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Quel est exactement le rôle de la retenue d'ordre zéro dans un système hybride analogique/numérique à données échantillonnées ?

Après avoir consulté des experts dans ce domaine, des programmeurs de diverses branches et des professeurs, nous avons trouvé la réponse au dilemme et nous l'avons reflétée dans ce post.

Solution :

Mise en place

Nous considérons un système avec un signal d'entrée $$x(t)$, et pour plus de clarté nous nous référons aux valeurs de $x(t)$ comme des tensions, lorsque cela est nécessaire. Notre période d'échantillonnage est $T$, et le taux d'échantillonnage correspondant est $f_s triangleq 1/T$.

Pour la transformée de Fourier, nous choisissons les conventions suivantes
$$
X(i 2 pi f) = mathcal{F}(x(t)) triangleq int_{-infty}^infty x(t) e^{-i 2 pi f t} mathrm{d}t,
$$
ce qui donne la transformée de Fourier inverse
$$
x(t) = mathcal{F}^{-1}(X(i 2 pi f)) triangleq int_{-infty}^infty X(i 2 pi f) e^{i 2 pi f t} mathrm{d}f.
$$
Notons qu'avec ces conventions, $X$ est une fonction de la variable de Laplace $s = i omega = i 2 pi f$.

Echantillonnage et reconstruction idéaux.

Partons de l'échantillonnage idéal : selon le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon, étant donné un signal $$x(t)$ dont la bande est limitée à $f < frac{1}{2} f_s$, c'est-à-dire
$$
X(i 2 pi f) = 0,qquad mathrm{quand }, |f| geq frac{1}{2}f_s,
$$
alors le signal original peut être parfaitement reconstruit à partir du échantillons $x[n] Triangleq x(n T)$, où $n dans mathbb{Z}$. En d'autres termes, étant donné la condition sur la largeur de bande du signal (appelée le critère de Nyquist), il suffit de connaître ses valeurs instantanées à des points discrets équidistants dans le temps.

Le théorème d'échantillonnage donne également une méthode explicite pour effectuer la reconstruction. Justifions-la d'une manière qui nous sera utile dans la suite : estimons la transformée de Fourier $X(i 2 pi f)$ d'un signal $x(t)$ par sa somme de Riemann avec un pas $T$ :
$$
X(i 2 pi f) sim sum_{n = -infty}^infty x(n Delta t)e^{-i 2 pi f n Delta t} Delta t,
$$
où $Delta t = T$. Réécrivons ceci comme une intégrale, pour quantifier l'erreur que nous faisons :
$$
begin{align}
sum_{n = -infty}^infty x(n T)e^{-i 2 pi f n T}T &= int_{-infty}^infty sum_{n = -infty}^infty x(t)e^{-i 2 pi f t}T delta(t - n T)mathrm{d}t
&= X(i 2 pi f) * mathcal{F}(T sum_{n = -infty}^infty delta(t - nT))
&= sum_{k = -infty}^infty X(f - k/T),
tag{1}
label{discreteft}
end{align}
$$
où nous avons utilisé le théorème de convolution sur le produit de $x(t)$ et le fonction d'échantillonnage $sum_{n = -infty}^infty T delta(t - n T)$, le fait que la transformée de Fourier de la fonction d'échantillonnage est $sum_{n = -infty}^infty delta(f - k/T)$, et avons effectué l'intégrale sur les fonctions delta.

Notons que le côté gauche est exactement $T X_{1/T}(i 2 pi f T)$, où $ X_{1/T}(i 2 pi f T)$ est la transformée de Fourier en temps discret du signal échantillonné correspondant $x.[n] triangleq x(n T)$, avec $f T$ la fréquence temporelle discrète sans dimension.

Nous voyons ici la raison essentielle du critère de Nyquist : c'est exactement ce qui est nécessaire pour garantir que les termes de la somme ne se chevauchent pas. Avec le critère de Nyquist, la somme ci-dessus se réduit à l'extension périodique du spectre de l'intervalle $$.[-f_s/2, f_s/2]$ à l'ensemble de la ligne réelle.

