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Problèmes lors de la rotation de l'intégrale du chemin par Wick

Nous vous serions reconnaissants de votre aide pour élargir nos sections relatives à l'informatique.

Solution :

OBJECTIF :comment faire une rotation de Wick sur une intégrale de chemin en utilisant le théorème de Cauchy. J'aime l'approche de l'utilisation du théorème de Cauchy et je dois admettre que je n'ai pas vu le problème du temps fini abordé de ce point de vue avant, donc il semblait être une chose amusante à penser (sur ce dimanche après-midi pluvieux !).

Lorsque j'ai commencé à y réfléchir, j'étais plus optimiste que je ne le suis maintenant (nous sommes maintenant mercredi). Je commence par énoncer mes conclusions (les détails de toutes les revendications suivront) :

1. Il y a une obstruction locale qui applique la quantité que vous appelez.
$$
e^{-iint_C dz,mathcal{L}(z)},
$$
à contribuer de manière non-triviale. C'est le premier indice que l'approche globale crée plus de problèmes qu'elle n'en résout. (Il y a un moyen plus facile de faire la continuation analytique).

2. Votre choix de contour ne vous rend pas la vie facile. Si au lieu du premier quadrant vous continuiez dans le quatrième quadrant du plan complexe-$z$, vous obtiendriez le bon signe moins dans le facteur de suppression (mais pas tout à fait l'intégrande attendu).
Contour correct

3. L'hypothèse d'holomorphicité est justifiée, en ce qu'il existe une expansion de base complète pour $tilde{x}(t)$ (et son extension analytiquement continue, $tilde{x}(z)$) telle que la quantité :
$$
oint_{L_R}dz,mathcal{L}(z)+oint_{L_I}dz,mathcal{L}(z)+oint_{C}dz,mathcal{L}(z),
$$
s'évanouit en effet, de sorte que le contour fermé peut être contracté en un point.

4. Les conditions aux limites sont importantes : ce sont les termes de fluctuations quantiques impliquant $tilde{x}(t)$ qui doivent être poursuivis, et non le morceau de mode zéro (classique), $x_{rm cl}(t)$, où
$$
x(t)=x_{rm cl}(t)+tilde{x}(t),
$$
sous réserve que $x_{rm cl}(0)=x_i$, $x_{rm cl}(T)=x_f$, $tilde{x}(0)=tilde{x}(T)=0$. Les deux dernières conditions vous facilitent légèrement la vie.

5. Il est beaucoup plus efficace et naturel de poursuivre analytiquement $tilde{x}(t)$ dans des problèmes tels que ceux-ci, lorsqu'il y a des intervalles de temps finis impliqués. Ceci est également vrai en QFT.

6. Lorsque vous développez $tilde{x}(t)$ comme une série de Fourier soumise aux conditions limites ci-dessus (j'oublie les interactions car elles ne sont pas pertinentes pour les rotations de Wick, du moins dans le cadre de la théorie des perturbations),
$$
tilde{x}(t) = sum_{nneq0}a_npsi_n(t),qquad {rm avec}qquad psi_n(t)=sqrt{frac{2}{T}}sinfrac{npi t}{T},
$$
il devient clair que l'expression (unique) analytiquement continue, obtenue à partir de ce qui précède en remplaçant $trightarrow z$, n'a pas une base bien conformée : ${psi_n(z)}$ n'est plus complète, ni orthonormée et diverge en fait pour suffisamment de $beta$, où $z=t+ibeta$. Mais elle est holomorphe dans son rayon de convergence, et alors on pourrait s'attendre à ce que le théorème de Cauchy vienne à la rescousse car pour tout contour fermé :
$$
N- Point dzN-, N-, psi_n(z)N-, psi_m(z)=0,
$$
et donc étant donné que $int_0^Tdt,psi_n(t)psi_m(t)=delta_{n,m}$ on peut dire quelque chose de significatif sur les intégrales dans les régions restantes du plan complexe.

