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Opérateurs de spin dans la MQ

Après notre vaste compilation de données, nous avons pu résoudre ce problème que certains lecteurs peuvent rencontrer. Nous vous donnons la réponse et notre objectif est d'être très utile.

Solution :

Mathématiquement, les opérateurs de moment angulaire orbital et les opérateurs de moment angulaire de spin sont en réalité les deux faces d'une même pièce. En langage de la théorie des groupes, on dit que ces opérateurs proviennent de deux représentations différentes du groupe de rotation $SO(3)$ (pour être précis, en mécanique quantique, on s'intéresse à.les représentations projectives car physiquement, deux vecteurs qui diffèrent par une phase sont indiscernables. Cela nécessite une représentation de la double couverture de $SO(3)$, qui est $SU(2)$). Le groupe code l'information sur les symétries du système et une représentation du groupe sur un espace particulier nous donne un moyen de réaliser ces symétries comme opérateurs sur notre espace d'états.

La différence entre les opérateurs de spin et les opérateurs de moment angulaire est vraiment juste le type d'espace vectoriel sur lequel ils opèrent. Cependant, le groupe a une certaine structure qui lui est associée et qui se retrouve dans ses représentations (Ceci est lié à la structure de l'algèbre de Lie de $SO(3)$, $mathfrak{so}(3) cong mathfrak{su}(2)$ que je peux développer plus tard si vous le souhaitez). Par conséquent, tout représentation du groupe $SO(3)$ aura les mêmes relations de commutation. Cela inclut les extensions aux états de particules multiples. Si nous désignons l'espace de Hilbert d'une seule particule par $mathcal{H}_1$ et l'espace d'une seconde par $mathcal{H}_2$, alors l'espace total décrivant les deux particules ensemble est désigné par $mathcal{H}_1 otimes mathcal{H}_2$. Ce n'est rien d'autre qu'un nouvel espace vectoriel sur lequel nous pouvons représenter $SO(3)$ !

Ainsi, lorsque nous voulons parler du spin d'un système à deux particules, nous ne faisons que parler d'une représentation différente de $SO(3)$. Cette procédure comporte quelques subtilités dues au fait que la représentation sur l'espace $mathcal{H}_1 otimes mathcal{H}_2$ n'est pas.irréductible. Cependant, la décomposition de Clebsh-Gordon nous donne un moyen de décomposer cette représentation en une somme de représentations réductibles. Cette procédure donne les coefficients de Clebsch-Gordon qui apparaissent lorsqu'on parle de systèmes à particules multiples.

Couplage de deux systèmes quantiques non interagissants. avec des moments angulaires $:j_{alpha},j_{beta}:$ (qu'ils soient orbitaux ou de spin), nous arrivons à l'équation suivante pour le moment angulaire $:j:$ du système composite $:f:$

begin{equation}
J_{boldsymbol{n}=bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{n}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}bigr)+ left(mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}} boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{n}right)
tag{A-01}
end{equation}

qui, pour le N- N- N- mathbf{n}N- N- $-pour être plus clair, peut être exprimé comme suit

begin{equation}
mathbf{n}N{cdot}mathbf{J}={Bigl}[bigl(mathbf{n}boldsymbol{cdot}mathbf{J}^{boldsymbol{alpha}} bigr) boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}+ mathbb{I}_{boldsymbol{alpha}} boldsymbol{otimes} bigl(mathbf{n}boldsymbol{cdot}mathbf{J}^{boldsymbol{beta}} bigr)Bigr]
tag{A-02}
end{equation}

Sur les équations ci-dessus, le symbole $''boldsymbol{otimes}''$ est utilisé pour le produit de vecteurs d'état, d'espaces ou d'opérateurs. Le vecteur $:mathbf{n}=left(n_{1},n_{2},n_{3}right) :$ est de norme unitaire. Les opérateurs $:mathbf{J}^{boldsymbol{alpha}},, J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{n}},,mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}}:$
agissent sur le $(2j_{alpha}+1)$.-espace de Hilbert à deux dimensions $ : mathsf{H}_{alpha}:$ du système N- N- N- alphaN:$ et sur le même pied d'égalité les opérateurs $:J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{n}},,mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}:$
agissent sur le $(2j_{{beta}+1)$.-espace de Hilbert à deux dimensions $ : mathsf{H}_{beta}:$ du système $ : beta:$, le symbole $:mathbb{I}:$ étant utilisé pour l'identité. Enfin, les opérateurs $:mathbf{J},, J_{boldsymbol{n}}:$ agissent sur les $(2j_{alpha}+1)cdot (2j_{beta}+1)$-espace de Hilbert à deux dimensions $ : mathsf{H}_{f}=mathsf{H}_{alpha}boldsymbol{otimes}mathsf{H}_{beta}:$ du système composite $:f:$.