Puisque la DTFT dans eqref{discreteft} a la même transformée de Fourier dans l'intervalle $$.[-f_s/2, f_s/2]$ que notre signal original, nous pouvons simplement le multiplier par la fonction rectangulaire $mathrm{rect}(f/f_s)$ et retrouver le signal original. Grâce au théorème de convolution, cela revient à convoluer le peigne de Dirac avec la transformée de Fourier de la fonction rectangulaire, qui, dans nos conventions, est la suivante
$$
mathcal{F}(mathrm{rect}(f/f_s)) = 1/ T mathrm{sinc}(t/T),
$$
où la fonction sinc normalisée est
$$
mathrm{sinc}(x) triangleq frac{sin(pi x)}{pi x}.
$$
La convolution remplace alors simplement chaque delta de Dirac dans le peigne de Dirac par une fonction sinc décalée à la position du delta, ce qui donne
$$
x(t) = sum_{n = -infty}^infty x[n] mathrm{sinc}(t/T - n).
tag{2}
label{sumofsinc}
$$
C'est la formule d'interpolation de Whittaker-Shannon.

Échantillonnage non idéal

Pour traduire la théorie ci-dessus dans le monde réel, la partie la plus difficile est de garantir la limitation de bande, ce qui doit être fait avant l'échantillonnage. Pour les besoins de cette réponse, nous supposons que cela a été fait. La tâche restante consiste alors à prendre des échantillons des valeurs instantanées du signal. Puisqu'un CAN réel aura besoin d'un temps fini pour former l'approximation de l'échantillon, l'implémentation habituelle stocke la valeur du signal dans un circuit d'échantillonnage et de maintien, à partir duquel l'approximation numérique est formée.

Même si cela ressemble beaucoup à un maintien d'ordre zéro, il s'agit d'un processus distinct : la valeur obtenue à partir de l'échantillonnage et du maintien est en effet exactement la valeur instantanée du signal, jusqu'à l'approximation que le signal reste constant pendant la durée nécessaire pour charger le condensateur qui maintient la valeur de l'échantillon. Ceci est généralement bien réalisé par les systèmes du monde réel.

Par conséquent, nous pouvons dire qu'un CAN du monde réel, en ignorant le problème de la limitation de la bande, est une très bonne approximation du cas de l'échantillonnage idéal, et plus précisément. l'"escalier" provenant de l'échantillonnage et du maintien ne provoque aucune erreur dans l'échantillonnage. par lui-même.

Reconstruction non idéale

Pour la reconstruction, le but est de trouver un circuit électronique qui accomplit la somme des sincères apparaissant dans $eqref{sumofsinc}$. Comme le sinc a une étendue infinie dans le temps, il est tout à fait clair que cela ne peut pas être réalisé exactement. De plus, la formation d'une telle somme de signaux, même avec une approximation raisonnable, nécessiterait de multiples sous-circuits, et deviendrait rapidement très complexe. Par conséquent, on utilise généralement une approximation beaucoup plus simple : à chaque instant d'échantillonnage, une tension correspondant à la valeur de l'échantillon est émise et maintenue constante jusqu'à l'instant d'échantillonnage suivant (voir la modulation Delta-sigma pour un exemple de méthode alternative). C'est le maintien d'ordre zéro et correspond au remplacement de la sinc que nous avons utilisée plus haut par la fonction rectangle $1/Tmathrm{rect}(t/T - 1/2)$. En évaluant la convolution
$$
(1/Tmathrm{rect}(t/T - 1/2))*left(sum_{n = -infty}^infty T x[n] delta(t - n T)right),
$$
en utilisant la propriété de définition de la fonction delta, nous voyons que cela donne effectivement la forme d'onde classique en escalier à temps continu. Le facteur de $1/T$ entre pour annuler le $T$ introduit dans eqref{discreteft}. Le fait qu'un tel facteur soit nécessaire ressort également du fait que les unités d'une réponse impulsionnelle sont 1/temps.

Le décalage de $-1/2 T$ sert simplement à garantir la causalité. Cela équivaut seulement à un décalage de la sortie de 1/2 échantillon par rapport à l'utilisation de $1/T mathrm{rect}(1/T)$ (ce qui peut avoir des conséquences dans les systèmes en temps réel ou lorsque.très synchronisation précise à des événements externes est nécessaire), que nous ignorerons dans ce qui suit.

En comparant de nouveau à eqref{discreteft}, nous avons remplacé la fonction rectangulaire dans le domaine fréquentiel, ce qui a laissé la bande de base entièrement intacte et a supprimé toutes les copies de plus haute fréquence du spectre, appelées. images par la transformée de Fourier de la fonction $1/T mathrm{rect}(t/T)$. Ceci est bien sûr
$$
mathrm{sinc}(f/f_s).
$$

Notez que la logique est quelque peu inversée par rapport au cas idéal : là, nous avons défini notre objectif, qui était de supprimer les images, dans le domaine fréquentiel, et nous en avons tiré les conséquences dans le domaine temporel. Ici, nous avons défini comment reconstruire dans le domaine temporel (puisque c'est ce que nous savons faire), et dérivé les conséquences dans le domaine fréquentiel.

