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Pourquoi est-il impossible de mesurer la position et la quantité de mouvement en même temps avec une précision arbitraire ?

Après une longue recherche d'informations, nous avons pu résoudre cette difficulté que rencontrent souvent de nombreux lecteurs. Nous vous donnons la réponse et nous espérons qu'elle vous sera d'une grande aide.

Solution :

La réponse à votre question est.Eh bien laissez-moi y aller étape par étape. La réponse ci-dessous résume ce que vous pouvez trouver dans les articles actuels publiés dans les revues scientifiques et les manuels actuels, les travaux et les résultats que j'ai moi-même expérimentés en tant que chercheur en optique quantique. Toutes les références sont données tout au long de la réponse et à la fin, et je vous recommande vivement de . d'aller les lire. Aussi, cette réponse est destinée à discuter du principe d'incertitude et de la mesure simultanée.dans le cadre de la théorie quantique. Peut-être qu'à l'avenir nous utiliserons tous une théorie alternative dans laquelle les mêmes faits expérimentaux auront une signification différente ; de telles théories alternatives sont proposées actuellement, et de nombreux chercheurs travaillent effectivement sur des alternatives. Enfin, cette réponse tente d'éviter la terminologie débats terminologiques, en expliquant le côté expérimental, de laboratoire, de la question. Des avertissements sur la terminologie seront donnés tout au long de la réponse. (Je ne veux pas dire que la terminologie n'est pas importante, cependant : différentes terminologies peuvent inspirer différentes directions de recherche).

Nous devons être prudents, car notre compréhension du principe d'incertitude aujourd'hui est très différente de la façon dont les gens le voyaient dans les années 1930-50. La compréhension moderne est également confirmée par la pratique expérimentale moderne. Il y a deux points principaux à clarifier.

1. Qu'entendons-nous exactement par " mesure " et par "$Delta x$"?

L'image générale est la suivante :

  1. Nous pouvons préparer une copie d'un système physique selon un certain protocole spécifique. Nous disons que le système a été préparé dans un état spécifique (généralement représenté par une matrice de densité. $pmb{rho}$.). Ensuite, nous effectuons une opération spécifique qui donne un résultat. Nous disons que nous avons effectué une instance d'une mesure sur le système (généralement représentée par une mesure dite à valeur d'opérateur positif. ${pmb{O}_i}$., où $i$ étiquette les résultats possibles).

  2. Nous pouvons répéter la procédure ci-dessus une nouvelle fois - nouvelle copie du système - autant de fois que nous le voulons, selon les mêmes protocoles spécifiques. Nous faisons donc de nombreuses instances du même type de mesure, sur des copies du système préparées dans le même état. Nous obtenons ainsi une collection de résultats de mesure, à partir de laquelle nous pouvons construire une distribution de fréquence et des statistiques. (Tout au long de cette réponse, lorsque je dis "répétition d'une mesure", je l'entends dans ce sens précis).

(Il y a aussi la question de savoir ce qui se passe lorsque nous faisons deux ou plusieurs mesures à la suite, sur le même système. Mais je ne vais pas discuter de cela elle.e; voir les références à la fin).

C'est pourquoi les énoncés empiriques généraux de la théorie quantique ont cette forme : "Si nous préparons le système dans l'état $pmb{rho}$ et que nous effectuons la mesure ${pmb{O}_i}$ on a une probabilité $p_1$ d'observer le résultat $i=1$, une probabilité $p_2$ d'observer le résultat $i=2$, ." et ainsi de suite (avec des limites continues appropriées pour les résultats continus).

Maintenant, il y a une précision/erreur de mesure associée à.chaque instance unique de la mesure, et aussi une variabilité des résultats à travers les répétitions de la mesure. Le premier type d'erreur peut être rendu aussi petit que l'on veut. La variabilité entre les répétitions, cependant, semble généralement ne pas être réductible en dessous d'une certaine quantité non nulle qui dépend de l'état spécifique et de la mesure spécifique. Cette dernière variabilité est ce que nous appelons "$Delta x$".

Ainsi, lorsque nous disons " ne peut être mesurée avec une précision arbitraire ", ce que nous voulons dire plus exactement est que " sa variabilité à travers les répétitions de mesure ne peut être rendue arbitrairement faible ". Le mystère fondamental de la mécanique quantique est l'absence - de manière systématique - de reproductibilité entre les mesures. Mais l'erreur dans le résultat de chaque instance unique n'a pas de limite inférieure théorique.

