & x_4
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
+1 & hphantom{+}0& hphantom{+}0& hphantom{-}0phantom{dfrac{a}{b}}_.
hphantom{+}0 & +1 & hphantom{+}0 & hphantom{-}0phantom{dfrac{a}{b}}
hphantom{+}0 & hphantom{+}0 & +1& hphantom{-}0phantom{dfrac{a}{b}}\
hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &-1phantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
x_1phantom{dfrac{a}{b}}
x_2phantom{dfrac{a}{b}}
x_3phantom{dfrac{a}{b}}
x_4phantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
onumber
& =-
egin{bmatrix}
x_1phantom{dfrac{a}{b}}
x_2phantom{dfrac{a}{b}}
x_3phantom{dfrac{a}{b}}
x_4phantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}^{oldsymbol{ op}}
egin{bmatrix}
+1 & hphantom{+}0& hphantom{+}0& hphantom{-}0phantom{dfrac{a}{b}}}
hphantom{+}0 & +1 & hphantom{+}0 & hphantom{-}0phantom{dfrac{a}{b}}
hphantom{+}0 & hphantom{+}0 & +1& hphantom{-}0phantom{dfrac{a}{b}}\
hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &-1phantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
x_1phantom{dfrac{a}{b}}
x_2phantom{dfrac{a}{b}}
x_3phantom{dfrac{a}{b}}
x_4phantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
ag{A-04}label{A-04}
end{align}

c'est-à-dire
egin{equation}
Vertmathbf XVert^2=-mathbf X^{oldsymbol{ op}} eta,mathbf X
ag{A-05}label{A-05}
end{equation}


egin{équation}
eta=
egin{bmatrix}
+1 & hphantom{+}0& hphantom{+}0& hphantom{-}0phantom{dfrac{a}{b}}}
hphantom{+}0 & +1 & hphantom{+}0 & hphantom{-}0phantom{dfrac{a}{b}}
hphantom{+}0 & hphantom{+}0 & +1& hphantom{-}0phantom{dfrac{a}{b}}\
hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &-1phantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
ag{A-06}label{A-06}
end{equation}

A partir de l'intervalle espace-temps invariant
egin{align}
&Vertmathbf X'Vert^2=Vertmathbf XVert^2:Longrightarrow:-mathbf X'^{oldsymbol{ op}} eta,mathbf X'=-mathbf X^{oldsymbol{ op}} eta,mathbf X:Longrightarrow
onumber
& gauche(Lambdamathbf X
ight)^{oldsymbol{ op} eta,left(Lambdamathbf X
ight)=mathbf X^{oldsymbol{ op}} eta,mathbf X:Longrightarrow:mathbf X^{oldsymbol{ op}}Lambda^{oldsymbol{ op}}eta,Lambdamathbf X=mathbf X^{oldsymbol{ op} eta,mathbf X
surnombre
end{align}

donc pour tout $mathbf X $egin{equation}
mathbf X^{oldsymbol{ op}}left(Lambda^{oldsymbol{ op}}eta,Lambda-eta
ight)mathbf X=0
surnombre
end{equation}

d'où
egin{equation}
oxed{::Lambda^{oldsymbol{ op}}eta,Lambda =etaphantom{dfrac{a}{b}}::}
ag{A-07}label{A-07}
end{equation}

écrit explicitement

egin{equation}
egin{bmatrix}
Lambda_{11} & Lambda_{21} & Lambda_{31} & Lambda_{41}phantom{dfrac{a}{b}}_.
Lambda_{12} & Lambda_{22} & Lambda_{32} & Lambda_{42}phantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{13} & Lambda_{23} & Lambda_{33} & Lambda_{43}phantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{14} & Lambda_{24} & Lambda_{34} & Lambda_{44}phantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
+1 & hphantom{+}0 & hphantom{+}0 & hphantom{-}0phantom{dfrac{a}{b}}
hphantom{+}0 & +1 & hphantom{+}0 & hphantom{-}0phantom{dfrac{a}{b}}
hphantom{+}0 & hphantom{+}0 & +1& hphantom{-}0phantom{dfrac{a}{b}}\
hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &-1phantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
Lambda_{11} & Lambda_{12} & Lambda_{13} & Lambda_{14}phantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{21} & Lambda_{22} & Lambda_{23} & Lambda_{24}phantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{31} & Lambda_{32} & Lambda_{33} & Lambda_{34}phantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{41} & Lambda_{42} & Lambda_{43} & Lambda_{44}phantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
=
egin{bmatrix}
+1 & hphantom{+}0 & hphantom{+}0 & hphantom{-}0phantom{dfrac{a}{b}}
hphantom{+}0 & +1 & hphantom{+}0 & hphantom{-}0phantom{dfrac{a}{b}}
hphantom{+}0 & hphantom{+}0 & +1& hphantom{-}0phantom{dfrac{a}{b}}\
hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &-1phantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
ag{A-08}label{A-08}
end{equation}

