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Problème de double mur obstruant, quel est le chemin de marche optimal et sa longueur ?

Nous apportons les meilleures informations que nous trouvons en ligne. Nous espérons que cela vous sera utile et si vous pouvez partager quelque chose qui peut nous aider à améliorer nos informations, n'hésitez pas à le faire.

Solution :

Cette réponse a subi tellement de révisions, mais maintenant j'ai obtenu toutes les pièces complétées et j'essaie de faire quelque chose de lisible de tout cela. Il y a vraiment $3$ cas principaux à traiter :
1. Le chemin avant qu'un mur ne soit rencontré
2. Le chemin après le petit mur mais avant le grand mur.
3. Le chemin après le grand mur mais avant le petit mur.
On peut ensuite combiner les résultats des $3$ parties pour trouver une distance moyenne parcourue.

Partie 1. Le chemin avant le premier mur.

Le grand mur est présent $50%$ du temps, et il est uniformément réparti en $.[frac12,frac32]$ lorsqu'il est présent. Ainsi la probabilité que le grand mur n'ait pas été vu pour $frac12le xlefrac32$ est $P_b=frac12+frac12left(frac32-xright)=frac54-frac12x$, et le petit mur n'est présent que 25%$ du temps, donc la même probabilité pour lui est $P_s=frac34+frac14left(frac32-xright)=frac98-frac14x$. La probabilité qu'aucun mur n'ait été rencontré est donc $P_{bs}=P_bP_s=frac18x^2-frac78x+frac{45}{32}$. La probabilité que le premier mur se trouve entre $x$ et $x+dx$ est alors $P_{bs}(x)-P_{bs}(x+dx)=-frac{dP_{bs}{dx}dx=left(-frac14+frac78xright)dx$. Nous calculons maintenant la longueur moyenne du chemin entre le point de départ et le premier mur rencontré, en soustrayant la distance à son centre, ou au but à $B$ si aucun mur n'est rencontré. Cette longueur est la suivante
$$begin{align}bar s=&int_{frac12}^{frac32}left[sqrt{frac14+left(y(x_1)right)^2}+int_{frac12}^{x_2}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dx-y(x_2)right]left(-frac14x_2+frac78right)dx_2+
&frac38gauche[sqrt{frac14+left(y(x_1)right)^2}+int_{frac12}^{frac32}sqrt{1left(+y^{prime}(x)right)^2}dx+sqrt{frac14+left(y(x_3)right)^2}right]tag{1}end{align}$$
Où $x_1=frac12$ et $x_3=frac32$. Maintenant, nous changeons l'ordre d'intégration comme d'habitude pour obtenir
$$begin{align}&int_{frac12}^{frac32}left(-frac14x_2+frac78right)int_{frac12}^{x_2}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dx,dx_2 tag{2}
&=int_{frac12}^{frac32}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}int_{x}^{frac32}left(-frac14x_2+frac78right)dx_2,dx
&=int_{frac12}^{frac32}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}left(frac18x^2-frac78x+frac{33}{32}right)dxend{align}$$
En combinant ceci avec le $-y$ de l'intégrale originale et une intégrale similaire de la partie qui a pris en compte la contribution à la longueur moyenne du chemin si aucun mur n'était présent et les parties en ligne droite, le chemin se simplifie en
$$begin{align}bar s&=int_{frac12}^{frac32}left[left(frac18x^2-frac78x+frac{45}{32}right)sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}-left(frac78-frac14xright)y(x)right]dx\\\NNNNNNNN-agenda{3}
&+sqrt{frac14+left(y(x_1)right)^2}+frac38sqrt{frac14+left(y(x_3)right)^2}end{align}$$
L'effet d'un léger écart par rapport à la trajectoire optimale, $delta y(x)$, est le suivant
$$begin{align}deltabar s&=int_{frac12}^{frac32}left[left(frac18x^2-frac78x+frac{45}{32}right)frac{y^{prime}(x)}{sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}}delta y^{prime}(x)-left(frac78-frac14xright)delta y(x)right]dx
&+frac{y(x_1)}{sqrt{frac14+left(y(x_1)right)^2}}delta y(x_1)+frac38frac{y(x_3)}{sqrt{frac14+left(y(x_3)right)^2}}delta y(x_3)
&=-int_{frac12}^{frac32}left[frac d{dx}left{left(frac18x^2-frac78x+frac{45}{32}right)frac{y^{prime}(x)}{sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}}right}+left(frac78-frac14xright)right]delta y(x)dx
&+left[frac{y(x_1)}{sqrt{frac14+left(y(x_1)right)^2}}-frac{y^{prime}(x_1)}{sqrt{1+left(y^{prime}(x_1)right)^2}}right]delta y(x_1)tag{4}N
&+frac38left[frac{y(x_3)}{sqrt{frac14+left(y(x_3)right)^2}}+frac{y^{prime}(x_3)}{sqrt{1+left(y^{prime}(x_3)right)^2}}right]delta y(x_3)end{align}$$.
Puisque la variation de $bar s$ doit être invariante sous des variations faibles mais arbitraires de la trajectoire, le contenu de chacun des crochets doit être nul. La première ligne donne l'équation différentielle pour la partie courbe de la trajectoire, et la deuxième ligne a pour solution
$$y^{prime}(x_1)=2y(x_1)=frac{y(x_1)-0}{frac12-0}tag{5}$$
Ce qui montre que la dérivée première est continue sur $x=frac12$. De même, la troisième ligne a pour solution
$$y^{prime}(x_3)=-2y(x_3)=frac{0-y(x_3)}{2-frac32}tag{6}$$
Ce qui est la déclaration de continuité de la dérivée première sur $x=frac32$.