Donc le résultat de la prise d'ordre zéro est qu'au lieu du fenêtrage rectangulaire dans le domaine fréquentiel, on se retrouve avec la sinc comme fonction de fenêtrage. Par conséquent :

  • La réponse en fréquence n'est plus limitée en bande. Elle décroît plutôt comme $1/f$, les fréquences supérieures étant des images du signal original.
  • dans la bande de base, la réponse décroît déjà considérablement, atteignant environ -4 dB à $1/2 f_s$.

Dans l'ensemble, le maintien d'ordre zéro est utilisé pour approximer la fonction sinc du domaine temporel apparaissant dans la formule d'interpolation de Whittaker-Shannon. Lors de l'échantillonnage, l'échantillonnage et le maintien d'apparence similaire constituent une solution technique au problème de l'estimation de la valeur instantanée du signal, et ne produisent pas d'erreurs en soi.

Notez qu'aucune information n'est non plus perdue lors de la reconstruction, puisque nous pouvons toujours filtrer les images à haute fréquence après le maintien initial d'ordre zéro. La perte de gain peut également être compensée par un filtre sinc inverse, soit avant, soit après le DAC. Ainsi, d'un point de vue plus pratique, le filtre maintien d'ordre zéro est utilisé pour construire une approximation initiale implémentable. à la reconstruction idéale, qui peut ensuite être encore améliorée, si nécessaire.

Le maintien d'ordre zéro a pour rôle d'approximer les fonctions delta et $mathrm{sinc}$ -fonctions apparaissant dans le théorème d'échantillonnage, selon ce qui est approprié.

Pour des raisons de clarté, je considère un système ADC/DAC avec un signal de tension. Tout ce qui suit s'applique à tout système d'échantillonnage avec le changement d'unités approprié, cependant. Je suppose également que le signal d'entrée a déjà été magiquement limité en bande pour remplir le critère de Nyquist.

Partir de l'échantillonnage : idéalement, on échantillonne la valeur du signal d'entrée à un instant unique. Comme les CAN réels ont besoin d'un temps fini pour former leur approximation, la tension instantanée est approximée par l'échantillonnage et le maintien (l'instantané étant approximé par le temps de commutation utilisé pour charger le condensateur). Donc, en substance, le hold convertit le problème de l'application d'une fonctionnelle delta au signal en un problème de mesure d'une tension constante.

Notez ici que la différence entre le signal d'entrée multiplié par un train d'impulsions ou un maintien d'ordre zéro appliqué aux mêmes instants n'est qu'une question d'interprétation, puisque l'ADC ne stockera néanmoins que les tensions instantanées maintenues. L'une peut être reconstruite à partir de l'autre. Pour les besoins de cette réponse, j'adopterai l'interprétation selon laquelle le signal échantillonné est le signal à temps continu de la forme
$$x(t) = frac{Delta t V_mathrm{ref}}{2^n}sum_k x_k delta(t - k Delta t),$$
où $V_mathrm{ref}$ est la tension de référence de l'ADC/DAC, $n$ est le nombre de bits, $x_k$ sont les échantillons représentés de manière habituelle comme des entiers, et $Delta t$ est la période d'échantillonnage. Cette interprétation quelque peu non conventionnelle a l'avantage de me faire considérer, à tout moment, un signal à temps continu, et l'échantillonnage signifie ici simplement le représenter en termes de nombres $x_k$, qui sont effectivement les échantillons au sens habituel.

Dans cette interprétation, le spectre du signal en bande de base est exactement le même que celui du signal original, et la convolution effective par le train d'impulsions a pour effet de répliquer ce signal de manière à rendre le spectre périodique. Les répliques sont appelées images du spectre. La nécessité du facteur de normalisation $Delta t$ est évidente, par exemple, si l'on considère le décalage en courant continu d'une impulsion de 1 volt d'une durée $Delta t$ : son décalage en courant continu, défini comme la composante $f = 0$ de la transformée de Fourier, est le suivant
$$ hat{x}(0) = int_0^{Delta t} 1mathrm{V}mathrm{d}t = 1mathrm{V} Delta t.$$$
Afin d'obtenir le même résultat à partir de notre version échantillonnée, nous devons en effet inclure le facteur de $Delta t$.*

La reconstruction idéale consiste alors à construire un signal électrique qui possède le même spectre en bande de base que ce signal, et aucune composante aux fréquences hors de cette gamme. Cela revient à convoluer le train d'impulsions avec la fonction $mathrm{sinc}$ appropriée. Cette opération est assez difficile à réaliser électroniquement, c'est pourquoi la $mathrm{sinc}$ est souvent approximée par une fonction rectangulaire, dite d'ordre zéro. En substance, à chaque fonction delta, la valeur de l'échantillon est maintenue pendant la durée de la période d'échantillonnage.