On écrit l'équation (A-02) pour les trois axes d'un système de coordonnées
begin{align}
J_{boldsymbol{1}}=Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{1}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr)+ left(mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}} boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{1}}right)
tag{A-03a}N{c}
J_{boldsymbol{2}}=Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{2}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr)+ left(mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}} boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{2}right)
tag{A-03b}N{i1}.
J_{boldsymbol{3}}=Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{3}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr)+ left(mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}} boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}right)
tag{A-03c}
end{align}

Ces trois équations composantes peuvent être exprimées symboliquement en une seule équation vectorielle
begin{equation}
mathbf{J}=bigl(mathbf{J}^{boldsymbol{alpha}} boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol}
{beta}}bigr)+left(mathbb{I}_{boldsymbol{alpha}} boldsymbol{otimes} mathbf{J}^{boldsymbol{beta}} right)
tag{A-04}
end{equation}

Maintenant nous devons vérifier si cette quantité ainsi construite $:mathbf{J}=left({J}_{1},{J}_{2},{J}_{3}right) :$ du système composite est un moment angulaire cohérent et le critère pour cela est la validation de l'équation
begin{equation}
mathbf{J}boldsymbol{times}mathbf{J}= i , mathbf{J}
tag{A-05}
end{equation}

ou par composants
begin{align}
J_{boldsymbol{1}}J_{boldsymbol{2}}-J_{boldsymbol{2}}J_{boldsymbol{1}}= i , J_{boldsymbol{3}}
tag{A-06a}N{i1}.
J_{boldsymbol{2}}J_{boldsymbol{3}}-J_{boldsymbol{3}}J_{boldsymbol{2}}= i , J_{boldsymbol{1}}
tag{A-06b}}.
J_{boldsymbol{3}}J_{boldsymbol{1}}-J_{boldsymbol{1}}J_{boldsymbol{3}}= i , J_{boldsymbol{2}}
tag{A-06c}
end{align}

Pour prouver les équations (A-06), trouvons une expression générale pour $:J_{boldsymbol{n}}J_{boldsymbol{k}}:$$:J_{boldsymbol{n}},,J_{boldsymbol{k}}:$ les composantes de $:mathbf{J}:$ parallèles aux vecteurs unitaires $:mathbf{n}:$ et
$:mathbf{k}:$ respectivement. D'après l'équation (A-01) et la règle de multiplication suivante
begin{equation}
gauche(mathrm{A}_{2} boldsymbol{otimes} mathrm{B}_{2}right)gauche(mathrm{A}_{1} boldsymbol{otimes} mathrm{B}_{1}right)= gauche( mathrm{A}_{2}mathrm{A}_{1}right) boldsymbol{otimes} left( mathrm{B}_{2}mathrm{B}_{1}right)
tag{A-07}
end{equation}

nous avons
begin{align}
J_{boldsymbol{c}J_{c}symbol{c}k}} & = Bigl[Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{n}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr)+ Bigl(mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}} boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{n}}Bigr)Bigr] Gauche[Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{k}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr)+ left(mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}} boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{k}}right)right]
nonumber
& =Bigl( J^{boldsymbol{alpha}_{boldsymbol{n}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol}
{beta}Bigr)Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{k}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr)+Bigl(mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}} boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}{boldsymbol{n}Bigr)left(mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}} boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{k}}right)
nonumber
& + Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{n}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol{k}})
{beta}}Bigr)gauche(mathbb{I}_{boldsymbol}{i})
{alpha}} boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{k}}right)
+Bigl(mathbb{I}_{boldsymbol}}
{alpha}} boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}{boldsymbol{n}Bigr)Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{k}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr)
tag{A-08}
end{align}

donc begin{equation}
J_{boldsymbol{n}}J_{boldsymbol{k}} =
Bigl[Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{n}}J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{k}}Bigr)boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr]+Bigl[mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}}boldsymbol{otimes}Bigl( J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{n}}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{k}}Bigr)Bigr]
+Bigl( J^{boldsymbol{alpha}_{boldsymbol{n}boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{k}Bigr)
+Bigl( J^{boldsymbol{alpha}_{boldsymbol{k}boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{n}Bigr)
tag{A-09}
end{equation}