ou
begin{equation}
begin{bmatrix}
Lambda_{11} & Lambda_{21} & Lambda_{31} & Lambda_{41}vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{12} & Lambda_{22} & Lambda_{32} & -Lambda_{42}vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{13} & Lambda_{23} & Lambda_{33} & -Lambda_{43}vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{14} & Lambda_{24} & Lambda_{34} & -Lambda_{44}vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
begin{bmatrix}
Lambda_{11} & Lambda_{12} & Lambda_{13} & Lambda_{14}vphantom{{dfrac{a}{b}}
Lambda_{21} & Lambda_{22} & Lambda_{23} & Lambda_{24}vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{31} & Lambda_{32} & Lambda_{33} & Lambda_{34}vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{41} & Lambda_{42} & Lambda_{43} & Lambda_{44}vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
=
begin{bmatrix}
+1 & hphantom{+}0& hphantom{+}0& hphantom{-}0vphantom{dfrac{a}{b}}vphantom{r}}
hphantom{+}0 & +1 & hphantom{+}0 & hphantom{-}0vphantom{dfrac{a}{b}}
hphantom{+}0 & hphantom{+}0 & +1& hphantom{-}0 vphantom{dfrac{a}{b}}
hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &-1vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
tag{A-09}label{A-09}
end{equation}

Par conséquent, les trois premiers vecteurs 4 colonnes de <> sont de type spatial avec une norme au carré $+1$ tandis que le 4-vecteur de la quatrième colonne est de type temporel avec une norme au carré. $-1$ comme dans les 4 équations suivantes
begin{align}
texttt{vecteur de la colonne 1 : }Lambda^2_{11}+Lambda^2_{21} +Lambda^2_{31}-Lambda_{41}^2 & =+1
tag{A-10.1}label{A-10.1}
texttt{colonne 2 vecteur : }Lambda^2_{12}+Lambda^2_{22} +Lambda^2_{32}-Lambda_{42}^2 & =+1
tag{A-10.2}label{A-10.2}
texttt{colonne 3 vecteur : }Lambda^2_{13}+Lambda^2_{23} +Lambda^2_{33}-Lambda_{43}^2 & =+1
tag{A-10.3}label{A-10.3}
texttt{colonne 4 vecteur : }Lambda^2_{14}+Lambda^2_{24} +Lambda^2_{34}-Lambda_{44}^2 & =-1
tag{A-10.4}label{A-10.4}
end{align}

De plus, les quatre vecteurs 4 colonnes sont mutuellement pseudo-orthogonaux les uns par rapport aux autres. Ces propriétés sont exprimées par les 6 équations suivantes.
begin{align}
texttt{colonne 1 par colonne 2 : }Lambda_{11}Lambda_{12}+Lambda_{21}Lambda_{22} +Lambda_{31}Lambda_{32}-Lambda_{41}Lambda_{42} & =0
tag{A-10.5}label{A-10.5}
texttt{colonne 1 par colonne 3 : }Lambda_{11}Lambda_{13}+Lambda_{21}Lambda_{23} +Lambda_{31}Lambda_{33}-Lambda_{41}Lambda_{43} & =0
tag{A-10.6}label{A-10.6}
texttt{colonne 1 par colonne 4 : }Lambda_{11}Lambda_{14}+Lambda_{21}Lambda_{24} +Lambda_{31}Lambda_{34}-Lambda_{41}Lambda_{44} & =0
tag{A-10.7}label{A-10.7}
texttt{colonne 2 par colonne 3 : }Lambda_{12}Lambda_{13}+Lambda_{22}Lambda_{23} +Lambda_{32}Lambda_{33}-Lambda_{42}Lambda_{43} & =0
tag{A-10.8}label{A-10.8}
texttt{colonne 2 par colonne 4 : }Lambda_{12}Lambda_{14}+Lambda_{22}Lambda_{24} +Lambda_{32}Lambda_{34}-Lambda_{42}Lambda_{44} & =0
tag{A-10.9}label{A-10.9}
texttt{colonne 3 par colonne 4 : }Lambda_{13}Lambda_{14}+Lambda_{23}Lambda_{24} +Lambda_{33}Lambda_{34}-Lambda_{43}Lambda_{44} & =0
tag{A-10.10}label{A-10.10}
end{align}

Les 16 éléments de ``Lambda$`` doivent satisfaire les 10 équations eqref{A-10.1}-eqref{A-10.10}. Par conséquent, sans importance ici, l'ensemble de toutes les transformations $Lambda$ ayant la propriété eqref{A-07} doit être 6-paramétrique.