Et un commentaire (qui s'adresse principalement à certains des commentaires que vous avez reçus @giulio bullsaver et @flippiefanus) : l'intégrale de chemin est suffisamment générale pour pouvoir capturer à la fois les limites finies et infinies dans votre action d'intérêt, à la fois en QM et en QFT. Une complication est que parfois il n'est pas possible de définir des états asymptotiques lorsque les limites sont finies (la notion habituelle de particule n'a de sens qu'en l'absence d'interactions, et à l'infini la séparation entre les particules peut généralement être considérée comme suffisamment grande pour que les interactions soient désactivées), et bien que ce ne soit pas un problème de principe, il faut travailler plus dur pour progresser. En mécanique quantique où il n'y a pas de création de particules les choses sont plus simples et on peut considérer un espace d'état à une seule particule.

Comme je l'ai mentionné plus haut ce n'est qu'un avant-goût : quand je trouverai un peu de temps j'ajouterai de la chair à mes affirmations.


DÉTAILS :

Considérons l'intégrale de chemin suivante pour une particule libre non relativiste :
$$
boxed{Z= int mathcal{D}x,e^{frac{i}{hbar},I[x]},qquad I[x]=int_0^Tdt,Big(frac{dx}{dt}Big)^2}
$$
(Nous fixons la masse $m=2$ tout au long pour éviter un encombrement inutile, mais je veux garder $hbar$ explicite. Nous pouvons rétablir $m$ en tout point en remplaçant $hbarrightarrow hbar 2/m$.)
Cette intégrale de chemin est évidemment complètement triviale. Cependant, la question que nous cherchons à résoudre (c'est-à-dire comprendre la rotation de Wick en relation avec le théorème de Cauchy) est (dans le cadre de la théorie des perturbations) indépendante des interactions. Il suffira de réduire le problème à sa plus simple expression. Voici ma justification : n'effectuera aucune manipulation que nous ne serions pas en mesure d'effectuer également en présence d'interactions dans le cadre de la théorie des perturbations. Donc, cela justifie complètement de considérer la théorie libre.

Pour des raisons pédagogiques, je décrirai d'abord comment s'y prendre pour évaluer sans ambiguïté de telles intégrales de chemin, y compris une discussion détaillée sur la façon d'utiliser le théorème de Cauchy pour donner un sens à l'exponentielle oscillante, et ce n'est qu'après avoir obtenu un résultat que nous discuterons des problèmes associés au fait de suivre l'approche suggérée dans la question.

Comment mèche les intégrales de chemin de rotation sans ambiguïté :

Pour calculer n'importe quelle intégrale de chemin, la première chose à faire est la suivante . spécifier les conditions aux limites. Supposons donc que notre particule se trouve à $x_i=x(0)$ à $t=0$ et à $x_f=x(T)$ à $t=T$. Pour les mettre en œuvre, factorisons une pièce classique et des fluctuations quantiques :
$$
x(t) = x_{rm cl}(t)+tilde{x}(t),
$$
et satisfaisons les conditions aux limites en exigeant que les fluctuations quantiques soient désactivées à $t=0$ et $t=T$ :
$$
tilde{x}(0)=tilde{x}(T)=0,
$$
la pièce classique doit alors hériter des conditions aux limites de $x(t)$ :
$$
x_{rm cl}(0)=x_i,qquad x_{rm cl}(T)=x_f.
$$

En plus de prendre soin des conditions aux limites, la décomposition en un morceau classique et des fluctuations quantiques joue le rôle très important suivant : intégrer $x(t)$ nécessite de pouvoir inverser l'opérateur $-d^2/dt^2$. Ceci n'est possible que lorsque ce sur quoi il agit n'est pas annihilé par lui, c'est-à-dire lorsque les valeurs propres de cet opérateur sont non-vanentes. Nous appelons l'ensemble des choses qui sont annihilées par $-d^2/dt^2$ l'ensemble des choses qui sont annihilées par $-d^2/dt^2$. noyau de $-d^2/dt^2$, ainsi la pièce classique $x_{rm cl}(t)$ est précisément le noyau de $-d^2/dt^2$ :
begin{equation}
-frac{d^2}{dt^2}x_{rm cl}(t)=0.
end{equation}
Il s'agit bien sûr précisément de l'équation classique du mouvement d'une particule libre non relativiste avec la solution unique (soumise aux conditions aux limites ci-dessus) :
$$
x_{rm cl}(t) = frac{x_f-x_i}{T}t+x_i.
$$