Pour voir quelles conséquences cela a sur le signal reconstruit, j'observe que le maintien est exactement équivalent à une convolution du train d'impulsion avec la fonction rectangulaire
$$mathrm{rect}_{Delta t}(t) = frac{1}{Delta t}mathrm{rect}left(frac{t}{Delta t}right).$$$
La normalisation de cette fonction rectangulaire est définie en exigeant qu'une tension constante soit correctement reproduite, ou en d'autres termes, si une tension $V_1$ a été mesurée lors de l'échantillonnage, la même tension est émise lors de la reconstruction.

Dans le domaine fréquentiel, cela revient à multiplier la réponse en fréquence par la transformée de Fourier de la fonction rectangulaire, soit
$$
hat{mathrm{rect}}_{Delta t}(f) = mathrm{sinc}(pi Delta t f).
$$
Notez que le gain en courant continu est de $1$. Aux hautes fréquences, le $mathrm{sinc}$ décroît comme $1/f$, et atténue donc les images du spectre.

Au final, la $mathrm{sinc}$-fonction résultant de la retenue d'ordre zéro se comporte comme un filtre passe-bas sur le signal. Notez qu'aucune information n'est perdue dans la phase d'échantillonnage (en supposant le critère de Nyquist), et en principe, rien n'est perdu non plus lors de la reconstruction : le filtrage dans la bande de base par la $mathrm{sinc}$ pourrait être compensé par un filtre inverse (et cela est effectivement parfois fait, voir par exemple https://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/3853). La modeste décroissance $-6mathrm{dB/octave}$ du $mathrm{sinc}$ nécessite généralement une forme de filtrage pour atténuer davantage les images.

Notez également qu'un générateur d'impulsions imaginaire qui pourrait reproduire physiquement le train d'impulsions utilisé dans l'analyse produirait une quantité infinie d'énergie lors de la reconstruction des images. Cela provoquerait également quelques effets velus, comme le fait qu'un CAN ré-échantillonnant la sortie ne verrait rien, à moins qu'il ne soit parfaitement synchronisé avec le système original (il échantillonnerait surtout entre les impulsions). Cela montre clairement que même si nous ne pouvons pas limiter la bande de sortie exactement, une certaine limitation approximative de la bande est toujours nécessaire pour régulariser l'énergie totale du signal, avant qu'il puisse être converti en une représentation physique.

Pour résumer :

  • dans les deux sens, le maintien d'ordre zéro agit comme une approximation d'une fonction delta, ou de sa forme à bande limitée, la fonction $mathrm{sinc}$.
  • du point de vue du domaine fréquentiel, c'est une approximation du filtre brickwall qui supprime les images, et donc régule la quantité infinie d'énergie présente dans le train d'impulsions idéalisé.

*Cela ressort également de l'analyse dimensionnelle : les unités de la transformée de Fourier d'un signal de tension sont $mathrm{V}mathrm{s} = $rac{mathrm{V}}{mathrm{Hz}}, $ alors que la fonction delta a pour unité $1/mathrm{s}$, ce qui annulerait l'unité de temps provenant de l'intégrale dans la transformée.

Transformée de Fourier :
$$ X(j 2 pi f) = mathscr{F}Big{x(t)Big} triangleq intlimits_{-infty}^{+infty} x(t) e^{-j 2 pi f t} \N- N- texte{d}t $$$

Transformée de Fourier inverse :
$$ x(t) = mathscr{F}^{-1}Big{X(j 2 pi f)Big} = intlimits_{-infty}^{+infty} X(j 2 pi f) e^{j 2 pi f t} \N- N-text{d}f $$$.