Revenons maintenant à cette équation différentielle. Nous avons une intégrale immédiate que nous pouvons écrire comme suit
$$left(frac18x^2-frac78x+frac{45}{32}right)frac{y^{prime}(x)}{sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}}=left(frac18x^2-frac78x+frac{45}{32}right)+frac{1-c_1^2}{4}tag{7}$$
Nous pouvons résoudre $y^{prime}(x)$ pour obtenir
$$y^{prime}=frac{left(frac72-xright)^2-c_1^2-(c_1^2-1)}{2sqrt{c_1^2-1}sqrt{left(frac72-xright)^2-c_1^2}}tag{8}$$
Ensuite, nous pouvons substituer $frac72-x=c_1coshtheta$ de sorte que cela se traduit par
$$y^{prime}=frac{c_1^2sinh^2theta-(c_1^2-1)}{2c_1sqrt{c_1^2-1}sinhtheta}=frac{c_1^2cosh^2theta+1-2c_1^2}{2c_1sqrt{c_1^2-1}sinhtheta}tag{9}$$
En rappelant que $dx=-c_1sinhtheta,dtheta$ nous pouvons intégrer pour obtenir
$$begin{align}y&=-intfrac{c_1^2sinh^2theta-(c_1^2-1)}{2c_1sqrt{c_1^2-1}sinhtheta}c_1sinhtheta,dthetatag{10}
=&frac1{4sqrt{c_1^2-1}}left(-c_1^2sinhthetacoshtheta+(3c_1^2-2)thetaright)+c_2end{align}$$
Nous pouvons insérer ces expressions dans les conditions de continuité de la dérivée première pour obtenir
$$frac{10-2c_1^2}{2sqrt{c_1^2-1}sqrt{9-c_1^2}}=frac1{2sqrt{c_1^2-1}}left(-3sqrt{9-c_1^2}+(3c_1^2-2)lnleft(frac{3+sqrt{9-c_1^2}}{c_1}right)right)+2c_2tag{11}$$
$$frac{5-2c_1^2}{2sqrt{c_1^2-1}sqrt{4-c_1^2}}=frac{-1}{2sqrt{c_1^2-1}}left(-2sqrt{4-c_1^2}+(3c_1^2-2)lnleft(frac{2+sqrt{4-c_1^2}}{c_1}right)right)-2c_2tag{12}$$
Nous pouvons éliminer $c_2$ entre ces deux équations de sorte que nous n'avons qu'une seule équation difficile à résoudre pour $c_1$ avec le résultat $c_1=1.814022405933661$ et $c_2=0.004495637179259$.
Nous avons une expression relativement belle pour
$$sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}=frac{c_1^2cosh^2theta-1}{2c_1sqrt{c_1^2-1}sinhtheta}tag{13}$$
En termes de $theta$.
En connaissant parfaitement la courbe, les équations de continuité nous permettent d'obtenir une expression simplifiée de la trajectoire en ligne droite de $(0,0)$ à $left(frac12,yleft(frac12right)right)$.
$$begin{align}L_1&=sqrt{frac14+left(yleft(frac12right)right)^2}=frac12sqrt{1+left(y^{prime}left(frac12right)right)^2}tag{14}
&=frac2{sqrt{c_1^2-1}sqrt{9-c_1^2}}=0.553038982525363end{align}$$
$$begin{align}L_3&=sqrt{frac14+left(yleft(frac32right)right)^2}=frac12sqrt{1+left(y^{prime}left(frac32right)right)^2}tag{15}
&=frac3{4sqrt{c_1^2-1}sqrt{4-c_1^2}}=0.588379287212860end{align}$$
Nous pouvons intégrer pour trouver la partie incurvée de la trajectoire non perturbée
$$begin{align}L_{13}&=int_{frac12}^{frac32}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dx=int_{theta_1}^{theta_3}frac{1-c_1^2cosh^2theta}{2sqrt{c_1^2-1}}dtheta
&=frac1{4sqrt{c_1^2-1}}left[3sqrt{9-c_1^2}-2sqrt{4-c_1^2}+(c_1^2-2)lnleft(frac{3+sqrt{9-c_1^2}}{2+sqrt{4-c_1^2}}right)right]tag{16}end{align}$$
Où $c_1coshtheta_1=3$ et $c_1coshtheta_3=2$. Comme cela donne $L_{13}=1,042233793405411$, la longueur totale du trajet un jour sans mur sera de $L_1+L_{13}+L_3=2,183652063143634$ miles.
L'écart maximal par rapport à la trajectoire en ligne droite se produit lorsque $y^{prime}=0$. Cela se produit à $theta_{max}=0,759253746502349$, $x_{max}=1,137510935801247$, et a une valeur de $y_{max}=0,401134051668599$.
Pour obtenir la longueur moyenne du chemin, nous devons encore évaluer une autre intégrale
$$begin{align}bar s&=L_1+frac38L_3+int_{frac12}^{frac32}left[left(frac18x^2-frac78x+frac{45}{32}right)sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}-left(frac78-frac14xright)y(x)right]dx
&=frac1{32sqrt{c_1^2-1}}left{(-4c_1^2-2)sqrt{4-c_1^2}+(-2c_1^4+15c_1^2-10)lnleft(frac{2+sqrt{4-c_1^2}}{c_1}right)right.