Alors maintenant, nous implémentons ce qui précède dans l'intégrale de chemin, en partant de l'action. La décomposition $x(t) = x_{rm cl}(t)+tilde{x}(t)$ conduit à :
begin{equation}
begin{aligned}
I[x]&=int_0^TdtBig(frac{dx}{dt}Big)^2
&=int_0^TdtBig(frac{dx_{rm cl}}{dt}Big)^2+int_0^TdtBig(frac{dtilde{x}}{dt}Big)^2+2int_0^Tdtfrac{dx_{rm cl}}{dt}frac{dtilde{x}}{dt}
end{aligned}
end{equation}
Dans le premier terme, nous substituons la solution des équations du mouvement données ci-dessus. Dans le deuxième terme, nous intégrons par parties en tenant compte des conditions aux limites sur $tilde{x}(t)$. Dans le troisième terme, nous intégrons par parties en tenant compte des conditions aux limites sur $tilde{x}(t)$ et utilisons le fait que $d^2x_{rm cl}/dt^2=0$ pour tout $t$. Au total,
begin{equation}
I[x]=frac{(x_f-x_i)^2}{T}+int_0^Tdt,tilde{x}(t)Big(-frac{d^2}{dt^2}Big)tilde{x}(t),quad{rm with}quad tilde{x}(0)=tilde{x}(T)=0,
end{equation}
et maintenant nous substituons ceci dans l'intégrale du chemin, $Z$, afin de considérer la rotation de Wick en détail :
begin{equation}
boxed{Z= e^{i(x_f-x_i)^2/hbar T}int mathcal{D}tilde{x},exp, frac{i}{hbar}int_0^T!!!dt,tilde{x}(t)Big(-frac{d^2}{dt^2}Big)tilde{x}(t),
quad{rm avec}quad tilde{x}(0)=tilde{x}(T)=0}
end{equation}
En clair, étant donné que nous avons fixé les valeurs limites de $x(t)$, nous avons également que : $mathcal{D}x=mathcal{D}tilde{x}$. C'est-à-dire , nous intégrons seulement sur les quantités qui ne sont pas fixées par les conditions aux limites sur $x(t)$.
Donc le premier point à remarquer est que seule la pièce des fluctuations quantiques pourrait avoir besoin d'une rotation de Wick.

Commentaire isolé :
Revenant à un point que j'ai fait au début de la section DETAILS : si notre objectif était simplement de résoudre la théorie des particules libres, nous aurions (presque) terminé ! Nous n'aurions même pas besoin de faire une rotation de Wick. Nous introduirions simplement une nouvelle variable temporelle, $trightarrow t'=t/T$, puis nous redéfinirions le champ de l'intégrale du chemin en chaque point $t$, $tilde{x}rightarrow tilde{x}'=tilde{x}/sqrt{T}$. La mesure se transformerait alors (en utilisant la régularisation de la fonction zêta) en $mathcal{D}tilde{x}rightarrow =mathcal{D}tilde{x}'=sqrt{T}mathcal{D}tilde{x}$, le résultat serait donc :
$$
Z=frac{N}{sqrt{T}}e^{i(x_f-x_i)^2/hbar T},
$$
la quantité $N$ étant une normalisation (voir ci-dessous). Mais comme je l'ai promis, nous n'effectuerons pas de manipulations qui ne peuvent pas également être réalisées dans les théories en interaction totale (et dans le cadre de la théorie des perturbations). Nous prenons donc le chemin le plus long. Il est cependant utile de mentionner le raccourci : il sert de contrôle de cohérence important pour ce qui suit.

Rotation de la mèche : Considérons les termes de fluctuations quantiques dans l'action,
$$
int_0^T!!!dt,tilde{x}(t)Big(-frac{d^2}{dt^2}Big)tilde{x}(t),
quad{rm avec}quad tilde{x}(0)=tilde{x}(T)=0,
$$
et chercher une base complète (et idéalement orthonormée), ${psi_n(t)}$, dans laquelle développer $tilde{x}(t)$. Nous pouvons considérer une telle expansion comme une expansion en série de Fourier de $tilde{x}(t)$ (où il est évident que la base sera complète), ou nous pouvons définir de manière équivalente la base comme l'ensemble complet des vecteurs propres de $-d^2/dt^2$. Il y a trois exigences que la base doit satisfaire (et une quatrième optionnelle) :

(a) elle ne doit pas vivre dans le noyau de $-d^2/dt^2$ (le noyau a déjà été extrait et appelé $x_{rm cl}(t)$).