Bien sûr, cette situation affecte nos capacités de prédiction, car chaque fois que nous répétons le même type de mesure sur un système préparé sur le même type d'état, nous ne savons pas vraiment à quoi nous attendre, dans les limites de.<>Delta x$.

Cette distinction importante entre instances de mesure uniques et multiples a été soulignée pour la première fois par Ballentine en 1970 :

  • Ballentine : L'interprétation statistique de la mécanique quantique., Rev. Mod. Phys. 42 (1970) 358 (autre copie)

voir notamment la très explicative Fig. 2. Et il ne s'agit pas d'une question d'"interprétation", comme le titre pourrait aujourd'hui le suggérer. C'est un fait expérimental. Des exemples expérimentaux clairs de cette distinction sont donnés par exemple dans .

  • Leonhardt : Mesure de l'état quantique de la lumière. (Cambridge 1997)

voir par exemple la figure 2.1 et son explication. De même, les ouvrages plus avancés

  • Mandel, Wolf : Cohérence optique et optique quantique. (Cambridge 2008).

Voir également les manuels donnés ci-dessous.

La distinction entre l'erreur d'une instance de mesure et la variabilité entre les instances de mesure est également évidente si vous pensez à une expérience de Stern-Gerlach. Supposons que nous préparons un spin dans l'état $x+$ et que nous le mesurions dans la direction $y$. La mesure ne donne qu'une des deux taches bien distinctes, correspondant soit au résultat $+hbar/2$ soit à $-hbar/2$ dans le $y$ direction. Ce résultat présente une certaine erreur, mais nous pouvons distinguer si c'est.$+$ ou $-hbar/2$. Mais si nous préparons un nouveau spin dans l'état $x+$ et mesurons $y$ à nouveau, nous pouvons très bien trouver le résultat inverse - à nouveau mesuré très précisément. Sur de nombreuses mesures, nous observons ces $+$ et $-$ à environ 50% chacun. L'écart-type est de $hbar/2$, et c'est bien le "$Delta S_y$" donné par les formules quantiques : elles se réfèrent à des répétitions de mesure, et non à une seule instance où l'on envoie un seul électron dans l'appareil.

Il faut souligner que certains auteurs (avant exemple Leonhardt ci-dessus) utilisent le terme "résultat de la mesure" pour signifier, non pas le résultat d'une seule expérience, mais les moyenne valeur $bar{x}$ trouvé dans plusieurs répétitions d'une expérience. Bien entendu, cette valeur moyenne comporte une incertitude {i1}Delta x$. Il n'y a pas de contradiction ici, juste une terminologie différente. Vous pouvez appeler "mesure" ce que vous voulez - il suffit d'être précis en expliquant ce qu'est votre protocole expérimental. Certains auteurs utilisent le terme "one-shot measurement" pour rendre la distinction claire ; à titre d'exemple, vérifiez ces titres :

  • Pyshkin et al : Refroidissement de l'état fondamental de systèmes quantiques via une mesure one-shot., Phys. Rev. A 93 (2016) 032120 (arXiv)

  • Yung et al : Limites de détection à un coup de l'illumination quantique avec des signaux discrets., npj Quantum Inf. 6 (2020) 75 (arXiv).

Le fait que, même si l'incertitude prédictive. $Delta x$ est finie, nous pouvons avoir une précision infinie dans une seule mesure (one-shot), n'est pas sans valeur, mais très important dans des applications telles que la distribution quantique de clés. Dans de nombreux protocoles de distribution de clés, les deux parties partageant les clés comparent les précision valeurs $x$ qu'ils ont obtenues lors de mesures à une seule instance de leurs états intriqués. Ces valeurs seront corrélées à l'intérieur de leur erreur de mesure en une seule instance, qui est beaucoup plus petite que l'incertitude prédictive $Delta x$. La présence d'une oreille indiscrète détruirait cette corrélation. Les deux parties peuvent donc savoir qu'il y a une écoute clandestine, si elles voient que leurs valeurs mesurées ne concordent qu'à l'intérieur de. plutôt qu'à l'erreur de mesure unique, beaucoup plus petite. Ce schéma ne fonctionnerait pas si l'erreur de mesure d'une seule instance était de $Delta x$. Voir par exemple

  • Reid : Cryptographie quantique avec une clé prédéterminée, utilisant des corrélations Einstein-Podolsky-Rosen à variation continue., Phys. Rev. A 62 (2000) 062308 (arXiv)

  • Grosshans et al : Distribution de clés quantiques utilisant des états cohérents modulés par des gaussiens., Nature 421 (2003) 238 (arXiv). Dans la figure 2, on peut très bien voir la différence entre l'erreur de mesure à une seule instance et la variabilité. $Delta x$ entre les mesures.