D'après l'équation eqref{A-07}
begin{equation}
detleft(Lambda^{boldsymbol{top}eta,Lambdaright) =deteta quad Longrightarrow quad det\Lambda^{boldsymbol{top}cdotdetcdotdetLambda=deteta\quad Longrightarrow
N- non-numéro
end{equation}
begin{equation}
left(detLambdaright)^2=+1 quad texttt{or} quad detLambda=pm 1
tag{A-11}label{A-11}
end{equation}

Maintenant, l'élément < est le facteur mettant en relation les variables temporelles $t,t'$begin{equation}
t'=Lambda_{44},t cdots
tag{A-12}label{A-12}
end{equation}

Pour exclure le cas de l'inversion temporelle, il est nécessaire que ce facteur soit positif. Mais d'après eqref{A-10.4}
begin{equation}
Lambda_{44}^2=1+left(Lambda^2_{14}+Lambda^2_{24}+Lambda^2_{34}right)ge +1
tag{A-13}label{A-13}
end{equation}

Donc nous devons avoir
begin{equation}
boxed{::Lambda_{44} ge +1 qquad texttt{(orthochrone)}vphantom{dfrac{a}{b}}::}
tag{A-14}label{A-14}
end{equation}

D'autre part pour exclure l'inversion d'espace nous devons avoir de eqref{A-11}
begin{equation}
boxed{c} detLambda=+1qquad{c} texttt{c}(exclusion de l'inversion d'espace)}vphantom{dfrac{a}{b}}::}
tag{A-15}label{A-15}
end{equation}

Une transformation de Lorentz homogène qui, au-delà de la condition eqref{A-07}, satisfait également la condition d'orthochronie eqref{A-14} et la condition d'inversion de l'espace d'exclusion eqref{A-15} est appelée transformation de Lorentz homogène propre.

Notez également qu'en appliquant $eta$ sur les deux côtés de eqref{A-07} on a
begin{equation}
eta,Lambda^{boldsymbol{top}eta,Lambda =eta^2=mathrm Iquad Longrightarrow quad left(eta,Lambda^{boldsymbol{top}etaright)Lambda =mathrm I
non nombre
end{equation}

donc
begin{equation}
Lambda^{-1} =eta,Lambda^{boldsymbol{top}}eta
tag{A-16}label{A-16}
end{equation}

explicitement
begin{equation}
Lambda^{-1} =
begin{bmatrix}
+1 & hphantom{+}0& hphantom{+}0& hphantom{-}0vphantom{dfrac{a}{b}}\N
hphantom{+}0 & +1 & hphantom{+}0 & hphantom{-}0vphantom{dfrac{a}{b}}
hphantom{+}0 & hphantom{+}0 & +1& hphantom{-}0 vphantom{dfrac{a}{b}}
hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &-1vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
begin{bmatrix}
Lambda_{11} & Lambda_{21} & Lambda_{31} & Lambda_{41}vphantom{{dfrac{a}{b}}
Lambda_{12} & Lambda_{22} & Lambda_{32} & Lambda_{42}vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{13} & Lambda_{23} & Lambda_{33} & Lambda_{43}vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{14} & Lambda_{24} & Lambda_{34} & Lambda_{44}vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
begin{bmatrix}
+1 & hphantom{+}0& hphantom{+}0& hphantom{-}0vphantom{dfrac{a}{b}}\N
hphantom{+}0 & +1 & hphantom{+}0 & hphantom{-}0vphantom{dfrac{a}{b}}
hphantom{+}0 & hphantom{+}0 & +1& hphantom{-}0vphantom{dfrac{a}{b}}
hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &hphantom{+}0 &-1vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}Nquad N- Flèche longue
NNombre
end{equation}
begin{equation}
Lambda^{-1} =
begin{bmatrix}
hphantom{-}Lambda_{11} & hphantom{-}Lambda_{21} & hphantom{-}Lambda_{31} & -Lambda_{41}vphantom{dfrac{a}{b}}
hphantom{-}Lambda_{12} & hphantom{-}Lambda_{22} & hphantom{-}Lambda_{32} & -Lambda_{42}vphantom{dfrac{a}{b}}
hphantom{-}Lambda_{13} & hphantom{-}Lambda_{23} & hphantom{-}Lambda_{33} & -Lambda_{43}vphantom{dfrac{a}{b}
-Lambda_{14} & -Lambda_{24} & -Lambda_{34} & hphantom{-}Lambda_{44}vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
tag{A-17}label{A-17}
end{equation}