Permutation de $:n:$ et
$:k:$ donne begin{equation}
J_{boldsymbol{k}}J_{boldsymbol{n}} =
Bigl[Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{k}}J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{n}}Bigr)boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr]+Bigl[mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}}boldsymbol{otimes}Bigl( J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{k}}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{n}}Bigr)Bigr]
+Bigl( J^{boldsymbol{alpha}_{boldsymbol{k}}boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{n}Bigr)
+Bigl( J^{boldsymbol{alpha}_{boldsymbol{{n}boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{k}Bigr)
tag{A-10}
end{equation}

En soustrayant (A-10) de (A-09)

begin{equation}
J_{boldsymbol{n}}J_{boldsymbol{k}}-J_{boldsymbol{k}}J_{boldsymbol{n}}=
Bigl[Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{n}}J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{k}}-J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{k}}J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{n}}Bigr)boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr]+Bigl[mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}}boldsymbol{otimes}Bigl(J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{n}}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{k}}- J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{k}}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{n}}Bigr)Bigr]
tag{A-11}
end{equation}

Pour $:n=1:$ et
$:k=2:$ l'équation (A-11) ci-dessus donne
begin{align}
J_{boldsymbol{1}}J_{boldsymbol{2}}-J_{boldsymbol{2}}J_{boldsymbol{1}} & =
Bigl[overbrace{Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{1}}J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{2}}-J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{2}}J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{1}}Bigr)}^{i ,J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{3}} }boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr]+Bigl[mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}}boldsymbol{otimes} overbrace{Bigl(J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{1}}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{2}}- J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{2}}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{1}}Bigr)}^{i ,J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}}}Bigr]
nonumber
& = Bigl[Bigl(i ,J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{3}}Bigr)boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol{beta}}Bigr]
+Bigl[mathbb{I}_{boldsymbol{alpha}}boldsymbol{otimes}Bigl(i,J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}}Bigr)Bigr]
nonumber
& = i,Bigl[Bigl(J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{3}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol{beta}}Bigr)
+Bigl(mathbb{I}_{boldsymbol{alpha}}boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}}Bigr)Bigr]
nonumber
& = i , J_{boldsymbol{3}}
tag{A-12}
end{align}

prouvant ainsi (A-06a). Par permutation cyclique, (A-06b) et (A-06c) sont également prouvés.

Pour le traitement du moment angulaire, nous faisons usage de l'équation (A-03c), répétée ici par commodité : begin{equation}
J_{boldsymbol{3}}=Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{3}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr)+ left(mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}} boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}right)
tag{A-03c}
end{equation}

Cette relation présente l'avantage que si les matrices représentant les composantes.$:J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{3}}:$ et $:J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}}:$ des systèmes composants sont diagonales, alors la matrice représentant le composant $:J_{boldsymbol{3}}:$ du système composite est également diagonale (1). Mais pour le traitement complet du moment angulaire, nous avons besoin de la matrice représentant la quantité $:mathbf{J}^{boldsymbol{2}}=J^{boldsymbol{2}}_{boldsymbol{1}}+J^{boldsymbol{2}}_{boldsymbol{2}}+J^{boldsymbol{2}}_{boldsymbol{3}}:$ également. Nous trouverons une expression de $:mathbf{J}^{boldsymbol{2}}:$ commode pour la détermination de sa matrice, qui n'est pas d'emblée diagonale comme.$:J_{boldsymbol{3}}:$ le fait.
Ainsi, en insérant dans l'équation (A-09) le couple de valeurs $ :(n,k)=(1,1):$, $N :(n,k)=(2,2):$ et
$ :(n,k)=(3,3):$ nous avons respectivement