Fonction d'impulsion rectangulaire :
$$ operatorname{rect}(u) triangleq begin{cases}
0 & mbox{if } |u| > frac{1}{2}
1 & mbox{if } |u| < frac{1}{2}) end{cases} $$

Fonction "Sinc" ("sinus cardinal") :
$$ operatorname{sinc}(v) triangleq begin{cases}
1 & mbox{if } v = 0
frac{sin(pi v)}{pi v} & mbox{if } v ne 0
end{cases} $$$

Définir la fréquence d'échantillonnage, $ f_text{s} triangleq frac{1}{T} $ comme l'inverse de la période d'échantillonnage $T$.

On notera que :
$$ mathscr{F}Big{c}{c}operatorname{rect}left( tfrac{t}{T} right) Big} = T operatorname{sinc}(fT) = frac{1}{f_text{s}} operatorname{sinc}left( frac{f}{f_text{s}} right)$$$

Peigne de Dirac (alias "fonction d'échantillonnage" alias "fonction de Sha") :

$$ N-operatorname{III}_T(t) N- Triangleq N- Limites_{n=-infty}^{+infty} delta(t - nT) $$$

Le peigne de Dirac est périodique avec une période $T$. Série de Fourier :

$$ operatorname{III}_T(t) = sumlimits_{k=-infty}^{+infty} frac{1}{T} e^{j 2 pi k f_text{s} t} $$

Signal échantillonné en temps continu :

Idéalement un signal échantillonné avec un peigne dirac

$$ begin{align}
x_text{s}(t) & = x(t) cdot left( T cdot operatorname{III}_T(t) right) \
& = x(t) cdot left( T cdot sumlimits_{n=-infty}^{+infty} delta(t - nT) droite)
& = T sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x(t) delta(t - nT)
& = T Nsumlimits_{n=-infty}^{+infty} x(nT) N Ndelta(t - nT) N
& = T sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] \N- delta(t - nT) N
end{align} $$

$ x[n] triangleq x(nT) $.

Cela signifie que $x_text{s}(t)$ est défini uniquement par les échantillons $x[n]$ et la période d'échantillonnage $T$ et perd totalement toute information sur les valeurs de $x(t)$ pour les temps compris entre les instances d'échantillonnage. $x[n]$ est une séquence discrète de nombres et est une sorte de notation abrégée DSP pour.$x_n$. Bien qu'il soit vrai que $x_text{s}(t) = 0$ pour $ nT < t < (n+1)T $, la valeur de $x[n]$ pour tout $n$ qui n'est pas un nombre entier est indéfini.

N.B. : Le signal discret $x[n]$ et tous opérations en temps discret sur celui-ci, comme le $mathcal{Z}$-Transforme, la transformée de Fourier en temps discret (DTFT), la transformée de Fourier discrète (DFT), sont."agnostiques" concernant la fréquence d'échantillonnage ou la période d'échantillonnage. $T$. Une fois que vous êtes dans le temps discret $x[n]$ domaine, vous ne connaissez pas (ou ne vous souciez pas) de $T$. C'est seulement avec le théorème d'échantillonnage et de reconstruction de Nyquist-Shannon que $x[n]$ et $T$ sont assemblés.

La transformée de Fourier de $x_text{s}(t)$ est

$$ begin{align}
X_text{s}(j 2 pi f) triangleq mathscr{F}{ x_text{s}(t) } & = mathscr{F}left{x(t) cdot left( T cdot operatorname{III}_T(t) right) right}
& = mathscr{F}left{x(t) cdot left( T cdot sumlimits_{k=-infty}^{+infty} frac{1}{T} e^{j 2 pi k f_text{s} t} right) right}
& = mathscr{F}left{ sumlimits_{k=-infty}^{+infty} x(t) e^{j 2 pi k f_text{s} t} right}
& = sumlimits_{k=-infty}^{+infty} mathscr{F}left{c} x(t) e^{j 2 pi k f_text{s} t} right}
& = sumlimits_{k=-infty}^{+infty} Xleft(j 2 pi (f - k f_text{s})right)
end{align} $$

Remarque importante concernant la mise à l'échelle : La fonction d'échantillonnage $ T cdot operatorname{III}_T(t) $ et le signal échantillonné $x_text{s}(t)$ a un facteur de $T$ que vous ne verrez pas dans la plupart des manuels. C'est une erreur pédagogique des auteurs de ces de ces manuels pour de multiples raisons (liées) :