(b) il doit être réel (car $tilde{x}(t)$ est réel) ;

(c) elle doit satisfaire les conditions aux limites correctes héritées de $tilde{x}(0)=tilde{x}(T)=0$ ;

(d) il est commode qu'elle soit orthonormée par rapport à un certain produit interne naturel, $(psi_n,psi_m)=delta_{n,m}$, mais ce n'est pas nécessaire.

L'unique solution (jusqu'à un facteur constant) satisfaisant ces exigences est :
$$
tilde{x}(t)=sum_{nneq0}a_npsi_n(t),qquad {rm avec}qquad psi_n(t)=sqrt{frac{2}{T}}sin frac{npi t}{T},
$$
où la normalisation de $psi_n(t)$ est fixée par notre choix du produit interne :
$$
(psi_n,psi_m)equiv int_0^Tdt,psi_n(t),psi_m(t)=delta_{n,m}.
$$
(Dans le contexte actuel, il s'agit d'un produit interne naturel, mais plus généralement et sans se référer à une base particulière, $(delta tilde{x},delta tilde{x})$ est tel qu'il préserve autant que possible les symétries classiques. Incidemment, le fait de ne pas pouvoir trouver un produit interne naturel qui préserve. tous les des symétries classiques est la source d'anomalies potentielles).
Cette base ${psi_n(t)}$ est réelle, orthonormée, satisfait les conditions limites correctes à $t=0,T$ et correspond à un ensemble complet de vecteurs propres de $-d^2/dt^2$ :
$$
-frac{d^2}{dt^2}psi_n(t)=lambda_npsi_n(t),qquad {rm with}qquad lambda_n=Big(frac{npi}{T}Big)^2.
$$
D'après l'expression explicite de $lambda_n$, on devrait comprendre pourquoi $n=0$ a été omis de la somme sur $n$ dans $tilde{x}(t)$.

Pour compléter l'histoire, nous devons définir le mesure intégrale de chemin. Je vais mentionner deux choix équivalents, en partant du choix pédagogique :
$$
mathcal{D}tilde{x}=prod_{nneq0}frac{d a_n}{K},
$$
pour un certain choix de $K$ qui est fixé à un stade ultérieur par l'une des, par exemple, deux méthodes mentionnées ci-dessous (nous trouverons $K=sqrt{4T}$). (Le second choix équivalent de mesure est moins transparent, mais parce qu'il est plus efficace, il sera également mentionné ci-dessous).

Pour évaluer l'intégrale de chemin, nous réécrivons maintenant les termes de fluctuations quantiques dans $Z$ en termes d'expansion de base de $tilde{x}(t)$, et utilisons les relations ci-dessus :
begin{equation}
begin{aligned}
int mathcal{D}tilde{x},&exp, frac{i}{hbar}int_0^T!!!dt,tilde{x}(t)Big(-frac{d^2}{dt^2}Big)tilde{x}(t)
&=int prod_{nneq0}frac{d a_n}{K},exp, isum_{nneq0}frac{1}{hbar}Big(frac{npi}{T}Big)^2a_n^2
&=prod_{nneq0}Big( frac{Tsqrt{hbar}}{Kpi |n|}Big)prod_{nneq0}Big(int_{-infty}^{infty} d'a,e^{ia^2}Big),
end{aligned}
end{equation}
où dans la dernière égalité nous avons redéfini les variables d'intégration, $a_nrightarrow a=frac{|n|pi}{sqrt{hbar}T}a_n$.

L'évaluation des produits infinis est quelque peu tangentielle au point principal de la réflexion sur la rotation de Wick, donc je la laisse comme un.

Exercice : Utilisez la régularisation de la fonction zêta pour montrer que :
$$
prod_{nneq0}c=frac{1}{c},qquad prod_{nneq0}|n| = 2pi,
$$
pour toute quantité indépendante de $n$, $c$. (Indice : rappelons que $zeta(s)=sum_{n>0}1/n^s$, qui a les propriétés $zeta(0)=-1/2$ et $zeta'(0)=-frac{1}{2}ln2pi$).