begin{align}
J_{boldsymbol{1}}^{boldsymbol{2}} =
Bigl[bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{1}}bigr)^{boldsymbol{2}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr]+Bigl[mathbb{I}_{boldsymbol {alpha}}boldsymbol{otimes}bigl( J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{1}}bigr)^{boldsymbol{2}}Bigr]
+2Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{1}}boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{1}}Bigr)
tag{A-13a}N{i1}.
J_{boldsymbol{2}}^{boldsymbol{2}} =
Bigl[bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{2}}bigr)^{boldsymbol{2}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr]+Bigl[mathbb{I}_{boldsymbol {alpha}}boldsymbol{otimes}bigl( J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{2}}bigr)^{boldsymbol{2}}Bigr]
+2Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{2}}boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{2}}Bigr)
tag{A-13b}N{i1}}.
J_{boldsymbol{3}}^{boldsymbol{2}} =
Bigl[bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{3}}bigr)^{boldsymbol{2}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr]+Bigl[mathbb{I}_{boldsymbol {alpha}}boldsymbol{otimes}bigl( J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}}bigr)^{boldsymbol{2}}Bigr]
+2Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{3}}boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}}Bigr)
tag{A-13c}
end{align}

Sachant que
begin{align}
bigl(mathbf{J}^{boldsymbol{alpha}}bigr)^{boldsymbol{2}} & =bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{1}}bigr)^{boldsymbol{2}} +bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{2}}bigr)^{boldsymbol{2}}+bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{3}}bigr)^{boldsymbol{2}} = j_{alpha}(j_{alpha}+1)mathbb{I}_{alpha}
tag{A-14}
bigl( mathbf{J}^{boldsymbol{beta}}bigr)^{boldsymbol{2}} &=bigl( J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{1}}bigr)^{boldsymbol{2}} +bigl( J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{2}}bigr)^{boldsymbol{2}}+bigl( J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}}bigr)^{boldsymbol{2}} = j_{beta}(j_{beta}+1) mathbb{I}_{beta}
tag{A-15}N{i1}
mathbb{I}_{alpha} boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{beta} & equiv
mathbb{I}_{f}=text{identité dans } mathsf{H}_{f}=mathsf{H}_{alpha}boldsymbol{otimes}mathsf{H}_{beta}
tag{A-16}
end{align}

L'addition des équations (A-13) donne begin{equation}
mathbf{J}^{boldsymbol{2}} =bigl[ j_{alpha}(j_{alpha}+1)+ j_{beta}(j_{beta}+1) bigr] mathbb{I}_{f} +2sum_{q=1}^{q=3}Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{q}}boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{q}}Bigr)
tag{A-17}
end{equation}


(1) Plus précisément : à partir de la définition du produit des opérateurs et étant donné que. $:J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{3}}:$ est représenté par le
$(2j_{alpha}+1)$.-matrice carrée begin{equation}
J^{alpha}_{3} =
begin{bmatrix}
j_{alpha} & 0 & cdots & 0 N{i}
0 & j_{alpha}-1 & cdots & 0
vdots & vdots & m_{alpha} & vdots
0 & 0 & cdots & -j_{alpha}
end{bmatrix}
tag{foot-01}
end{equation}

et $:J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}}:$ est représenté par le
$(2j_{beta}+1)$.-matrice carrée begin{equation}
J^{beta}_{3} =
begin{bmatrix}
j_{beta} & 0 & cdots & 0
0 & j_{beta}-1 & cdots & 0
vdots & vdots & m_{beta} & vdots
0 & 0 & cdots & -j_{beta}
end{bmatrix}
tag{foot-02}
end{equation}

l'équation (A-03c) donne que $:J_{boldsymbol{3}}:$ est représenté par ce qui suit
$(2j_{alpha}+1)cdot (2j_{beta}+1)$-matrice diagonale carrée begin{equation}
J_{boldsymbol{3}}=Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{3}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr)+ left(mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}} boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}{boldsymbol{3}right)=
nonumber
end{equation}
begin{equation}
begin{bmatrix}
begin{matrix}
j_{alpha}+ j_{beta} & 0 & cdots & 0 \
0 & j_{alpha}+ j_{beta}-1 & cdots & 0
vdots & vdots & ddots & vdots
0 & 0 & cdots & j_{alpha} -j_{beta}
end{matrix} & & & cdots & cdots
& & begin{matrix}
j_{alpha}-1+ j_{beta} & 0 & cdots & 0
0 & j_{alpha}-1+ j_{beta}-1 & cdots & 0
vdots & vdots & ddots & vdots
0 & 0 & cdots & j_{alpha}-1-j_{beta}
end{matrix} & &
& & ddots &
& & & -j_{alpha}-j_{beta}
end{bmatrix}
end{equation}
begin{equation}
tag{foot-03}
end{equation}