  1. Premièrement, le fait de laisser de côté le $T$ modifie la dimension du signal échantillonné $x_text{s}(t)$ à partir de la dimension du signal échantillonné $$x(t)$.
  2. Cela $T$ facteur sera nécessaire quelque part dans la chaîne du signal. Ces manuels qui le laissent en dehors de la fonction d'échantillonnage finissent par le mettre dans la partie reconstruction du théorème d'échantillonnage, généralement comme le gain de bande passante du filtre de reconstruction. Ce est dimensionnellement confus. Quelqu'un pourrait raisonnablement demander : "Comment puis-je concevoir un filtre passe-bas de type brickwall avec un gain passe-bande de $T$?"
  3. Comme nous le verrons plus loin, le fait de laisser la valeur $T$ out ici entraîne une erreur d'échelle similaire pour la fonction de transfert nette et la réponse en fréquence nette du maintien d'ordre zéro (ZOH). Tous les manuels sur les systèmes de commande numériques (et hybrides) que j'ai vus font cette erreur et c'est une erreur pédagogique grave.

Notez que la DTFT de $x[n]$ et la transformée de Fourier du signal échantillonné $x_text{s}(t)$ sont, avec une mise à l'échelle appropriée, pratiquement identiques :

DTFT :
$$ begin{align}
X_mathsf{DTFT}(omega) & triangleq mathcal{Z}{x}[n]} Bigg|_{z=e^{jomega}}
& = X_mathcal{Z}(e^{jomega})
& = sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] N- e^{-j omega n}
end{align} $$

On peut montrer que

$$ X_mathsf{DTFT}(omega) = X_mathcal{Z}(e^{jomega}) = frac{1}{T} X_text{s}(j 2 pi f)Bigg|_{f=frac{omega}{2 pi T}} $$


Les mathématiques ci-dessus sont vraies si $$x(t)$ soit "correctement échantillonné" ou non. $x(t)$ est "correctement échantillonné" si $x(t)$ peut être entièrement récupéré à partir des échantillons $x[n]$ et de la connaissance du taux d'échantillonnage ou de la période d'échantillonnage. Le théorème d'échantillonnage nous indique ce qui est nécessaire pour récupérer ou reconstruire $x(t)$ à partir de $x[n]$ et $T$.

Si $x(t)$ est limité à une certaine limite de bande $B$ ce qui signifie

$$ X(j 2 pi f) = 0 quad quad text{for all} quad |f| > B $$

spectre limité en bande

Considérons le spectre du signal échantillonné constitué d'images décalées de l'original :

$$ X_text{s}(j 2 pi f) = sumlimits_{k=-infty}^{+infty} Xleft(j 2 pi (f - k f_text{s})right) $$$

Le spectre original $X(j 2 pi f)$ peut être récupéré à partir du spectre échantillonné $X_text{s}(j 2 pi f)$ si aucune des images décalées $Xleft(j 2 pi (f - k f_text{s})right)$ chevauchent leurs voisins adjacents. Cela signifie que le bord droit de la $k$-ème image (qui est $Xleft(j 2 pi (f - k f_text{s})right)$) doit être entièrement à gauche du bord gauche de la ($k+1$)-ième image (qui est $Xleft(j 2 pi (f - (k+1) f_text{s})right)$.). Reformulé mathématiquement,

$$ k f_text{s} + B < (k+1) f_text{s} - B $$

ce qui est équivalent à

$$ f_text{s} > 2B $$

Si nous échantillonnons à un taux d'échantillonnage qui dépasse le double de la bande passante, aucune des images ne se chevauche, le spectre original, $X(j 2 pi f)$ , qui est l'image où $k=0$ peut être extraite de $X_text{s}(j 2 pi f)$ avec un filtre passe-bas de type brickwall qui conserve l'image originale (où $k=0$) non mise à l'échelle et rejette toutes les autres images. Cela signifie qu'il multiplie l'image originale par 1 et multiplie toutes les autres images par 0.

$$ begin{align}
X(j 2 pi f) & = operatorname{rect}left( frac{f}{f_text{s}} right) cdot X_text{s}(j 2 pi f)
& = H(j 2 pi f) X_text{s}(j 2 pi f)
end{align} $$

filtre de reconstruction

Le filtre de reconstruction est

$$ H(j 2 pi f) = operatorname{rect}left( frac{f}{f_text{s}} right) $$

et a une réponse impulsionnelle acausale :

$$ h(t) = mathscr{F}^{-1} {H(j 2 pi f)} = f_text{s} operatorname{sinc}(f_text{s}t) $$