Il ne reste plus qu'à évaluer :
$$
int_{-infty}^{infty} d'a,e^{ia^2},
$$
ce qui est aussi un exercice standard en analyse complexe, mais je pense qu'il y a une certaine valeur à ce que je reprenne le raisonnement car il est central à la notion de rotation de Wick : l'intégrande est analytique en $a$, donc pour tout contour fermé, $C$, le théorème de Cauchy assure que,
$$
oint_Cda,e^{ia^2}=0.
$$
Choisissons en particulier le contour représenté sur la figure :
Contour pour intégrale gaussienne
En considérant chaque contribution séparément et en prenant la limite $Rrightarrow infty$ on obtient :
$$
int_{-infty}^{infty} d a,e^{ia^2}=sqrt{i}int_{-infty}^{infty}da,e^{-a^2}=sqrt{pi i}
$$
(Réflexion : quel est le résultat pour un choix plus général de l'angle, $thetain (0,frac{pi}{2}]$ ? qui dans l'équation et la figure affichées est $theta=pi/4$). Une conclusion importante est que les intégrales gaussiennes avec exponentielles oscillantes sont parfaitement bien définies. Il n'était manifestement pas nécessaire d'effectuer une rotation de Wick en temps imaginaire à un quelconque moment du calcul. Toute l'analyse ci-dessus consistait à ramener l'intégrale du chemin original sous une forme qui contient un produit d'intégrales ordinaires bien définies. En utilisant ce résultat pour l'intégrale $a$, la régularisation de la fonction zêta pour les produits infinis (voir ci-dessus), et en réorganisant, on obtient :
begin{equation}
begin{aligned}
int mathcal{D}tilde{x},&exp, frac{i}{hbar}int_0^T!!!dt,tilde{x}(t)Big(-frac{d^2}{dt^2}Big)tilde{x}(t)=frac{1}{2pi}frac{Kpi}{Tsqrt{hbar}}frac{1}{sqrt{pi i}}.
end{aligned}
end{equation}
En substituant ce résultat dans l'expression encadrée ci-dessus pour l'intégrale du chemin, nous apprenons que :
$$
Z[x_f,T;x_i,0]=frac{e^{i(x_f-x_i)^2/hbar T}}{sqrt{pi ihbar T}},frac{K}{sqrt{4 T}.
$$

Normalisation : Bien que quelque peu tangentiel, certains lecteurs pourront bénéficier de quelques commentaires concernant la normalisation : $K$ peut être déterminé par une factorisation cohérente exigeante,
$$
Z[x_f,T;x_i,0] equiv int_{-infty}^{infty}dy,Z[x_f,T;y,t]Z[y,t;x_i,0],
$$
(le résultat est indépendant de $0leq tleq T$) ou, si l'on met en doute (à juste titre) l'unicité de la normalisation de l'intégrale $int dy$, on peut à la place déterminer $K$ en exigeant que l'intégrale du chemin reproduise l'équation de Schrodinger : la fonction d'onde (de l'espace de position) à $t=T$ étant donné une fonction d'onde à $t=0$, $psi(x_i,0)$, est par définition,
$$
psi(x,t) = int_{-infty}^{infty}dy,Z[x,t;y,0]psi(y,0),
$$
puis le développement de Taylor en $t$ et $eta$ en redéfinissant la variable d'intégration $yrightarrow eta=x-y$ conduit à l'équation de Schrodinger,
$$
ihbar partial_tpsi(x,t)=-frac{hbar^2}{4}partial^2_xpsi(x,t),
$$
sous réserve de la normalisation, $K=sqrt{4T}$, (rappelons que $m=2$). (Une méthode plus ennuyeuse mais équivalente pour déterminer $K$ consiste à exiger la cohérence avec l'approche par opérateur, où $Z=langle x_f,t|x_i,0rangle$, conduisant au même résultat).

Ainsi, l'intégrale du chemin correctement normalisée pour une particule libre non relativiste (de masse $m=2$) est donc,
$$
boxed{Z[x_f,T;x_i,0]=frac{e^{i(x_f-x_i)^2/hbar T}}{sqrt{pi ihbar T}}
$$
(Rappelons de ce qui précède que pour réintroduire la masse, nous pouvons effectivement remplacer $hbarrightarrow 2hbar/m$).