Exemple : pour $:j_{alpha}=tfrac{1}{2}:$ et
$:j_{beta}=1:$begin{equation}
J^{alpha}_{3} =
begin{bmatrix}
begin{array}{cc}
+frac{1}{2}&0{c}
&
0&-frac{1}{2}
end{array}
end{bmatrix}
N :,N-qquad
J^{beta}_{3} =
begin{bmatrix}
begin{array}{ccc}
+1&0&0
0&0&0
0&0&-1
end{array}
end{bmatrix}
tag{foot-04}
end{equation}

donc
begin{equation}
Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{3}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol}
{beta}Bigr)=
begin{bmatrix}
begin{array}{cc}
+frac{1}{2}cdotmathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}&0cdotmathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}
&
0 cdotmathbb{I}_{boldsymbol}}
{beta}}&-frac{1}{2}cdotmathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}
end{array}
end{bmatrix}
=
begin{bmatrix}
begin{array}{cccccc}
+frac{1}{2}&0&0&0&0&0
0&+frac{1}{2}&0&0&0&0
0&0&+frac{1}{2}&0&0&0
0&0&0&-frac{1}{2}&0&0
0&0&0&0&-frac{1}{2}&0
0&0&0&0&0&-frac{1}{2}
end{array}
end{bmatrix}
tag{foot-05}
end{equation}
begin{equation}
left(mathbb{I}_{boldsymbol}}
{alpha}} boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}right)=
begin{bmatrix}
begin{array}{cc}
1cdot J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}}&0cdot J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}}
&
0cdot J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}}&1cdot J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}}
end{array}
end{bmatrix}
=
begin{bmatrix}
begin{array}{cccccc}
+1&0&0&0&0&0
0&0&0&0&0&0
0&0&-1&0&0&0
0&0&0&+1&0&0
0&0&0&0&0&0
0&0&0&0&0&-1
end{array}
end{bmatrix}
tag{foot-06}
end{equation}

En ajoutant (foot-05), (foot-06) nous avons
begin{equation}
J_{boldsymbol{3}} =Bigl( J^{boldsymbol{alpha}}_{boldsymbol{3}}boldsymbol{otimes}mathbb{I}_{boldsymbol
{beta}}Bigr)+ left(mathbb{I}_{boldsymbol
{alpha}} boldsymbol{otimes}J^{boldsymbol{beta}}_{boldsymbol{3}right)=
begin{bmatrix}
begin{array}{cccccc}
+frac{3}{2}&0&0&0&0&0
0&+frac{1}{2}&0&0&0&0
0&0&-frac{1}{2}&0&0&0
0&0&0&+frac{1}{2}&0&0
0&0&0&0&-frac{1}{2}&0
0&0&0&0&0&-frac{3}{2}
end{array}
end{bmatrix}
tag{foot-07}
end{equation}

qui après réarrangement des lignes et des colonnes devient begin{equation}
widehat{J}_{boldsymbol{3}} =
begin{bmatrix}
begin{array}{cccccc}
+frac{3}{2}&0&0&0&0&0
0&+frac{1}{2}&0&0&0&0
0&0&-frac{1}{2}&0&0&0
0&0&0&-frac{3}{2}&0&0
0&0&0&0&+frac{1}{2}&0
0&0&0&0&0&-frac{1}{2}
end{array}
end{bmatrix}
tag{foot-08}
end{equation}

reconnu plus tard comme la somme directe de $:j_{1}=tfrac{1}{2}:$ et
$:j_{2}=tfrac{3}{2}:$begin{equation}
boldsymbol{2}boldsymbol{c}boldsymbol{3}=boldsymbol{2}boldsymbol{oplus}boldsymbol{4}
tag{foot-09}
end{equation}

un cas particulier de l'expression plus générale de l'espace produit comme somme directe de sous-espaces mutuellement orthogonaux et invariants sous SU(2).begin{equation}
(2j_{alpha}+1)boldsymbol{otimes}(2j_{beta}+1)=bigoplus_{j=vert j_{beta}-j_{alpha} vert }^{j=left(j_{alpha}+j_{beta}right)}(2j+1)
tag{foot-10}
end{equation}


Pour un traitement plus détaillé, voir mes réponses ici : Spin total de deux particules de spin-1/2.

Le moment angulaire orbital et le spin sont tous deux liés à.rotations en trois dimensions. Leurs relations de commutation peuvent être dérivées des propriétés du groupe de rotations seul, donc elles devraient être égales.