&left.+(6c_1^2+18)sqrt{9-c_1^2}+(2c_1^4-30c_1^2+20)lnleft(frac{3+sqrt{9-c_1^2}}{c_1}right)right}tag{17}
&-frac58c_2+L_1+frac38L_3=1.250510547155483=text{Cost}_1end{align}$$
Il s'agit de la longueur moyenne jusqu'au premier mur rencontré, en soustrayant la distance jusqu'au centre du mur, ou jusqu'au point $B$ si aucun mur n'était présent.
J'ai inclus un graphique du chemin et un tableau pour ceux qui aiment les solutions discrètes.
Figure 2

$$begin{array}{cc}x&y
0.000000&0.000000
0.500000&0.236331
0.540000&0.254769
0.580000&0.272258
0.620000&0.288778
0.660000&0.304305
0.700000&0.318815
0.740000&0.332282
0.780000&0.344676
0.820000&0.355965
0.860000&0.366113
0.900000&0.375080
0.940000&0.382821
0.980000&0.389287
1.020000&0.394421
1.060000&0.398157
1.100000&0.400423
1.140000&0.401131
1.180000&0.400180
1.220000&0.397452
1.260000&0.392800
1.300000&0.386048
1.340000&0.376976
1.380000&0.365301
1.420000&0.350650
1.460000&0.332511
1.500000&0.310145
2.000000&0.000000
end{array}$$

Partie 2. Le chemin après le petit mur mais avant le grand mur.

La probabilité de rencontrer le grand mur entre $x_2$ et $x_2+dx_2$ était $P(x_2)dx_2=frac12dx_2$ au départ, mais la probabilité que nous arrivions à $x_1$ sans voir le grand mur était .
$$P(x_1)=frac12+int_{x_1}^{frac32}P(x_2)dx_2=frac54-frac12x_1tag{18}$$
Donc la probabilité de rencontrer le grand mur entre $x_2$ et $x_2+dx_2$ étant donné que nous avons réussi à atteindre $x_1$ sans le voir est de
$$P(x_2|x_1)dx_2=frac{P(x_2)}{P(x_1)}dx_2=frac{2dx_2}{5-2x_1}tag{19}$$
Grâce à cette fonction de densité de probabilité, nous pouvons évaluer le coût moyen d'un chemin donné $y(x)$ partant de $(x_1,0)$. Il s'agit de
$$begin{align}bar s(x_1)&=int_{x_1}^{frac32}left[frac12+int_{x_1}^{x_2}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dx+1-y(x_2)+sqrt{(2-x_2)^2+1}right]frac{2dx_2}{5-2x_1}tag{20}
&+left(1-int_{x_1}^{frac32}frac{2dx_2}{5-2x_1}right)left[frac12+int_{x_1}^{frac32}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dx+sqrt{frac14+left(yleft(frac32right)right)^2}right]end{align}$$
L'intégrale de la première ligne sert à faire la moyenne de la longueur du chemin sur toutes les positions restantes possibles du grand mur et la deuxième ligne multiplie la probabilité d'atteindre $x_2=frac32$ indemne par la longueur du chemin non perturbé (après avoir heurté le petit mur à $x_1$) pour obtenir le coût du chemin non perturbé.
Le premier élément de chacun des crochets est le kilométrage de $frac12$ pour contourner le petit mur, car notre système de comptabilité a soustrait notre distance du chemin en ligne droite lorsque le premier mur a été rencontré.
L'intégrale qui vient ensuite est la longueur de la partie incurvée de notre chemin jusqu'à $x_2$ où se trouve le grand mur ou jusqu'à $frac32$ si le grand mur nous laisse tranquille.
Si nous rencontrons le grand mur, nous devrons faire un détour de $1-y(x_2)$ mais nous pourrons alors aller en ligne droite de $(x_2,1)$ à $(2,0)$.