  • Madsen et al : Distribution de clés quantiques à variable continue
    avec des états modulés enchevêtrés
    (accès libre), Nat. Comm. 3 (2012) 1083. Voir notamment la figure 4 et son explication.

2. Qu'est-ce que c'est exactement une "mesure de position" ou de "momentum" ?

En mécanique classique, il n'y a qu'une seule mesure (même si elle peut être réalisée par différents moyens technologiques) d'une quantité spécifique quelconque. $Q$, comme la position, le spin ou la quantité de mouvement. Et la mécanique classique dit que l'erreur dans une instance de mesure et la variabilité entre les instances peuvent toutes deux être rendues aussi faibles que nous le voulons.

Dans la théorie quantique, il y a plusieurs différents protocoles expérimentaux que nous pouvons interpréter, pour différentes raisons, comme des "mesures" de cette quantité. $Q$. Habituellement, ils donnent tous le même résultat moyenne valeur à travers les répétitions (pour un état donné), mais diffèrent par d'autres propriétés statistiques telles que la variance. À cause de cela, et de la variabilité expliquée ci-dessus, Bell (du célèbre théorème de Bell) a protesté que nous ne devrions en fait pas appeler ces procédures expérimentales des "mesures" :

  • Bell : Contre "mesure" (autre copie), dans Miller, éd : Soixante-deux ans d'incertitude : enquêtes historiques, philosophiques et physiques sur les fondements de la mécanique quantique. (Plenum 1990).

En particulier, en physique classique, il y a une mesure conjointe et simultanée de la position et de la quantité de mouvement. Dans la théorie quantique il y a plusieurs protocoles de mesure qui peuvent être interprétés comme conjoints, simultanées de la position et de la quantité de mouvement, au sens où chaque instance d'une telle mesure donne deux valeurs, l'une est la position, l'autre la quantité de mouvement. Dans la limite classique, elles deviennent les mesures simultanées classiques de $x$ et $p$. Cette possibilité a été signalée pour la première fois par Arthurs & Kelly en 1965 :

  • Arthurs, Kelly : Sur la mesure simultanée d'une paire d'observables conjuguées., Bell Syst. Tech. J. 44 (1965) 725 (autre copie).

Cette mesure simultanée n'est pas représentée par $hat{x}$ et ${hat{p}} mais par une paire de commuting commutés (hat{X}, hat{P})$. satisfaisant $hat{X}+hat{x}=hat{a}$, $hat{P}+hat{p}=hat{b}$, pour un choix particulier $hat{a}, hat{b}$. Le point est que l'opérateur conjoint $(hat{X}, hat{P})$ peut à juste titre être appelé une mesure simultanée de la position et de la quantité de mouvement, car il se réduit à cette mesure dans la limite classique (et évidemment on a $bar{X}=bar{x}, bar{P}=bar{p}$). En fait, d'après les équations ci-dessus, on pourrait très bien dire que $hat{x}, hat{p}$ sont définis en termes de ${hat{X},hat{P}$ plutôt que l'inverse.

Ce type de mesure simultanée - qui est possible pour toutes les paires de variables conjuguées, et pas seulement pour la position et la quantité de mouvement - n'est pas une bizarrerie théorique, mais une mesure de routine quotidienne dans les laboratoires d'optique quantique. Elle est utilisée pour faire de la tomographie quantique, par exemple. Vous pouvez en trouver une description théorique et expérimentale détaillée dans le livre de Leonhardt ci-dessus, chapitre 6, intitulé "Mesure simultanée de la position et de la quantité de mouvement".