Cette opération de filtrage, exprimée comme une multiplication dans le domaine fréquentiel est équivalente à une convolution dans le domaine temporel :

$$ begin{align}
x(t) & = h(t) circledast x_text{s}(t)
& = h(t) circledast T sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] \N- delta(t-nT) N
& = T sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] (h(t) circledast delta(t-nT) )
& = T sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] h(t-nT) )
& = T sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] N- gauche(f_text{s} N-operatorname{sinc}(f_text{s}(t-nT)) right)
& = sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] N-operatorname{sinc}(f_text{s}(t-nT))
& = sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] N-operatorname{sinc}N- gauche( frac{t-nT}{T}N- droite) N- droite)
end{align} $$

Cela explique explicitement comment l'original $x(t)$ est reconstruit à partir des échantillons $x[n]$ et de la connaissance de la fréquence d'échantillonnage ou de la période d'échantillonnage.


Ainsi, ce qui sort d'un convertisseur numérique-analogique (CNA) pratique n'est ni.

$$ sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] N- N- nom de l'opérateur{sinc}N- gauche ( frac{t-nT}{T}N- droite) $$$

qui ne nécessite aucun traitement supplémentaire pour retrouver $$x(t)$ ni

$$ x_text{s}(t) = sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] N- T N- delta(t-nT) $$$

qui, avec un FPL idéal de type brickwall, récupère $x(t)$ en isolant et en conservant l'image de bande de base et en rejetant toutes les autres images.

Sortie DAC

Ce qui sort d'un CNA conventionnel, si aucun traitement ou mise à l'échelle n'est effectué sur le signal numérisé, est la valeur.$x[n]$ maintenue à une valeur constante jusqu'à ce que le prochain échantillon doive être sorti. Il en résulte une fonction à constance par morceaux :

$$ x_text{DAC}(t) = sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] N-operatorname{rect}left(frac{t-nT - frac{T}{2}}{T} right) $$$

Notez le retard de $frac{1}{2}$ période d'échantillonnage appliquée à la $N-operatorname{rect}(cdot)$ fonction. Cela la rend causale. Cela signifie simplement que

$$ x_text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) quad quad text{when} quad nT le t < (n+1)T $$

Enoncé différemment

$$ x_text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) quad quad text{for} quad n = operatorname{floor}left( frac{t}{T} right)$$

$N-operatorname{floor}(u) = lfloor u rfloor$ est la fonction plancher, définie comme étant le plus grand nombre entier ne dépassant pas $u$.

Cette sortie du CNA est directement modélisée comme un système linéaire invariant dans le temps (LTI) ou un filtre qui accepte le signal idéalement échantillonné. $x_text{s}(t)$ et pour chaque impulsion dans le signal idéalement échantillonné, sort cette réponse impulsionnelle :

$$ h_text{ZOH}(t) = frac{1}{T} operatorname{rect}left(frac{t - frac{T}{2}}{T} right) $$$

En branchant pour vérifier ceci.

$$ begin{align}
x_text{DAC}(t) & = h_text{ZOH}(t) circledast x_text{s}(t)
& = h_text{ZOH}(t) circledast T sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] \N- delta(t-nT) N
& = T sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] (h_text{ZOH}(t) circledast delta(t-nT) )
& = T sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] \N- h_text{ZOH}(t-nT))
& = T sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] Frac{1}{T} operatorname{rect}left(frac{t - nT - frac{T}{2}}{T} right) \
& = sumlimits_{n=-infty}^{+infty} x[n] N-operatorname{rect}N-ft(frac{t - nT - frac{T}{2}}{T} Retour) N
end{align} $$

La sortie du DAC $x_text{DAC}(t)$ , comme la sortie d'un système LTI avec réponse impulsionnelle $h_text{ZOH}(t)$ est en accord avec la construction constante par morceaux ci-dessus. Et l'entrée de ce système LTI est le signal échantillonné $x_text{s}(t)$ judicieusement mis à l'échelle pour que l'image en bande de base de $x_text{s}(t)$ soit exactement la même que le spectre du signal original échantillonné. $x(t)$. C'est-à-dire

$$ X(j 2 pi f) = X_text{s}(j 2 pi f) quad quad text{for} quad -frac{f_text{s}}{2} < f < +frac{f_text{s}}{2} $$$

Le spectre du signal original est le même que le spectre échantillonné, mais avec toutes les images, qui étaient apparues à cause de l'échantillonnage, écartées.