S'il n'y a pas de grand mur, alors après avoir traversé la zone dangereuse, nous pouvons aller en ligne droite de $(frac32,yleft(frac32right))$ à $(2,0)$. On voit que la probabilité qu'il n'y ait pas de grand mur est de $frac2{5-2x_1}$ et que le coût apporté par les constantes est de
$$K_1=frac12left(frac{3-2x_1}{5-2x_1}right)+left(frac{3-2x_1}{5-2x_1}right)+frac12left(frac2{5-2x_1}right)=frac12+frac{3-2x_1}{5-2x_1}tag{21}$$
Le coût moyen de tous les chemins en ligne droite depuis le bord du grand mur jusqu'au point $B$ est de
$$begin{align}K_2&=frac2{5-2x_1}int_{x_1}^{frac32}sqrt{(2-x_2)^2+1}dx_2
&=frac2{5-2x_1}left(-frac12right)left[(2-x_2)sqrt{(2-x_2)^2+1}+lnleft((2-x_2)+sqrt{(2-x_2)^2+1}right)right]_{x_1}^{frac32}tag{22}
&=frac1{5-2x_1}left[(2-x_1)sqrt{(2-x_1)^2+1}+lnleft((2-x_1)+sqrt{(2-x_1)^2+1}right)-frac{sqrt5}4-lnleft(frac{sqrt5+1}2right)right]end{align}$$
Le coût moyen de la trajectoire courbe est
$$begin{align}V_1&=frac2{5-2x_1}int_{x_1}^{frac32}int_{x_1}^{x_2}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dx,dx_2+frac2{5-2x_1}int_{x_1}^{frac32}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dx
&=frac2{5-2x_1}int_{x_1}^{frac32}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}int_{x}^{frac32}dx_2,dx+frac2{5-2x_1}int_{x_1}^{frac32}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dx
&=frac2{5-2x_1}int_{x_1}^{frac32}left(frac32-xright)sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dx+frac2{5-2x_1}int_{x_1}^{frac32}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dx
&=frac1{5-2x_1}int_{x_1}^{frac32}left(5-2xright)sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dxtag{23}end{align}$$
Le bénéfice moyen de la déviation de notre trajectoire par rapport à la ligne droite est de
$$V_2=frac2{5-2x_1}int_{x_1}^{frac32}-y(x)dxtag{24}$$
Et le coût moyen de la partie en ligne droite du chemin non perturbé est de
$$V_3=frac2{5-2x_1}sqrt{frac14+left(yleft(frac32right)right)^2}tag{25}$$
La partie sur laquelle nous pouvons agir en modifiant notre trajectoire est la suivante
$$V_1+V_2+V_3=frac1{5-2x_1}left{int_{x_1}^{frac32}left[left(5-2xright)sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}-2y(x)right]dx+2sqrt{frac14+left(yleft(frac32right)right)^2}right}tag{26}$$
Nous voulons que notre trajectoire soit invariante au premier ordre pour de petites modifications de la trajectoire $delta y$. La modification du contenu des accolades ci-dessus est la suivante
$$begin{align}delta V&=int_{x_1}^{frac32}left[left(5-2xright)frac{partial}{partial y^{prime}}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}delta y^{prime}-2frac{partial}{partial y}y(x)delta yright]dx+left[2frac{partial}{partial y}sqrt{frac14+left(yleft(xright)right)^2}delta yright]_{x=frac32}N{i1}.
&=left[left(5-2xright)frac{y^{prime}(x)}{sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}}delta yright]_{x_i}^{frac32}-int_{x_1}^{frac32}left[frac d{dx}left(left(5-2xright)frac{y^{prime}(x)}{sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}}right)+2right]delta ydxtag{27}
&+left[2frac{y(x)}{sqrt{frac14+left(yleft(xright)right)^2}}delta yright]_{x=frac32}end{align}$$
Maintenant, nous connaissons la valeur de $y(x_1)$, donc $delta y(x_1)=0$, mais $yleft(frac32right)$ est libre d'errer donc $delta yleft(frac32right)$ peut prendre n'importe quelle valeur. Ainsi
$begin{align}delta V&=left[frac{2y^{prime}left(frac32right)}{sqrt{1+left(y^{prime}left(frac32right)right)^2}}+frac{2yleft(frac32right)}{sqrt{frac14+left(yleft(frac32right)right)^2}}right]delta yleft(frac32right)tag{28}
&-int_{x_1}^{frac32}left[frac d{dx}left(left(5-2xright)frac{y^{prime}(x)}{sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}}right)+2right]delta y(x)dxend{align}$$$.
Puisque l'équation doit être invariante au premier ordre en $delta y$, le contenu des deux ensembles de crochets doit être nul. La solution pour les crochets algébriques est $y^{prime}left(frac32right)=-2yleft(frac32right)$. Ceci a pour conséquence physique que la pente du chemin de $left(frac32,yleft(frac32right)right)$ à $(2,0)$ est
$$m=frac{0-yleft(frac32right)}{2-frac32}=-2yleft(frac32right)=y^{prime}left(frac32right)tag{29}$$
Ceci prouve la continuité de la dérivée première du chemin optimal au point de coude $x=frac32$. Cela a été considéré comme probable parce qu'il n'y avait pas de coude évident dans les chemins à cet endroit, mais ce n'était pas une évidence parce que la lumière suit aussi un optimal, mais a des coudes dans son chemin où l'indice de réfraction du milieu change de façon discontinue.
Maintenant, nous devons résoudre l'équation différentielle impliquée par le contenu de la deuxième série de crochets.
$$frac d{dx}left(left(5-2xright)frac{y^{prime}(x)}{sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}}right)=-2tag{30}$$
Ceci s'intègre à
$$left(5-2xright)frac{y^{prime}(x)}{sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}}=5-2x-2c_1^2tag{31}$$
En résolvant pour $y^{prime}(x)$ et en laissant $u=5-2x-c_1^2$,
$$y^{prime}(x)=frac{5-2x-2c_1^2}{2c_1sqrt{5-2x-c_1^2}}=frac{u-c_1^2}{2c_1u^{1/2}}=frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}frac{du}{dx}=-2frac{dy}{du}tag{32}$$
En intégrant,
$$y=frac1{2c_1}left(-frac13u^{3/2}+c_1^2u^{1/2}right)+c_2tag{33}$$
Au début de la trajectoire courbe,
$$y(x_1)=frac12=frac1{2c_1}left(-frac13u_1^{3/2}+c_1^2u_1^{1/2}right)+c_2tag{34}$$
Where $u_1=u(x_1)=5-2x_1-c_1^2$. Alors
$$y=frac1{2c_1}left(-frac13u^{3/2}+c_1^2u^{1/2}+frac13u_1^{3/2}-c_1^2u_1^{1/2}right)+frac12tag{35}$$
Notre condition qui détermine $c_1$ est alors
$$-2left(frac1{2c_1}right)left(u_3^{1/2}-c_1^2u_3^{-1/2}right)=-2left(frac1{2c_1}right)left(-frac13u_3^{3/2}+c_1^2u_3^{1/2}+frac13u_1^{3/2}-c_1^2u_1^{1/2}right)-1tag{36}$$
Where $u_3=uleft(frac32right)=2-c_1^2$. Maintenant, cette équation est beaucoup plus facile à résoudre que ce n'était le cas avant que je ne prouve la continuité de la dérivée première ! Avec cette valeur de $c_1$ en main, nous faisons l'intégrale impliquée par $V_1+V_2$ pour obtenir
$$begin{align}V_1+V_2&=-frac12left(frac1{5-2x_1}right)left[frac1{3c_1}u_3^{5/2}+c_1^3u_3^{1/2}right.tag{37}\
&left.-frac1{3c_1}u_1^{3/2}u_3+c_1u_1^{1/2}u_3-c_1^3u_1^{1/2}-c_1u_1^{3/2}-u_3+u_1right]end{align}$$
Nous pouvons alors calculer $c_1(x_1)$ et $text{Cost}_2(x_1)=K_1+K_2+V_1+V_2+V_3$ et tabuler quelques résultats et tracer quelques trajectoires.