Notez que est également une transformation de Lorentz homogène propre puisque
enter image description here


$boldsymbolS$$.B. Les boosts de Lorentz

Un boost de Lorentz avec une vitesse $mathbf v$begin{equation}
mathbf v =
begin{bmatrix}
v_1 vphantom{dfrac{a}{b}}
v_2 vphantom{dfrac{a}{b}}}
v_3 vphantom{dfrac{a}{b}}}
end{bmatrix}
tag{B-01}label{B-01}
end{equation}

a en général la forme suivante
begin{equation}
mathrm Lleft(mathbf{v}right) =
begin{bmatrix}
mathrm I+dfrac{gamma^2_v}{c^2 left(gamma_v+1right)}mathbf v mathbf v ^{boldsymbol{top} & - dfrac{gamma_v}{c}mathbf v vphantom{dfrac{gamma}{c}boldsymbol{upsilon}^{boldsymbol{top}}}vphantom{dfrac{dfrac{a}{b}}{dfrac{a}{b}}}
-dfrac{gamma_v}{c}mathbf v^{boldsymbol{top} & hphantom{-}gamma_v vphantom{dfrac{dfrac{a}{b}}{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
tag{B-02}label{B-02}
end{equation}


begin{equation}
gamma_v=left(1-dfrac{v^2}{c^2}right)^{-frac12}
tag{B-03}label{B-03}
end{equation}

Notons que
begin{equation}
mathbf v mathbf v ^{boldsymbol{top}}=
begin{bmatrix}
v_1 vphantom{dfrac{a}{b}}
v_2 vphantom{dfrac{a}{b}}
v_3 vphantom{dfrac{a}{b}}}
end{bmatrix}
begin{bmatrix} (début)
v_1 vphantom{dfrac{a}{b}}
v_2 vphantom{dfrac{a}{b}}
v_3 vphantom{dfrac{a}{b}}}
end{bmatrix} ^{boldsymbol{top}
=
begin{bmatrix}
v_1 vphantom{dfrac{a}{b}}
v_2 vphantom{dfrac{a}{b}}
v_3 vphantom{dfrac{a}{b}}}
end{bmatrix}
begin{bmatrix} (début)
v_1 & v_2 & v_3 vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
=
begin{bmatrix}
v^2_1 & v_1v_2 & v_1v_3 vphantom{dfrac{a}{b}}}
v_2v_1 & v^2_2 & v_2v_3 vphantom{{dfrac{a}{b}}
v_3v_1 & v_3v_2 & v^2_3 vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
tag{B-04}label{B-04}
end{equation}

Un boost de Lorentz est un type particulier de transformation de Lorentz homogène propre avec deux propriétés supplémentaires : il est symétrique avec l'inverse.begin{equation}
mathrm L^{-1}=bigl[mathrm Lleft(mathbf{v}right)bigr]^{-1} =mathrm Lgauche(-mathbf{v}droit) =
begin{bmatrix}
mathrm I+dfrac{gamma^2_v}{c^2 left(gamma_v+1right)}mathbf v mathbf v ^{boldsymbol{top} & +dfrac{gamma_v}{c}mathbf v vphantom{dfrac{gamma}{c}boldsymbol{upsilon}^{boldsymbol{top}}}vphantom{dfrac{dfrac{a}{b}}{dfrac{a}{b}}}
+dfrac{gamma_v}{c}mathbf v^{boldsymbol{top} & hphantom{-}gamma_v vphantom{dfrac{dfrac{a}{b}}{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
tag{B-05}label{B-05}
end{equation}


$boldsymbolS$${i1}C. La décomposition

La question est de savoir si une transformation de Lorentz homogène et appropriée.