Définition alternative de la mesure :
J'ai mentionné plus haut qu'il existe une définition plus efficace mais équivalente pour la mesure de l'intégrale de chemin, mais comme ce n'est pas central à ce post, je vais seulement l'énumérer comme une.

Exercice 1 : Montrez que, pour toute constante $c,K$, les définitions de mesure suivantes sont équivalentes :
$$
mathcal{D}tilde{x}=prod_{nneq0}frac{d a_n}{K},
mathcal{D}tilde{x}e^{frac{i}{hbar c}(tilde{x},tilde{x})}=frac{K}{sqrt{pi ihbar c},
$$
où le produit interne a été défini ci-dessus.

Exercice 2 : De la définition de cette dernière mesure, on a immédiatement que,
$$
int mathcal{D}tilde{x}e^{frac{i}{hbar }(tilde{x},-partial_t^2tilde{x})}=frac{K}{sqrt{pi ihbar }},{rm det}^{-frac{1}{2}}!(-partial_t^2).
$$
Montrer en utilisant la régularisation par fonction zêta que ${rm det}^{-frac{1}{2}} ! (-partial_t^2)equiv(prod_{nneq0}lambda_n)^{-1/2}=frac{1}{2T}$, confirmant ainsi (après inclusion de la contribution classique, $e^{i(x_f-x_i)^2/hbar T}$) un accord précis avec le résultat encadré ci-dessus pour $Z$ lorsque $K=sqrt{4T}$. (Remarquez qu'encore une fois nous n'avons pas eu à faire tourner Wick. temps, et la mesure de l'intégrale du chemin est parfaitement bien définie si l'on est prêt à accepter la régularisation de la fonction zêta comme interprétation pour les produits infinis).


TEMPS ROTATIF WICK ? peut-être pas.

Après avoir discuté de la façon d'évaluer les intégrales de chemin sans temps de rotation de Wick, nous utilisons maintenant les résultats ci-dessus afin de comprendre ce qui pourrait aller mal quand on fait du temps de rotation de Wick.

Nous suivons donc maintenant votre raisonnement (mais avec une torsion) : Nous revenons à l'intégrale de chemin sur les fluctuations. Nous poursuivons analytiquement $trightarrow z=t+ibeta$ et souhaitons construire un contour (j'appellerai le contour fermé intégral $C$), tel que :
$$
oint_C dz,tilde{x}(z)Big(-frac{d^2}{dz^2}Big)tilde{x}(z)=0.
$$
Notre travail ci-dessus implique immédiatement que tout choix de $C$ peut en effet être contracté en un point sans obstruction. En effet, en utilisant la base ci-dessus, nous avons une expression analytiquement continue unique pour $tilde{x}(z)$ étant donné $tilde{x}(t)$ :
$$
tilde{x}(z)=sqrt{frac{2}{T}}sum_{nneq0}a_nsin frac{npi z}{T}.
$$
Cette fonction est clairement analytique en $z$ (tout comme ses dérivées) et ne présente aucune singularité, sauf peut-être en dehors du rayon de convergence. La première indication que cela pourrait être une mauvaise idée est de remarquer qu'en poursuivant $trightarrow z$, nous nous retrouvons avec une mauvaise base qui cesse d'être orthonormée et la somme sur $n$ ne converge pas nécessairement pour une partie imaginaire suffisamment grande de $z$. Cela sème donc immédiatement le trouble, mais essayons de persister dans ce raisonnement, dans l'espoir qu'il puisse résoudre plus de problèmes qu'il n'en crée (ce n'est pas le cas).

Choisissez le contour suivant (notez le choix différent du contour par rapport à votre choix) :
Entrez la description de l'image ici
J'ai choisi le quatrième quadrant au lieu du premier, car (comme vous l'avez montré dans votre question) le premier quadrant conduit à une gaussienne de mauvais signe, alors que le quatrième quadrant y remédie.