$$begin{array}{ccc}x_1&c_1&text{Cost}_2(x_1)
0.5&1.2653039739&2.5451782877
0.6&1.2610954013&2.4328788766
0.7&1.2576330600&2.3174265702
0.8&1.2551457826&2.1983182953
0.9&1.2539248955&2.0749566112
1.0&1.2543450503&1.9466409733
1.1&1.2568937316&1.8125729376
1.2&1.2622157699&1.6719005163
1.3&1.2711914424&1.5238692094
1.4&1.2851258355&1.3682848227
1.5&1.3065629649&1.2071067812
end{array}$$$
figure 3

Maintenant, nous voulons connaître la contribution au coût total de cette partie du chemin.
Dans la partie 1 que nous avons séparée la probabilité de ne pas avoir rencontré un mur par $x_1$ en $P_{bs}(x_1)=P_b(x_1)P_s(x_1)$.
Alors la probabilité de rencontrer un mur quelconque entre $x_1$ et $x_1+dx_1$ est
$$-frac{dP_{bs}}{dx_1}dx_1=-P_bfrac{dP_s}{dx_1}dx_1-P_sfrac{dP_b}{dx_1}dx_1tag{38}$$
Ceci sépare la probabilité en probabilités que le petit mur ou le grand mur sera rencontré, donc celle que nous voulons est celle pour le petit mur
$$-P_bfrac{dP_s}{dx_1}dx_1=left(frac54-frac12x_1right)left(frac14right)dx_1=frac1{16}(5-2x_1)dx_1tag{39}$$
On multiplie ensuite par $text{Cost}_2(x_1)$ et on intègre sur le domaine du petit mur pour obtenir
$$text{Cost}_2=int_{frac12}^{frac32}text{Cost}_2(x_1)frac{5-2x_1}{16}dx_1=0.374353894107649tag{40}$$

Partie 3. Le chemin après le grand mur mais avant le petit mur.

En commençant notre parcours, la probabilité de trouver le petit mur entre $x_3$ et $x_3+dx_3$ était $P(x_3)dx_3=frac14dx_3$ à cause de sa distribution uniforme.
Cependant, il n'y avait qu'une probabilité de $P(x_1)=frac34+frac14gauche(frac32-x_1droite)=frac18(9-2x_1)$ de parvenir à $x=x_1$ sans rencontrer le petit mur entre $x=frac12$ et $x=x_1$,
donc la probabilité de trouver le petit mur entre $x_3$ et $x_3+dx_3$ étant donné que l'on est arrivé indemne à $x_1$ est de
$$P(x_3|x_1)dx_3=frac{P(x_3)dx_3}{P(x_1)}=frac{2dx_3}{9-2x_1}tag{41}$$
Maintenant que nous avons la bonne fonction de distribution de probabilité, nous pouvons l'utiliser pour trouver la distance moyenne au point $B$ étant donné un chemin $y(x)$ :
$$begin{align}bar s&=int_{x_2}^{frac32}left[1+sqrt{(x_2-x_1)^2+frac14}+int_{x_2}^{x_3}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dxright.tag{42}\
&left.+frac12-y(x_3)+sqrt{(2-x_3)^2+frac14}right]frac{2dx_3}{9-2x_1}
&+left(1-int_{x_2}^{frac32}frac{2dx_3}{9-2x_1}right)left[1+sqrt{(x_2-x_1)^2+frac14}right.\
&left.+int_{x_2}^{frac32}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dx+sqrt{frac14+left(yleft(frac32right)right)^2}right]end{align}$$
L'intégrale de la première ligne ci-dessus calcule la contribution à la longueur du chemin des jours où le petit mur était présent.
Les premiers 2$ termes sont la largeur du grand mur, 1$ mile, et le chemin en ligne droite pris depuis le bord extrême du grand mur à $(x_1,1)$ jusqu'à l'endroit où nous risquons de heurter le petit mur à $(x_2,frac12)$.
Il y a ensuite la longueur du chemin courbe jusqu'à l'endroit où se trouve le petit mur à $(x_3,y(x_3))$, puis le détour que nous devons faire autour du petit mur jusqu'à $(x_3,frac12)$ et enfin la ligne droite de là au point $B$ à $(2,0)$.