begin{equation}
Lambda =
begin{bmatrix}
Lambda_{11} & Lambda_{12} & Lambda_{13} & Lambda_{14}vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{21} & Lambda_{22} & Lambda_{23} & Lambda_{24}vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{31} & Lambda_{32} & Lambda_{33} & Lambda_{34}vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{41} & Lambda_{42} & Lambda_{43} & Lambda_{44}vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}quad Lambda^{boldsymbol{top}eta, Lambda =eta,,quad Lambda_{44}ge +1,,quad detLambda=+1
tag{C-01}label{C-01}
end{equation}

pourrait être décomposée en une transformation d'espace {a6}R$ suivie d'un boost de Lorentz $rm L$ avec une vélocité $mathbf v$begin{equation}
Lambda = rm Lleft(mathbf{v}right)mathcal R
tag{C-02}label{C-02}
end{equation}

Considérons que la transformation de l'espace $mathcal R$ est représentée par ce qui suit $4times 4-$ matrice
begin{equation}
mathcal R=
begin{bmatrix}
hphantom{=}rm Rhphantom{^{boldsymbol{top}} & hphantom{====}boldsymbol 0hphantom{=} vphantom{dfrac{gamma}{c}boldsymbol{upsilon}^{boldsymbol{top}}}vphantom{dfrac{dfrac{a}{b}}{dfrac{a}{b}}}
hphantom{=}boldsymbol 0^{boldsymbol{top}} & hphantom{====}1hphantom{=} vphantom{dfrac{dfrac{a}{b}}{dfrac{a}{b}}}
end{bmatrix}
tag{C-03}label{C-03}
end{equation}


begin{equation}
mathrm R =
begin{bmatrix}
R_{11} & R_{12} & R_{13} vphantom{dfrac{a}{b}}
R_{21} & R_{22} & R_{23} vphantom{dfrac{a}{b}}
R_{31} & R_{32} & R_{33}
end{bmatrix}qquad R_{ij} in mathbb R
tag{C-04}label{C-04}
end{equation}

D'après les équations eqref{B-02},eqref{C-03} nous avons
begin{align}
rm Lleft(mathbf{v}right)mathcal R & =
begin{bmatrix}
mathrm I+dfrac{gamma^2_v}{c^2 left(gamma_v+1right)}mathbf v mathbf v ^{boldsymbol{top} & - dfrac{gamma_v}{c}mathbf v vphantom{dfrac{gamma}{c}boldsymbol{upsilon}^{boldsymbol{top}}}vphantom{dfrac{dfrac{a}{b}}{dfrac{a}{b}}}
-dfrac{gamma_v}{c}mathbf v^{boldsymbol{top} & hphantom{-}gamma_v vphantom{dfrac{dfrac{a}{b}}{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
begin{bmatrix}
hphantom{=}rm Rhphantom{^{boldsymbol{top}} & hphantom{====}boldsymbol 0hphantom{=} vphantom{dfrac{gamma}{c}boldsymbol{upsilon}^{boldsymbol{top}}}vphantom{dfrac{dfrac{a}{b}}{dfrac{a}{b}}}
hphantom{=}boldsymbol 0^{boldsymbol{top}} & hphantom{====}1hphantom{=} vphantom{dfrac{dfrac{a}{b}}{dfrac{a}{b}}}
end{bmatrix}Nquad N{i1}flèche longue{r}
N- non-nombreN
rm Lleft(mathbf{v}right)mathcal R & =
begin{bmatrix}
mathrm R+dfrac{gamma^2_v}{c^2 left(gamma_v+1right)}mathbf v left(mathrm R^{boldsymbol{top}mathbf vright)^{boldsymbol{top} & - dfrac{gamma_v}{c}mathbf v vphantom{dfrac{gamma}{c}boldsymbol{upsilon}^{boldsymbol{top}}}vphantom{dfrac{dfrac{a}{b}}{dfrac{a}{b}}}
-dfrac{gamma_v}{c}left(mathrm R^{boldsymbol{top}}mathbf vright)^{boldsymbol{top}} & hphantom{-}gamma_v vphantom{dfrac{dfrac{a}{b}}{dfrac{a}{b}}}
end{bmatrix}
tag{C-05}label{C-05}
end{align}