Mais comme je l'ai dit, il y a plusieurs protocoles différents dont on peut dire qu'il s'agit d'une mesure simultanée d'observables conjuguées, correspondant à différents choix de.$hat{a},hat{b}$. Ce qui est intéressant, c'est la manière dont ces mesures diffèrent. On peut les considérer comme formant un continuum entre deux extrêmes :

- À l'un des extrêmes, la variabilité entre les répétitions de mesures de. $X$ a une borne inférieure (qui dépend de l'état du système), tandis que la variabilité de $P$ est infinie. En gros, c'est comme si on mesurait $X$ sans mesurer $P$. Cela correspond à la traditionnelle $hat{x}$.

- A l'autre extrême, la variabilité entre les répétitions de mesures de $P$ a une borne inférieure, tandis que la variabilité de $X$ est infinie. Donc c'est comme si on mesurait $P$ sans mesurer $X$. Cela correspond à la traditionnelle $hat{p}$.

- Entre les deux, il existe des protocoles de mesure qui présentent une variabilité de plus en plus grande pour les $hat{p}$. $X$ à travers les instances de mesure, et de moins en moins de variabilité pour $P$. Ce "continuum" de protocoles de mesure interpole entre les deux extrêmes ci-dessus. Il existe un "sweet spot" entre les deux, dans lequel nous avons une mesure simultanée des deux quantités avec une variabilité finie pour chacune. Le produit de leurs variabilités, Delta X Delta P$, pour ce "protocole de mesure du point doux" satisfait une inégalité similaire à celle bien connue pour les variables conjuguées, mais avec une borne supérieure légèrement.plus grande que la traditionnelle <>Barres/2$ (juste deux fois plus, voir eqn (12) dans Arthurs & Kelly). Il y a donc un prix à payer pour pouvoir les mesurer simultanément.

Ce type de "continuum" de mesures simultanées est également possible pour la célèbre expérience de la double fente. On le réalise en utilisant des détecteurs "bruyants" au niveau des fentes. Il existe des configurations dans lesquelles nous pouvons observer une faible interférence au-delà de l'écran à deux fentes, et en même temps avoir une certaine certitude sur la fente à laquelle un photon pourrait être détecté. Voir par exemple :

  • Wootters, Zurek : La complémentarité dans l'expérience de la double fente : Quantum
    non-séparabilité et un énoncé quantitatif du principe de Bohr.
    , Phys. Rev. D 192 (1979) 473

  • Banaszek et al : Mécanique quantique
    Expérience à sens unique avec un degré de liberté interne
    , Nat. Comm. 4 (2013) 2594 (arXiv)

  • Chiao et al : Non-localité quantique dans deux-photons
    expériences à Berkeley
    , Quant. Semiclass. Opt. 73 (1995) 259 (arXiv), pour les variations de cette expérience.

Nous pourrions être tentés de demander "OK mais qu'est ce que le.réel mesure de la position et de la quantité de mouvement, parmi tout cela ?". Mais dans le cadre de la théorie quantique c'est une question dénuée de sens, semblable à celle qui consiste à demander "Dans quel cadre de référence se trouvent ces deux évènements réellement simultanés ?" dans la théorie de la relativité. Les notions et quantités classiques de position et de momentum n'existent tout simplement pas dans la théorie quantique. Nous avons plusieurs autres notions et quantités qui ont des similitudes avec les classiques. Lesquelles considérer ? Cela dépend du contexte et de l'application. La situation présente en effet quelques similitudes avec celle de la " simultanéité " en relativité : il existe " différentes simultanéités " dépendant du cadre de référence; celui que l'on choisit dépend du problème et de l'application.

Dans la théorie quantique, nous ne pouvons pas vraiment dire "le système.a ces valeurs", ou "ce sont les réels valeurs". Tout ce que nous pouvons dire, c'est que lorsque nous faisons telle ou telle chose au système, alors telle ou telle chose se produit. Pour cette raison, de nombreux physiciens quantiques (voir par exemple Busch et al. ci-dessous) préfèrent parler d'"intervention sur un système" plutôt que de "mesure d'un système" (personnellement, j'évite aussi le terme "mesure").

En résumé : oui

La réponse à votre question est donc que, dans une simple instance de mesure, nous pouvons effectivement (et nous le faisons !) mesurer la position et le momentum.simultanément et tous deux avec une précision arbitraire. Ce fait est important dans des applications telles que la distribution de clés quantiques, mentionnée ci-dessus.