Nous pouvons donc appliquer le théorème de Cauchy au contour $C=a+b+c$. En utilisant les coordonnées $z=re^{itheta}$ et $z=t+ibeta$ pour les contours $b$ et $c$ respectivement,
begin{equation}
begin{aligned}
int_0^T& dt,tilde{x}Big(-frac{d^2}{dt^2}Big)tilde{x}
&=- int_0^{-pi/2}(iTe^{itheta}dtheta),tilde{x}(Te^{itheta})frac{1}{T^2e^{2itheta}}Big(frac{partial^2}{partial theta^2}-ifrac{partial}{partial theta}Big)tilde{x}(Te^{itheta})
&qquad+iint_{-T}^0dbeta,tilde{x}(ibeta)Big(-frac{d^2}{dbeta^2}Big)tilde{x}(ibeta)
end{aligned}
end{equation}
où par la règle de la chaîne, le long du contour $b$ :
$$
dz|_{r=T}=iTe^{itheta}dtheta,qquad {rm et}qquad -frac{d^2}{dz^2}Big|_{r=T} = frac{1}{T^2e^{2itheta}Big(frac{partial^2}{partial theta^2}-ifrac{partial}{partial theta}Big),
$$
sont évaluées à $z=Te^{itheta}$.

En ce qui concerne l'intégrale le long du contour $b$ (c'est-à-dire l'intégrale $theta$), on s'est demandé plus haut si cette quantité contribue réellement ou non. Qu'elle le fait contribue découle d'un théorème élémentaire de l'analyse complexe : les équations de Cauchy-Riemann. Grossièrement, l'énoncé est le suivant : si une fonction, $f(z)$, est holomorphe en $z$, alors la dérivée de cette fonction par rapport à $z$ en tout point, $p$, est indépendante de la.direction de la dérivée. Par exemple, si $z=x+iy$, alors $partial_zf(z) = partial_xf(z)=-ipartial_yf(z)$ en tout point $z=x+iy$. En appliquant cela à notre cas, en utilisant la notation ci-dessus, $z=re^{itheta}$, cela signifie que les dérivées le long de la direction $theta$ évaluées à tout $theta$ et à $r=T$ sont égales aux dérivées correspondantes le long de la direction $r$ au même $theta$ et $r=T$, qui à leur tour sont égales aux dérivées $z$ au même $z=Te^{itheta}$. On en conclut donc immédiatement que l'intégrale le long du contour $b$ est :
begin{equation}
begin{aligned}
- int_0^{-pi/2}(iTe^{itheta}dtheta)&,tilde{x}(Te^{itheta})frac{1}{T^2e^{2itheta}}Big(frac{partial^2}{partial theta^2}-ifrac{partial}{partial theta}Big)tilde{x}(Te^{itheta})
&=- int_bdz,tilde{x}(z)Big(-frac{d^2}{dz^2}Big)tilde{x}(z)Big|_{z=Te^{itheta}}
&=- sum_{n,mneq0}Big(frac{npi}{T}Big)^2a_na_mint_bdz,psi_n(z)psi_m(z)Big|_{z=Te^{itheta}},
end{aligned}
end{equation}
où nous avons utilisé l'expansion de base analytiquement contenue de $tilde{x}(z)$. Nous avons une expression explicite pour l'intégrale le long du contour $b$ :
begin{equation}
begin{aligned}
int_bdz,psi_n(z)psi_m(z)Big|_{z=Te^{itheta}}&=2iint_0^{-pi/2}dtheta ,e^{itheta}sin (npi e^{itheta})sin (mpi e^{itheta})
&=-frac{2}{pi}frac{mcosh mpi sinh npi-ncosh npi sinh mpi}{(m-n)(m+n)}
end{aligned}
end{equation}
où nous avons pris en compte que $m,nin mathbb{Z}$. Il convient de souligner que ce résultat découle directement de la suite analytique de $tilde{x}(t)$ avec les conditions limites physiques $tilde{x}(0)=tilde{x}(T)=0$. Remarquez maintenant que la base $psi_n(z)$ n'est plus orthogonale (le produit interne n'est plus un simple delta de Kronecker comme ci-dessus), et la présence de sinus et de cosinus hyperboliques implique que la somme sur $n,m$ n'est pas bien définie. Bien sûr, nous pouvons la diagonaliser si nous le souhaitons, mais il est clair que cette suite analytique de $t$ ne nous facilite pas la vie. Il est clair que l'intégrale le long de la direction $theta$ contribue de manière non triviale, et cela découle directement et inévitablement des équations de Cauchy-Riemann qui lient les dérivées des fonctions holomorphes dans différentes directions. Étant donné que $partial_t^mpsi_n(t)$ ne disparaît pas génériquement à $t=T$, l'intégrale de $theta$ le long du contour $b$ ne peut pas disparaître identiquement et contribuera non-trivialement, comme nous l'avons montré par calcul direct. Remarquons en outre que dans l'intégrale du chemin, il y a un facteur de $i=sqrt{-1}$ multipliant l'action $I$.[x]$, donc à partir du résultat explicite ci-dessus, il est clair que l'exposant associé au contour $b$. reste oscillant.