Pour que la décomposition eqref{C-02} soit valide, l'égalité suivante doit être satisfaite si l'on insère les expressions eqref{C-01},eqref{C-05} pour. et $rm Lleft(mathbf{v}right)mathcal R$ respectivement
begin{equation}
N- Underbrace{
begin{bmatrix}
begin{array}{ccc|c}
Lambda_{11} & Lambda_{12} & Lambda_{13} & Lambda_{14} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{21} & Lambda_{22} & Lambda_{23} & Lambda_{24}vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{31} & Lambda_{32} & Lambda_{33} & Lambda_{34}vphantom{dfrac{a}{tfrac{a}{b}}
hline
Lambda_{41} & Lambda_{42} & Lambda_{43} & Lambda_{44}vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}}{b}}
end{array}
end{bmatrix}}_{Lambda}
=
Sous-entrée{
begin{bmatrix}
begin{array}{ccc|c}
& & & vphantom{dfrac{a}{b}}}
& mathrm R+dfrac{gamma^2_v}{c^2 left(gamma_v+1right)}mathbf v left(mathrm R^{boldsymbol{top}mathbf vright)^{boldsymbol{top} & & -dfrac{gamma_v}{c}mathbf vvphantom{dfrac{a}{b}}
& & & vphantom{dfrac{a}{b}}} & & & vphantom{dfrac{a}{b}}}
hline
& -dfrac{gamma_v}{c}left(mathrm R^{boldsymbol{top}}mathbf vright)^{boldsymbol{top} & & gamma_v vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}}
end{array}
end{bmatrix}}_{rm Lleft(mathbf{v}right)mathcal R}
tag{C-06}label{C-06}
end{equation}

En faisant l'égalité entre la quatrième colonne de la matrice de gauche et la quatrième colonne de la matrice de droite, nous déterminons la vitesse d'impulsion $mathbf v$ et la $gamma-$ en termes d'éléments $Lambda_{ij}$begin{equation}
begin{bmatrix}
begin{array}{c}
Lambda_{14} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{24} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{34} vphantom{dfrac{a}{tfrac{a}{b}}}
hline
Lambda_{44}vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{b}}
end{array}
end{bmatrix}
=
begin{bmatrix}
begin{array}{c}
vphantom{dfrac{a}{b}}
dfrac{gamma_v}{c}mathbf v vphantom{dfrac{a}{b}}
vphantom{dfrac{a}{tfrac{a}{b}}}
hline
gamma_vvphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{b}}
end{array}
end{bmatrix}qquad Longrightarrow
NNombre
end{equation}

begin{equation}
mathbf v=begin{bmatrix}
v_1 vphantom{dfrac{a}{b}}
v_2 vphantom{dfrac{a}{b}}}
v_3 vphantom{dfrac{a}{b}}}
end{bmatrix}=-dfrac{c}{Lambda_{44}}
begin{bmatrix}
Lambda_{14} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{24} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{34} vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix} N- Quad N-texttt{et} quad gamma_v = Lambda_{44}
tag{C-07}label{C-07}
end{equation}

L'équation eqref{C-07} est un grand avantage car nous pouvons exprimer le boost de Lorentz. $rm Lleft(mathbf{v}right)$ et son inverse $mathrm L^{-1}={bigl}[mathrm Lleft(mathbf{v}right)bigr]^{-1} =mathrm Lleft(-mathbf{v}right)$ en termes d'éléments $Lambda_{ij}$. Puisque d'après eqref{C-02}
begin{equation}
mathcal R=bigl[mathrm Lleft(mathbf{v}right)bigr]^{-1}Lambda=mathrm Lleft(-mathbf{v}right)Lambda
tag{C-08}label{C-08}
end{equation}

l'équation ci-dessus a dans le lhs la matrice inconnue <>Mathcal R$ tandis que le rhs est une expression en termes d'éléments $Lambda_{ij}$. Ainsi, à partir de l'équation ci-dessus eqref{C-08}, nous avons pu déterminer complètement la matrice $mathcal R$ ce que nous allons faire dans la suite.