Le truc entre parenthèses au début de la deuxième ligne est la probabilité que nous arrivions jusqu'à $(frac32,yleft(frac32right))$ sans que le petit mur soit là,
$$P_{text{undisturbed}}=1-frac{3-2x_2}{9-2x_1}=frac{6-2x_1+2x_2}{9-2x_1}tag{43}$$
Et nous avons alors le détour de 1$-mile autour du grand mur (rappelons que nous avons soustrait $y(x_1)$ dans la partie 1), la ligne droite de $(x_1,1)$ à $(x_2,frac12)$, la longueur du chemin courbe de $(x_2,frac12)$ à $(frac32,yleft(frac32right))$, et le chemin en ligne droite de là au point $B$.
Nous pouvons changer l'ordre d'intégration pour simplifier l'intégrale de la longueur de l'arc.
$$begin{align}&frac2{9-2x_1}int_{x_2}^{frac32}int_{x_2}^{x_3}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dx, dx_3+frac{6-2x_1+2x_2}{9-2x_1}int_{x_2}^{frac32}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dxtag{44}
&=frac2{9-2x_1}int_{x_2}^{frac32}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}int_{x}^{frac32}dx_3,dx+frac{6-2x_1+2x_2}{9-2x_1}int_{x_2}^{frac32}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dx
&=frac1{9-2x_1}int_{x_2}^{frac32}(9-2x_1+2x_2-2x)sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dxend{align}$$
Et l'intégrale qui représente la trajectoire moyenne en ligne droite du petit mur au point $B$ peut être évaluée comme suit
$$begin{align}&frac2{9-2x_1}int_{x_2}^{frac32}sqrt{(2-x_3)^2+frac14}dx_3=frac2{9-2x_1}int_{x_3=x_2}^{x_3=frac32}-frac14cosh^2theta,dthetatag{45}
&=frac1{9-2x_1}left[(2-x_2)sqrt{(2-x_2)^2+frac14}right.\
&left.+frac14lnleft(2-x_2+sqrt{(2-x_2)^2+frac14}right)-frac1{2sqrt2}-frac14lnleft(frac{1+sqrt2}2right)right]end{align}$$
Le reste de l'intégrale ne varie pas dans l'intervalle d'intégration, donc on peut additionner les choses pour obtenir
$$begin{align}bar s&=1+sqrt{(x_2-x_1)^2+frac14}+frac12left(frac{3-2x_2}{9-2x_1}right)+frac{6-2x_1+2x_2}{9-2x_1}sqrt{frac14+left(yleft(frac32right)right)^2}tag{46}
&+frac1{9-2x_1}left[(2-x_2)sqrt{(2-x_2)^2+frac14}right.\
&left.+frac14lnleft(2-x_2+sqrt{(2-x_2)^2+frac14}right)-frac1{2sqrt2}-frac14lnleft(frac{1+sqrt2}2right)right]
&+frac1{9-2x_1}int_{x_2}^{frac32}left[(9-2x_1+2x_2-2x)sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}-2y(x)right]dxend{align}$$
Maintenant que nous avons la longueur exprimée si simplement en terme de trajectoire $y(x)$, nous allons appliquer une variation $y(x)+delta y(x)$ et faire disparaître la dépendance à l'égard de $delta y(x)$ au premier ordre.
$$begin{align}&deltafrac1{9-2x_1}int_{x_2}^{frac32}left[(9-2x_1+2x_2-2x)sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}-2y(x)right]dxtag{47}
&=frac1{9-2x_1}left[(6-2x_1+2x_2)frac{y^{prime}left(frac32right)}{sqrt{1+left(y^{prime}left(frac32right)right)^2}}delta yleft(frac32right)-(9-2x_1)frac{y^{prime}(x_2)}{sqrt{1+left(y^{prime}(x_2)right)^2}}delta y(x_2)right]
&-frac1{9-2x_1}int_{x_2}^{frac32}left[frac d{dx}left((9-2x_1+2x_2-2x)frac{y^{prime}(x)}{sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}}right)delta y(x)+2delta y(x)right]dxend{align}$$
L'intégrande ci-dessus doit s'évanouir pour toute petite variation $delta y(x)$, ce qui nous donnera en temps voulu une équation différentielle pour la trajectoire, mais nous ne connaissons pas les valeurs des extrémités $(x_2,frac12)$ et $(frac32,yleft(frac32right))$, nous devons donc prendre en compte la façon dont le reste des termes dans $bar s$ varie avec la trajectoire.
L'extrémité droite est relativement simple
$$deltafrac{6-2x_1+2x_2}{9-2x_1}sqrt{frac14+left(yleft(frac32right)right)^2}=frac{6-2x_1+2x_2}{9- 2x_1}frac{yleft(frac32right)}{sqrt{frac14+left(yleft(frac32right)right)^2}}delta yleft(frac32right)tag{48}$$
(Négligeant pour le moment la dépendance à l'égard de $x_2$) En combinant avec le terme $delta yleft(frac32right)$ de l'intégration par parties et en considérant que la variation doit être invariante au premier ordre en $delta y$,
$$frac{6-2x_1+2x_2}{9-2x_1}frac{yleft(frac32right)}{sqrt{frac14+left(yleft(frac32right)right)^2}}+frac{6- 2x_1+2x_2}{9-2x_1}frac{y^{prime}left(frac32right)}{sqrt{1+left(y^{prime}left(frac32right)right)^2}}=0tag{49}$$
La solution est $$y^{prime}left(frac32right)=-2yleft(frac32right)tag{50}$$.