Mais nous observons également une variabilité inévitable lors de répétitions identiques d'une telle mesure. Cette variabilité rend la précision arbitraire de la mesure unique sans importance dans d'autres applications, où la cohérence à travers les répétitions est plutôt requise.

De plus, nous devons spécifier qui des mesures simultanées de quantité de mouvement et de position nous effectuons : il n'y en a pas qu'une, comme en physique classique.

Pour se faire une idée de cela, vous pouvez imaginer deux scientifiques quantiques ayant cette discussion :

- " Hier, j'ai effectué une mesure simultanée de la position et de la quantité de mouvement en utilisant la procédure expérimentale.". $M$ et en préparant le système dans l'état $S$."
- "Quelles valeurs vous attendiez-vous à trouver, avant de faire la mesure ?".
- "La densité de probabilité d'obtenir des valeurs $x,p$ était, selon la théorie quantique, $P(x,p)=dotso$. Sa moyenne était $(bar{x},bar{p}) = (30cdot 10^{-17} mathrm{m}, 893cdot 10^{-17} mathrm{kg m/s})$ et ses écarts-types sont $(Delta x, Delta p)=(1cdot 10^{-17} textrm{m}, 1cdot 10^{-17} mathrm{kg m/s})$ dans la limite quantique. Je m'attendais donc à ce que la $x$ se situe quelque part entre 29$ cdot 10^{-17}\N- mathrm{m}$ et 31$ cdot 10^{-17}\mathrm{m}$; et le $p$ résultat quelque part entre 892 cdot 10^{-17}\N- mathrm{kg m/s}$ et 894$ cdot 10^{-17}\mathrm{kg m/s}$." (Notez comment le produit des écarts-types est.$hbarapprox 10^{-34}\_mathrm{J s}$.)
- "Et quel résultat a donné la mesure ?"
- "J'ai trouvé $x=(31.029pm 0.00001)cdot 10^{-17} textrm{m}$ et $p=(893.476 pm 0.00005)cdot 10^{-17} mathrm{kg m/s}$ à l'intérieur des largeurs des cadrans. Ils sont en accord avec les plages prédictives données par la théorie."
- "Donc vous allez utiliser cette configuration dans votre application ?"
- "Non. J'ai besoin d'être capable de prédire.$x$ avec un peu plus de précision, même si cela signifie que ma prédiction de $p$ se dégrade un peu. Je vais donc utiliser une configuration avec des variances $(Delta x, Delta p)=(0.1cdot 10^{-17} textrm{m},10cdot 10^{-17} mathrm{kg m/s})$ à la place."

Même si la réponse à votre question est positive, nous devons souligner que :
(1) Le principe d'Heisenberg n'est pas violé.(1) Le principe d'Heisenberg n'est pas violé, car il se réfère à la variabilité entre les répétitions de mesures, et non à l'erreur d'une seule mesure. (2) Il est toujours vrai que les opérateurs $hat{x}$ et ${hat{p}} ne peuvent pas être mesurés simultanément. Ce que nous mesurons est un opérateur légèrement différent ; mais cet opérateur peut être appelé à juste titre une mesure conjointe de la position et de la quantité de mouvement, car il se réduit à cette mesure dans la limite classique.

Les déclarations démodées sur le principe d'incertitude doivent donc être prises avec un grain de sel. Lorsque nous précisons ce que nous entendons par "incertitude" et "mesure", ils se révèlent avoir des visages nouveaux, inattendus et très excitants.

Voici plusieurs bons livres qui traitent de ces questions avec clarté, précision et preuves expérimentales :

  • de Muynck : Les fondements de la mécanique quantique, une approche empiriste. (Kluwer 2004)

  • Peres : Théorie quantique : Concepts et méthodes (Kluwer 2002) (autre copie)

  • Holevo : Aspects probabilistes et statistiques de la théorie quantique. (2e éd. Edizioni della Normale, Pise, 2011).

  • Busch, Grabowski, Lahti : Physique quantique opérationnelle (Springer 1995)

  • Nielsen, Chuang : Calcul quantique et information quantique (Cambridge 2010) (autre copie)

  • Bengtsson, Życzkowski : Géométrie des états quantiques : Une introduction à l'intrication quantique
    Entanglement
    (2e édition, Cambridge 2017).

Vous ne pouvez pas mesurer des valeurs précises en même temps parce que les valeurs précises pour les deux n'existent pas en même temps.