Pour exprimer l'inverse du boost de Lorentz eqref{B-05} en termes d'éléments. ${Lambda_{ij}$ nous avons, sur la base de l'équation eqref{C-07}
begin{align}
dfrac{gamma^2_v}{c^2 left(gamma_v+1right)}mathbf v mathbf v ^{boldsymbol{top} & =dfrac{Lambda^2_{44}{c^2 left(Lambda_{44}+1right)}
left(-dfrac{c}{Lambda_{44}}
begin{bmatrix}
Lambda_{14} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{24} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{34} vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}right)
left(-dfrac{c}{Lambda_{44}}
begin{bmatrix}}
Lambda_{14} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{24} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{34} vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}right) ^{boldsymbol{top}
nonumber
& =dfrac{1}{Lambda_{44}+1}
begin{bmatrix}
Lambda_{14} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{24} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{34} vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
begin{bmatrix}}
Lambda_{14} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{24} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{34} vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix} ^{boldsymbol{top}}=
dfrac{1}{Lambda_{44}+1}
begin{bmatrix}
Lambda_{14} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{24} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{34} vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
begin{bmatrix}}
Lambda_{14} & Lambda_{24} & Lambda_{34}vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
: Longrightarrow
NNombre
end{align}
begin{equation}
dfrac{gamma^2_v}{c^2 left(gamma_v+1right)}mathbf v mathbf v ^{boldsymbol{top} = dfrac{1}{Lambda_{44}+1}
begin{bmatrix}
Lambda^2_{14} & Lambda_{14}Lambda_{24} & Lambda_{14}Lambda_{34} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{24}Lambda_{14} & Lambda^2_{24} & Lambda_{24}Lambda_{34} vphantom{dfrac{a}{b}}
Lambda_{34}Lambda_{14} & Lambda_{34}Lambda_{24} & Lambda^2_{34}vphantom{dfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
tag{C-09}label{C-09}
end{equation}

D'après la eqref{B-05}
begin{equation}
mathrm Lleft(-mathbf{v}right)=
begin{bmatrix}
1+dfrac{Lambda^2_{14}}{Lambda_{44}+1} & dfrac{Lambda_{24}{Lambda_{44}+1} & dfrac{Lambda_{34}{Lambda_{44}+1} & - Lambda_{14}vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
dfrac{Lambda_{24}Lambda_{14}}{Lambda_{44}+1} & 1+dfrac{Lambda^2_{24}{Lambda_{44}+1} & dfrac{Lambda_{34}{Lambda_{44}+1} & - Lambda_{24}vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
dfrac{Lambda_{34}Lambda_{14}}{Lambda_{44}+1} & dfrac{Lambda_{34}Lambda_{24}}{Lambda_{44}+1} & 1+dfrac{Lambda^2_{34}}{Lambda_{44}+1} & - Lambda_{34}vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
- Lambda_{14} & - Lambda_{24} & - Lambda_{34} & hphantom{-} Lambda_{44}vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
end{bmatrix}
tag{C-10}label{C-10}
end{equation}

et l'équation eqref{C-08} donne
begin{align}
&mathcal R =
begin{bmatrix}
& & & &vphantom{dfrac{frac{{a}{b}}{tfrac{{a}{b}}}}
:N- & & & & N- Symbole gras 0 N-phantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
:N- & & & vphantom{dfrac{r}}{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}}
:::::: : & :::boldsymbol 0 ^{boldsymbol{top}} :::& :::::::::::::::::::::::::::::::N-) vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
end{bmatrix}= fin
begin{bmatrix}
::R_{11} & R_{12} & R_{13} & 0 vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
::R_{21} & R_{22} & R_{23} & 0 vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
::N- R_{31} & R_{32} & R_{33} & 0 vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
::::0: : & ::0: : & ::0: : & :::1:: : vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
end{bmatrix}=
tag{C-11}label{C-11}
&begin{bmatrix}
1+dfrac{Lambda^2_{14}}{Lambda_{44}+1} & dfrac{Lambda_{24}{Lambda_{44}+1} & dfrac{Lambda_{14}Lambda_{34}{Lambda_{44}+1} & - Lambda_{14}vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
dfrac{Lambda_{24}Lambda_{14}}{Lambda_{44}+1} & 1+dfrac{Lambda^2_{24}{Lambda_{44}+1} & dfrac{Lambda_{34}{Lambda_{44}+1} & - Lambda_{24}vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
dfrac{Lambda_{34}Lambda_{14}}{Lambda_{44}+1} & dfrac{Lambda_{34}Lambda_{24}}{Lambda_{44}+1} & 1+dfrac{Lambda^2_{34}}{Lambda_{44}+1} & - Lambda_{34}vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
- Lambda_{14} & - Lambda_{24} & - Lambda_{34} & hphantom{-} Lambda_{44}vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
end{bmatrix}
begin{bmatrix}
Lambda_{11} & Lambda_{12} & Lambda_{13} & Lambda_{14}vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
Lambda_{21} & Lambda_{22} & Lambda_{23} & Lambda_{24}vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
Lambda_{31} & Lambda_{32} & Lambda_{33} & Lambda_{34}vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{{tfrac{a}{b}}}
Lambda_{41} & Lambda_{42} & Lambda_{43} & Lambda_{44}vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}
end{bmatrix}
nonumber
end{align}