Puisque c'est la pente de la ligne allant de $left(frac32,yleft(frac32right)right)$ à $(2,0)$, cela démontre la continuité de la dérivée première à l'extrémité droite. L'extrémité gauche est plus compliquée. Lorsque le chemin $y(x)$ varie, il déplace le point d'extrémité gauche car $y(x_2)=y(x_2+delta x_2)+delta y(x_2)=y(x_2)+y^{prime}(x_2)delta x_2+delta y(x_2)=frac12$ est fixe. Ainsi
$$delta x_2=-frac{delta y(x_2)}{y^{prime}(x_2)}tag{51}$$
Nous devons donc différencier $bar s$ par rapport à $x_2$, y compris la limite inférieure de l'intégrale via le théorème fondamental du calcul, diviser par $y^{prime}(x_2)$, et soustraire du terme que nous avons obtenu de la limite inférieure par intégration par parties pour obtenir
$$begin{align}0&=-frac{y^{prime}(x_2)}{sqrt{1+left(y^{prime}(x_2)right)^2}}-frac1{y^{prime}(x_2)}left[frac{x_2-x_1}{sqrt{(x_2-x_1)^2+frac14}}-frac1{9-2x_1}+frac2{9-2x_1}sqrt{frac14+left(yleft(frac32right)right)^2}right.\
&left.-frac2{9-2x_1}sqrt{(2-x_2)^2+frac14}-frac1{9-2x_1}left{(9-2x_1)sqrt{1+left(y^{prime}(x_2)right)^2}-2y(x_2)right}right.tag{52}\
&left.+frac2{9-2x_1}int_{x_2}^{frac32}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dxright]end{c}$$$
Pas très joli mais ça donne
$$begin{align}&frac{x_2-x_1}{sqrt{(x_2-x_1)^2+frac14}}-frac1{sqrt{1+left(y^{prime}(x_2)right)^2}}tag{53}
&=frac2{9-2x_1}left[sqrt{(2-x_2)^2+frac14}-sqrt{frac14+left(yleft(frac32right)right)^2}-int_{x_2}^{frac32}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dxright]end{align}$$
Le côté gauche peut être reconnu comme la différence entre $sintheta_i-sintheta_r$, il y a donc une réfraction à cette frontière !
Nous pouvons maintenant revenir à l'équation différentielle de la trajectoire $y(x)$. Nous avions
$$frac d{dx}left((9-2x_1+2x_2-2x)frac{y^{prime}(x)}{sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}}right)=-2tag{54}$$
Nous pouvons intégrer pour obtenir
$$(9-2x_1+2x_2-2x)frac{y^{prime}(x)}{sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}}=9-2x_1+2x_2-2x-2c_1^2tag{55}$$
En résolvant pour $y^{prime}(x)$,
$$y^{prime}(x)=frac{9-2x_1+2x_2-2x-2c_1^2}{2c_1sqrt{9-2x_1+2x_2-2x-c_1^2}}=frac{dy}{dx}=-2frac{dy}{du}=frac{u-c_1^2}{2c_1u^{1/2}}tag{56}$$
Où nous avons effectué la substitution $u=9-2x_1+2x_2-2x-c_1^2$, $u_2=u(x_2)=9-2x_1-c_1^2$, et $u_4=uleft(frac32right)=6-2x_1+2x_2-c_1^2$. Nous pouvons l'intégrer pour obtenir
$$y=frac1{2c_1}left(-frac13u^{3/2}+c_1^2u^{1/2}right)+c_2tag{57}$$
Nous savons que
$$y(x_2)=frac12=frac1{2c_1}left(-frac13u_2^{3/2}+c_1^2u_2^{1/2}right)+c_2tag{58}$$
Nous avons donc notre trajectoire
$$y=frac1{2c_1}left(-frac13u^{3/2}+c_1^2u^{1/2}+frac13u_2^{3/2}-c_1^2u_2^{1/2}right)+frac12tag{59}$$
Pour résoudre $c_1$ et $x_2$, nous devons d'abord évaluer cette intégrale
$$begin{align}int_{x_2}^{frac32}sqrt{1+left(y^{prime}(x)right)^2}dx&=int_{x_2}^{frac32}frac1{2c_1}left[u^{1/2}+c_1^2u^{-1/2}right]left(frac{-du}{2}right)tag{60}
&=frac1{2c_1}left[frac13u_2^{3/2}+c_1^2u_2^{1/2}-frac13u_4^{3/2}-c_1^2u_4^{1/2}right]end{align}$$
Donc maintenant, nous pouvons tout mettre dans les équations de continuité de la dérivée première à l'extrémité droite et notre version de la loi de Snell à l'extrémité gauche et résoudre pour $c_1$ et $x_2$. Nous avons alors des trajectoires tracées dans le grand et dans le détail.
Figure 1Figure 4

Même dans le gros plan, il est à peu près impossible de voir la réfraction à $y=frac12$.