Le groupe des rotations de l'espace tridimensionnel est connu sous le nom de $SO(3)$. Les états quantiques sont des vecteurs dans un espace $V$ sur lequel ce groupe a une représentation (projective). Cela signifie que pour chaque rotation $R$, il existe une matrice $U(R)$ $ntimes n$ ($n$ est la dimension de $V$) de sorte que chaque état quantique $left|psiright>$ se transforme en $U(R)left|psiright>$ lorsque le système est tourné par $R$.

Vous savez peut-être qu'une rotation en deux dimensions (le plan complexe) est donnée par la multiplication par $e^{-itheta}$, où $theta$ est le seul paramètre qui caractérise une rotation de l'espace à deux dimensions : l'angle de la rotation. En trois dimensions, une rotation peut être paramétrée par l'angle $theta$ et un vecteur unitaire $hat{u}$ indiquant l'axe de rotation. Ceci est équivalent à un simple vecteur $vec{u}=thetahat{u}$. En procédant de la même manière qu'en deux dimensions, une rotation peut être écrite comme suit
begin{equation}
U(vec{u})=e^{-ivec{u}cdot vec{J}}
end{equation}
où nous avons maintenant besoin de trois objets $J_x$, $J_y$ et $J_z$ (les composantes de $vec{J}$), un pour multiplier chaque composante de $vec{u}$. Elles doivent être des matrices $ntimes n$, pour que $U(R)$ soit aussi une telle matrice (l'exponentielle des matrices peut être définie par sa série de puissance).

Remarquez que les dérivée d'une rotation d'un vecteur 3D est orthogonale à l'axe de rotation et au vecteur lui-même et elle est proportionnelle au vecteur, de sorte qu'elle devrait être $hat{u}times vec{v}$. On peut imaginer $vec{v}$ comme un point sur une sphère de rayon $|vec{v}|$, et $hat{u}times vec{v}$ comme une flèche partant de ce point et pointant dans la direction vers laquelle il se déplace lorsqu'on le fait tourner.

D'autre part, $frac{d}{dtheta}U(thetahat{u})=
-ihat{u}cdotvec{J}$, donc, en écrivant les vecteurs de la représentation tridimensionnelle comme $vec{v}$ au lieu de $left|psiright>$ nous avons l'équation $hat{u}times vec{v}=(-ihat{u}cdotvec{J})v$. Maintenant, nous souhaitons calculer le commutateur ${[J_x,J_y].
[J_x,J_y]$ :
begin{align}[J_x,J_y]vec{v}=J_xJ_yvec{v}-J_yJ_xvec{v}=
-hat{x}times(hat{y}timesvec{v}) +
hat{y}times(hat{x}timesvec{v}) =
-(hat{x}timeshat{y})timesvec{v} =
-hat{z}timesvec{v} = iJ_zvec{v}
end{align}
où j'ai utilisé les propriétés du produit en croix triple. Nous venons de dériver une des relations de commutation : $[J_x,J_y]=iJ_z$. Les autres suivent de la même manière.

Les opérateurs de spin $S_x$, $S_y$, $S_z$ et les opérateurs de moment angulaire orbital $L_x$, $L_y$, $L_z$ sont tous deux simplement les générateurs $J_x$, $J_y$, $J_z$ de rotations tridimensionnelles.

La seule différence entre eux est que le nom de spin (et la notation $S_i$) se réfère aux représentations sous $SO(3)$ pour les états d'une seule particule sans mouvement dans l'espace, les rotations "internes", alors que le nom de moment angulaire orbital (et les symboles $L_i$) est couramment utilisé pour les représentations sous $SO(3)$ des états de systèmes qui ont une certaine extension ou un certain mouvement dans l'espace.

Le site combinaison de représentations de rotations est à nouveau une représentation de rotations, elle aura donc toujours les mêmes générateurs avec les mêmes relations de commutation. Ceci est vrai pour toute combinaison, comme les spins combinés de l'électron et du proton, la combinaison du moment angulaire orbital et du spin d'une particule ou les moments angulaires pour les systèmes multiparticulaires.

Vous avez raison au sujet des dérivations avec des opérateurs d'échelle. Vous pouvez utiliser l'approche que vous connaissez dans tous les cas, car elle est dérivée des relations de commutation.

Nous apprécions que vous souhaitiez ajouter de la valeur à notre contenu informatif en nous aidant de votre expérience dans les commentaires.



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