En élaborant le produit matriciel des rhs et en utilisant les propriétés eqref{A-10.1}-eqref{A-10.10}, nous avons .
begin{equation}
mathrm R=
begin{bmatrix}
R_{11} & R_{12} & R_{13} vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
R_{21} & R_{22} & R_{23} vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}
R_{31} & R_{32} & R_{33} vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
end{bmatrix}=
begin{bmatrix}
Lambda_{11}-dfrac{Lambda_{14}Lambda_{41}}{Lambda_{44}+1} & Lambda_{12}-dfrac{Lambda_{14}Lambda_{42}}{Lambda_{44}+1} & Lambda_{13}-dfrac{Lambda_{14}Lambda_{43}}{Lambda_{44}+1} vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
Lambda_{21}-dfrac{Lambda_{24}Lambda_{41}}{Lambda_{44}+1} & Lambda_{22}-dfrac{Lambda_{24}Lambda_{42}}{Lambda_{44}+1} & Lambda_{23}-dfrac{Lambda_{24}Lambda_{43}}{Lambda_{44}+1} vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
Lambda_{31}-dfrac{Lambda_{34}Lambda_{41}}{Lambda_{44}+1} & Lambda_{32}-dfrac{Lambda_{34}Lambda_{42}}{Lambda_{44}+1} & Lambda_{33}-dfrac{Lambda_{34}Lambda_{43}}{Lambda_{44}+1} vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}
end{bmatrix}
tag{C-12}label{C-12}
end{equation}

ou dans une équation seulement
begin{equation}
boxed{::R_{ij} =Lambda_{ij}-dfrac{Lambda_{i4}Lambda_{4j}}{Lambda_{44}+1}vphantom{dfrac{tfrac{a}{b}}{tfrac{a}{b}}}::}
tag{C-13}label{C-13}
end{equation}

Preuve que rm R$ représente une rotation pure et les expressions de son axe et de son angle sont données en RÉPONSE - Partie II.

(à poursuivre dans RÉPONSE - Partie II)

Ce n'est pas si facile à voir, pour être honnête. Elle porte dans la littérature le nom de "décomposition polaire".

L'argument le plus court est celui de H. Urbantke "Elementary Proof of Moretti's Polar Decomposition Theorem for Lorentz Transformations" (ici), qui est une simplification pas si directe de l'argument du prof. Valter Moretti ici. Vous avez besoin du célèbre livre de Sexl & Urbantke pour suivre Urbantke.

Le texte suivant est adapté de l'ouvrage de Florian Scheck "Mécanique : From Newton's Laws to Deterministic Chaos (Sixième édition)" de Florian Scheck. Veuillez vous référer à la section 4.5 du livre pour une preuve détaillée.

Toute transformation de Lorentz restreinte $Lambda in L_{+}^\uparrow$ (en anglais) peut s'écrire, de manière unique, comme le produit d'une rotation pure suivie d'une impulsion pure,

$$ Lambda = B(mathbf{v}) R, $$

où les paramètres des deux transformations étant donnés par

$$ v^i/c = frac{{{Lambda^i}_0}{{Lambda^0}_0},quad {R^i}_k = {Lambda^i}_k - frac{1}{1+{Lambda^0}_0} {Lambda^i}_0 {Lambda^0}_k, $$$

ou comme le produit d'une impulsion pure suivie d'une rotation pure,

$$ Lambda = R B(mathbf{w}), $$

où le vecteur $mathbf{w}$ est donné par

$$ w^i/c = frac{{i}{i}Lambda^0}_i}{i}Lambda^0}_0}, $$

et $R$ est la même rotation que ci-dessus.

Vous pouvez vérifier l'affirmation ci-dessus par un calcul direct. Vous pouvez également remarquer que $mathbf{v} = Rmathbf{w}$. Ceci n'est pas surprenant car

$$ B(mathbf{v}) = R B(mathbf{w}) R^{-1} = B(Rmathbf{w}). $$

Si vous avez des soupçons et souhaitez bénéficier de notre déclaration, vous pouvez laisser une référence et nous l'examinerons avec plaisir.



Utilisez notre moteur de recherche

Ricerca
Generic filters

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.