Nous pouvons alors évaluer l'intégrale que nous avons optimisée avec une telle difficulté et trouver le coût de chaque chemin. Voici un tableau.
$$begin{array}{ccccc}x_1&c_1&x_2&yleft(frac32right)&text{Cost}_3(x_1)
0.5&2.4687532134&1.3131625215&0.3733857985&2.8090608793
0.6&2.4622847219&1.3501274970&0.3917097193&2.7249375529
0.7&2.4566369485&1.3874433837&0.4127942541&2.6429339266
0.8&2.4518060881&1.4249923978&0.4372691891&2.5634550764
0.9&2.4477477457&1.4625992592&0.4659645229&2.4870044450
1.0&2.4443554844&1.5000000000&0.5000000000&2.4142135624
1.1&unicode{x2014}&unicode{x2014}&unicode{x2014}&2.3453624047
1.2&unicode{x2014}&unicode{x2014}&unicode{x2014}&2.2806248475
1.3&unicode{x2014}&unicode{x2014}&unicode{x2014}&2.2206555616
1.4&unicode{x2014}&unicode{x2014}&unicode{x2014}&2.1661903790
1.5&unicode{x2014}&unicode{x2014}&unicode{x2014}&2.1180339887
end{array}$$
Si $1le x_1lefrac32$, il n'y a pas d'interférence de la part du petit mur parce que le chemin en ligne droite vers $B$ fait le tour de $left(frac32,frac12right)$.
Pour obtenir le coût, nous multiplions par la probabilité de rencontrer le grand mur en premier à $x_1$, qui, d'après notre analyse des parties 1 et 2, est de
$$-P_sfrac{dP_b}{dx_1}dx_1=left(frac98-frac14x_1right)left(frac12right)dx_1=frac1{16}(9-2x_1)dx_1tag{61}$$
Et on intègre sur le domaine du grand mur pour obtenir
$$begin{align}text{Cost}_3&=int_{frac12}^1text{Cost}_3(x_1)frac{9-2x_1}{16}dx_1+int_1^{frac32}left[1+sqrt{(2-x_1)^2+1}right]frac{9-2x_1}{16}dx_1tag{62}
&=0.611754747093525+0.458894932339652=1.070649679433177end{align}$$
Et nous pouvons additionner les contributions au coût total de chacune des parties pour obtenir
$$begin{align}text{Cost}&=text{Cost}_1+text{Cost}_2+text{Cost}_3 tag{63}
&=1.250510547155483+0.374353894107649+1.070649679433177
&=2.695514120696309end{align}$$

J'aime aborder ce genre de problème en examinant d'abord les pires cas, puis voir où je peux apporter des améliorations. Je suppose d'abord qu'il n'y a que le petit mur présent, situé n'importe où dans le mile intermédiaire. En partant du point A, je marche vers le point B, mais avec un angle de 45 degrés vers la droite (on aurait pu aller à gauche) jusqu'à ce que j'atteigne le point où j'ai marché 1/2 mile devant et 1/2 mile à droite, soit une distance de 0,707 miles. Je suis maintenant au bord extérieur du côté droit du petit mur. Maintenant, je marche tout droit, parallèlement à la ligne AB sur 1 mile. Je ne rencontrerai pas de petit mur car je suis juste à droite de celui-ci. Après avoir terminé ce mile, je vais marcher vers le point B, qui est à 0,707 miles, ce qui donne une distance de marche totale de 2,414 miles, et cela fonctionnera tous les jours où il n'y a pas de grand mur, c'est-à-dire 50 % du temps.
Maintenant, pour tenir compte du grand mur. Je vais recommencer comme décrit ci-dessus en marchant à un angle de 45 degrés vers la droite sur 0,707 miles. Je recommence ensuite à marcher tout droit, parallèlement à la ligne AB, mais il se peut maintenant que je heurte le grand mur à mon prochain pas, ou n'importe où dans le kilomètre suivant. Cela fera une différence dans ma marche si je frappe le grand mur dans le premier 1/2 mile ou dans le dernier 1/2 mile. Partons du principe que le grand mur se trouve dans le premier demi-mile, et appelons la distance "x" jusqu'au mur à partir de l'endroit où j'ai commencé à marcher parallèlement à la ligne AB, où x est mesuré en miles et a une valeur comprise entre 0 et 1 inclus. Une fois que j'ai atteint le grand mur à la distance x, je commence à marcher le long du mur vers la droite, et je parcours 0,5 miles pour atteindre son extrémité. Maintenant, je marche dans la direction de B mais à nouveau parallèlement à la ligne AB. Lorsque j'arrive à un point situé à la moitié du kilomètre intermédiaire (si je n'y suis pas déjà), je peux voir directement le point B, qu'il y ait ou non un petit mur devant, et je marche alors directement vers B, soit une distance de 1,414 miles. La marche totale est donc de 0,707 + x + 0,5 + (,5 - x) + 1,414 = 3,121 miles.
Cette réponse devient trop longue, alors laissez-moi juste dire que le pire cas de marche lorsque le mur est dans la dernière moitié du mile du milieu est de 3,325 miles. En prenant les deux résultats pour le cas du grand mur, nous avons une valeur moyenne pour le temps de marche avec le grand mur, avec ou sans la présence du petit mur, d'environ 3,223 miles, et se produira environ 50% du temps.
RÉSULTAT : Je ferais la première promenade décrite tous les jours, et si je rencontrais un grand mur, je modifierais mon parcours comme indiqué dans la deuxième promenade décrite. Ma distance moyenne serait de (2,414 + 3,223)/2 = 2,818 miles. Je ne prétends pas que ce chiffre soit la solution optimale, car d'autres possibilités peuvent donner des résultats légèrement meilleurs, mais l'effort ne vaut pas l'amélioration.

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