Toutes les propriétés de, disons, un électron et être déduit de la fonction d'onde de l'électron, $Psi(vec x)$. La fonction d'onde est un objet mathématique qui couvre tout l'espace. Elle possède une valeur complexe en chaque point.

L'électron n'a pas une position précise. Au contraire, il a une probabilité de se trouver en chaque point, $vec x$, dans l'espace lors de sa mesure. Cette probabilité est $Psi(vec x)^*Psi(vec x)$. (C'est un peu vague. Vraiment la probabilité d'être trouvé dans une petite région. $d vec x$ est $int Psi(vec x)^*Psi(vec x) d vec x$.)

La probabilité d'être trouvé quelque part est $1$, et donc $intPsi(vec x)^*Psi(vec x)dx = 1$. Une telle fonction doit se rapprocher $0$ partout sauf dans une région finie.

Il y a un cas limite où c'est $0$ partout sauf en un point, où elle est infinie. Dans ce cas, elle a une position définie.

Vous pouvez également obtenir la quantité de mouvement à partir de $Psi(vec x)$. Encore une fois, une quantité de mouvement définie n'existe pas, sauf dans un cas limite.

En général, $p = hlambda$. Cela signifie qu'un électron avec un momentum défini aurait une fonction d'onde sinusoïdale d'amplitude constante avec une longueur d'onde définie. Une telle fonction d'onde couvrirait tout l'espace. $Psi(vec x) = A e^{i vec p cdot vec x}$. Ce n'est pas possible, sauf dans un cas limite où l'amplitude s'approche de.$0$. Mais dans ce cas limite, la fonction d'onde a la même amplitude (infinitésimale) partout. L'électron n'a pas de localisation du tout. Il est réparti dans tout l'espace.

Ces cas limites sont aux extrémités opposées d'un éventail de possibilités. La plupart des fonctions d'onde sont non nulles sur une région finie. Ou du moins, étant donné un petit nombre quelconque $epsilon$, $|Psi(vec x)| > epsilon$ uniquement sur une région finie.

L'électron sera trouvé dans cette région finie, mais il n'a pas de localisation précise. Juste une région où il sera trouvé.

De même, il n'a pas de momentum défini. Vous pouvez utiliser l'analyse de Fourier pour décomposer une fonction en une somme de fonctions de la forme. $A e^{i vec p cdot vec x}$. $Psi(vec x) = sum A(vec p) e^{i vec p cdot vec x}$. Dans le cas d'une fonction non périodique comme nous l'avons ici, c'est une somme infinie de fonctions infinitésimales. Elle s'exprime sous la forme d'une intégrale plutôt que d'une somme. $Psi(vec x) = int A(vec p) e^{i vec p cdot vec x} d vec p$

On peut penser à $A(vec p)$ comme une autre façon d'exprimer la fonction d'onde. C'est une autre fonction mathématique, définie sur cet ensemble de tous les moments possibles. Elle est utile pour décrire le momentum de l'électron.

On peut montrer que $A(vec p)$ possède beaucoup des mêmes types de propriétés que $Psi(vec x)$ fait. Par exemple, la probabilité de trouver que l'électron a une quantité de mouvement $vec p$ est (encore une fois vaguement) $A(vec p)^*A(vec p)$.

On peut montrer $A(vec p)^*A(vec p)dvec p = 1$. Autrement dit, la probabilité de trouver l'électron avec un certain momentum est de . $1$. On peut montrer que la fonction ne peut être non nulle que pour une plage finie de.$vec p$'s.

Il existe un cas limite où où $A(vec p)$ est $0$ partout sauf pour une valeur de $vec p$. Dans ce cas limite, l'électron a une valeur définie de $vec p$.

Mais le cas habituel est que l'électron n'a ni une valeur $vec p$ définie. $vec x$ ni une valeur définie $vec p$. Autrement dit, lorsque la fonction d'onde est exprimée sous la forme de $Psi(vec x)$, elle possède une région finie où $Psi(vec x) > 0$. Dans ce cas, il s'avère que lorsque la fonction d'onde est exprimée comme suit . $A(vec p)$, il existe une plage finie de vec p$$A(vec p) > 0$.

Le principe d'incertitude est une relation importante entre la taille de ces deux régions finies. $Delta vec x Delta vec p > hbar/2$.

Cette vidéo de 3blue1brown illustre cette idée. En particulier, elle montre comment le principe d'incertitude provient des propriétés des ondes.