Enfin, considérons l'action associée au contour $c$. D'après ce qui précède :
begin{equation}
begin{aligned}
iint_{-T}^0dbeta,&tilde{x}(ibeta)Big(-frac{d^2}{dbeta^2}Big)tilde{x}(ibeta).
end{aligned}
end{equation}
Dans l'intégrale de chemin, ceci contribue comme :
$$
exp -frac{1}{hbar}int_{-T}^0dbeta,tilde{x}(ibeta)Big(-frac{d^2}{dbeta^2}Big)tilde{x}(ibeta),
$$
il semble donc que nous ayons réussi à obtenir un amortissement exponentiel au moins le long du contour $c$. Qu'avons-nous gagné ? Pour obtenir la forme souhaitée, nous déplaçons la variable d'intégration, $betarightarrow beta'=beta+T$,
$$
exp -frac{1}{hbar}int_0^Tdbeta',tilde{x}(ibeta'-iT)Big(-frac{d^2}{d{beta'}^2}Big)tilde{x}(ibeta'-iT)
$$
Cela semble avoir la forme souhaitée, mais nous devons nous rappeler que la $tilde{x}(ibeta)$ est déjà déterminée par la suite analytique de $tilde{x}(t)$, et par conséquent, elle est déterminée par la suite analytique de la base $psi_n(t)$. Cette base le long de l'axe $beta$ n'est plus périodique, nous avons donc perdu les bonnes conditions aux limites sur $tilde{x}(ibeta)$. En particulier, bien que $tilde{x}(0)=0$, nous avons $tilde{x}(iT)neq0$, donc nous ne pouvons même pas intégrer par parties sans prendre les contributions aux limites. On pourrait essayer de redéfinir les champs de l'intégrale de chemin, $tilde{x}(ibeta)rightarrow tilde{x}'(beta)$, puis de faire une expansion en série de Fourier de $tilde{x}'(beta)$, mais on perd alors le lien avec le théorème de Cauchy.

Je pourrais continuer, mais je pense qu'une conclusion a déjà émergé : continuer analytiquement le temps dans l'intégrande de l'action est génériquement une mauvaise idée (en tout cas je n'en vois pas l'intérêt en l'état actuel des choses), et il est beaucoup plus efficace de continuer analytiquement le champ complet $tilde{x}(t)$ comme nous l'avons fait ci-dessus. (Plus haut, nous avons continué les $a_n$ ce qui est équivalent à continuer $tilde{x}(t)$). Je ne dis pas que c'est faux, juste que c'est inefficace et qu'il faut travailler beaucoup plus pour y trouver un sens.

Je veux insister sur un point : Les intégrales gaussiennes avec exponentielles oscillantes sont parfaitement bien définies. Il n'y a pas besoin de faire une rotation de Wick en temps imaginaire à n'importe quel moment du calcul.

Normalement (dans la théorie quantique des champs), l'intégration devrait aller jusqu'à l'infini. La partie qui ferme la boucle à l'infini devrait alors disparaître, car les champs sont supposés s'annuler à cet endroit. Pour le reste de l'intégration, on devrait constater que dans les différents demi-espaces (supérieur ou inférieur), l'exponentielle croît ou décroît et il suffirait alors de choisir celle qui décroît pour que l'intégrale converge.

À la fin de cet article, vous pouvez trouver les rapports des autres administrateurs système, vous avez également la possibilité de laisser le vôtre si vous en avez envie.



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