La fonction de transfert de ce système LTI, que nous appelons le Maintien d'ordre zéro (ZOH), est la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle :

$$ begin{align}
H_text{ZOH}(s) & = mathscr{L} {h_text{ZOH}(t) }
& triangleq intlimits_{-infty}^{+infty} h_text{ZOH}(t) e^{-s t} N- N- N- N- N- N- t
& = intlimits_{-infty}^{+infty} frac{1}{T} operatorname{rect}left(frac{t - frac{T}{2}}{T} right) e^{-s t}
& = intlimits_0^T frac{1}{T} N- e^{-s t} \N- N- N- Texture{d}t N
& = frac{1}{T} quad frac{1}{-s}e^{-s t}Bigg|_0^T
& = frac{1-e^{-sT}}{sT}
end{align}$$

La réponse en fréquence est obtenue en substituant $ j 2 pi f rightarrow s $

$$ begin{align}
H_text{ZOH}(j 2 pi f) & = frac{1-e^{-j2pi fT}}{j2pi fT}
& = e^{-jpi fT} frac{e^{jpi fT}-e^{-jpi fT}}{j2pi fT}
& = e^{-jpi fT} frac{sin(pi fT)}{pi fT}
& = e^{-jpi fT} N- nom de l'opérateur{sinc}(fT) N
& = e^{-jpi fT} N-operatorname{sinc}N- left(frac{f}{f_text{s}}N-right) N-
end{align}$$

Ceci indique un filtre de phase linéaire avec un retard constant d'une demi-période d'échantillon, $frac{T}{2}$ et avec un gain qui décroît avec la fréquence $f$ augmente. Il s'agit d'un léger effet de filtre passe-bas. En courant continu, $f=0$ le gain est de 0 dB et à Nyquist, $f=frac{f_text{s}}{2}$ le gain est de -3,9224 dB. L'image en bande de base voit donc certaines composantes de haute fréquence un peu réduites.

Comme pour le signal échantillonné $x_text{s}(t)$ , il existe des images dans le signal échantillonné $x_text{DAC}(t)$ à des multiples entiers de la fréquence d'échantillonnage, mais ces images sont significativement réduites en amplitude (par rapport à l'image en bande de base) car $|H_{ZOH}(j 2 pi f)|$ passe par zéro lorsque $f = kcdot f_text{s}$ pour un nombre entier $k$ qui n'est pas 0, qui est juste au milieu de ces images.

En conclusion :

  1. Le Zero-order hold (ZOH) est un modèle linéaire invariant dans le temps de la reconstruction du signal effectuée par un convertisseur numérique-analogique (CNA) pratique qui maintient la sortie constante à la valeur de l'échantillon, $x[n]$, jusqu'à ce qu'elle soit mise à jour par l'échantillon suivant $x[n+1]$.

  2. Contrairement à l'idée reçue, la ZOH a.rien à voir avec le circuit d'échantillonnage et de maintien (S/H) que l'on peut trouver avant un convertisseur analogique-numérique (CAN). Tant que le CNA maintient la sortie à une valeur constante sur chaque période d'échantillonnage, peu importe que le CNA ait un S/H ou non, l'effet ZOH demeure. Si le DAC sort quelque chose autre que la sortie constante par morceaux (telle qu'une séquence d'impulsions étroites destinées à se rapprocher des impulsions de Dirac) représentée ci-dessus comme suit . $x_text{DAC}(t)$ , alors l'effet ZOH est pas présent (quelque chose d'autre l'est, à la place), qu'il y ait ou non un circuit S/H précédant l'ADC.

  3. La fonction de transfert nette du ZOH est $$ H_text{ZOH}(s) = frac{1-e^{-sT}}{sT} $$ et la réponse en fréquence nette du ZOH est $$ H_text{ZOH}(j 2 pi f) = e^{-jpi fT} N-operatorname{sinc}(fT) $$$ De nombreux manuels laissent de côté le $T$ facteur au dénominateur de la fonction de transfert et c'est une erreur.

  4. Le ZOH réduit les images du signal échantillonné $x_text{s}(t)$ de manière significative, mais ne les élimine pas. Pour éliminer les images, il faut un bon filtre passe-bas comme précédemment. Les FPL de type brickwall sont une idéalisation. Un LPF pratique peut également atténuer l'image de la bande de base (que nous voulons conserver) à des fréquences élevées, et cette atténuation doit être prise en compte comme avec l'atténuation qui résulte du ZOH (qui est une atténuation de moins de 3,9224 dB). Le ZOH retarde également le signal d'une demi-période d'échantillonnage, ce qui peut devoir être pris en compte (avec le retard du LPF anti-image), en particulier si le ZOH est dans une boucle de rétroaction.

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