Addendum - Je n'ai pas abordé un domaine où la réponse de pglpm brille vraiment. J'ai pensé que je pourrais ajouter mes 2 cents.

Supposons que vous ayez un électron préparé dans un état donné par une fonction d'onde particulière, $Psi(vec x)$. La position et le momentum peuvent être calculés pour être des valeurs particulières. $vec x$ et $vec p$, avec des incertitudes $Delta vec x et $Delta vec p$. Notez que les incertitudes sont souvent exprimées comme des écarts types des résultats attendus. Cela signifie que la position et la quantité de mouvement peuvent être prédites comme suit . $vec x pm Delta x$ et $vec p pm Delta p$.

Supposons que l'électron arrive juste à la surface d'un film mince libre contenant de nombreux atomes.

Si $Delta vec x$ est grand, il n'est pas possible de prévoir à l'avance quel atome l'électron va frapper. Néanmoins, l'électron va frapper un atome particulier. Il se peut que l'atome soit affecté d'une manière permanente, par exemple en étant éjecté et en laissant un trou. Dans ce cas, il est possible de revenir en arrière après coup et de découvrir très précisément quelle était la position de l'électron.

Si $Delta vec p$ est grand, il n'est pas possible de prévoir à l'avance quelle sera la quantité de mouvement mesurée de l'électron. Mais s'il éjecte un atome, il sera peut-être possible de mesurer le temps de vol de l'électron et de l'atome diffusés vers des détecteurs à haute résolution spatiale et d'obtenir une valeur très précise de ce que s'est avéré être le momentum initial de l'électron.

Le principe d'incertitude ne limite pas la précision avec laquelle nous pouvons déterminer les résultats de ces mesures. Il limite la précision avec laquelle nous pouvons les prédire à l'avance. Si vous avez beaucoup d'électrons dans le même état, il limite à quel point les mesures multiples seront répétables.

Immédiatement après la collision, l'électron et l'atome seront dans de nouveaux états. Les deux états auront un $Delta vec x$ et $Delta vec p$. Il n'est pas possible de prédire à l'avance quand et où l'un ou l'autre toucheront leurs détecteurs. Mais il est possible de dire que les résultats combinés des mesures de position et de quantité de mouvement de l'électron et de l'atome diffusés s'additionneront pour donner une quantité de mouvement compatible avec la quantité de mouvement initiale de l'électron et son incertitude.

Il est possible de mesurer à la fois la position et la quantité de mouvement d'une particule à une position arbitraire "en même temps", si l'on entend par cette phrase "dans une succession si rapide que l'on peut être sûr que la distribution de probabilité de la première quantité mesurée n'a pas changé via l'évolution de Schrodinger entre les deux mesures".

Mais faire cela n'est pas très utile car il y aura toujours un délai infinitésimal entre les deux mesures, et celle qui vient en second effacera effectivement l'information acquise lors de la première mesure. Par exemple, si vous mesurez la position et ensuite la quantité de mouvement immédiatement après, alors vous pouvez obtenir une valeur très précise pour les deux mesures, mais le processus d'obtention d'une lecture précise de la quantité de mouvement va changer la fonction d'onde de telle sorte que c'est la position après la mesure de la quantité de mouvement présente maintenant une grande incertitude par rapport à une mesure ultérieure. Ainsi, la mesure du momentum "annule" l'information de la mesure de position antérieure, dans le sens où elle la rend non répétable.

Il est donc préférable de parler de l'incapacité de "connaître" la position et la quantité de mouvement à un moment donné plutôt que de l'incapacité de "mesurer" les deux (ce qui est en fait possible). Comprendre pleinement pourquoi nécessite de comprendre à la fois le comportement de "collapse d'état" des mesures, et le "large <-> étroite" relation entre des observables non commutées (par exemple via la transformée de Fourier) que vous mentionnez.

C'est pour des mesures en succession extrêmement rapide. Vous pourriez demander des mesures qui ont lieu à exactement en même temps, mais on entre dans des eaux philosophiques pour savoir si deux événements se produisent à exactement en même temps, même en physique classique. En pratique, si vous essayez de faire les deux mesures en même temps, vous trouverez toujours que la particule sort avec une position ou une quantité de mouvement très limitée, et avec une grande incertitude dans l'autre quantité.

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