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Qu'est-ce qu'une représentation de Weil-Deligne tamisée ?

Nos développeurs vedettes ont épuisé leurs réserves de café, cherchant nuit et jour la réponse, jusqu'à ce qu'Alexia trouve le résultat sur Gitea. Aujourd'hui, nous le partageons ici.

Solution :

$defR{mathbf{R}}$$defZ{mathbf{Z}}$$defQ{mathbf{Q}}$$defQbar{overline{Q}}$$defF{mathbf{F}}$$defGL{mathrm{GL}}$$defGal{mathrm{Gal}}$
Voici quelques réflexions sur votre question de la part d'un théoricien des nombres. Tout d'abord, je pense que la seule réponse sensée
réponse à votre question est que votre supposition naïve est la bonne, à savoir, qu'une représentation de Weil-Deligne faiblement ramifiée
est une représentation pour laquelle le groupe d'inertie sauvage $I_{>0}$ agit trivialement. Mais laissez-moi profiter de l'occasion
pour donner une réponse plus étendue qui touche à quelques autres concepts. Cette discussion se fera au niveau du dessin animé
mais cela peut encore être utile à certains. Fixons les idées et parlons toujours du
cas de $G = GL_n(Q_p)$. Soit rho$ est une représentation de Weil-Deligne et soit <> la représentation correspondante
associée à $rho$ par les Langlands locaux. Les trois choses suivantes sont alors équivalentes :

  1. La représentation de Weil-Deligne est triviale sur le groupe d'inertie entier.
  2. $pi$ a un vecteur fixe Iwahori.
  3. Le vecteur fixe correspondant $l$-correspondantes pour $l ne p$ sont unipotentes sur l'inertie.

Avec cela de côté :

Je n'utiliserais certainement jamais "tamely-ramified" que pour désigner la condition plus faible que l'image de l'inertie sauvage soit triviale, exactement comme vous l'avez supposé.

Un exemple vraiment basique à garder en tête est le cas des personnages. Nous avons $GL_1(Q_p) = Q^{times}_p$.
Soit $chi$ est un caractère (continu) de $Q^{times}_p$. Spécialisons les conditions ci-dessus dans ce cas. On obtient

  1. La représentation de Weil-Deligne est triviale sur le groupe d'inertie entier.
  2. $pi$ a un vecteur fixe sous Z^{times}_p Nsous-ensemble Q^{times}_p$.
  3. L'ensemble correspondant $l$-sont des représentations adiques pour $l ne p$ sont triviales (de manière équivalente en dimension unipotente) sur l'inertie.

Ce qui est bien dans le cas $n = 1$ est que la correspondance locale de Langlands est très transparente, à savoir qu'elle est donnée par la théorie locale des champs de classe. Pour rappeler (brièvement) ce que la théorie des champs de classe dit (dans une formulation), elle donne une carte canonique.

$$Q^{times}_p hookrightarrow Gal(Qbar_p/Q_p)^{mathrm{ab}}$$

avec une image dense. En effet, l'image est précisément l'image du groupe de Weil, et l'image de.$Z^{times}_p$$. est l'image de la partie inertielle
partie du groupe de Weil. Il s'ensuit que le groupe d'inertie sauvage s'applique au pro-$p$ partie de $Z^{times}_p$ qui est $1 + p Z_p$.
Un caractère (galois) de $Gal(Qbar_p/Q_p)$ donne canoniquement (par restriction) un caractère de $Q^{times}_p$.
On voudrait certainement permettre à un caractère galois "tamely-ramifié" d'être tamely ramifié, donc (en dimension un) on obtient les équivalences suivantes :

  1. La représentation de Weil-Deligne est triviale sur $1 + p Z_p sous-ensemble Q^{times}_p$,
  2. Pi$ a un vecteur fixe sous $1 + p Z_p$.
  3. Le vecteur correspondant $l$-adiques correspondantes sont dignement ramifiées sur l'inertie.

Honnêtement, je n'ai trouvé que très peu d'articles dans la littérature dans lesquels "tamely ramified" était impliqué pour avoir le sens (1), (2) ou (3). Je pense qu'ils étaient simplement dans l'erreur.
Voici quelques spéculations sur la façon dont ils pourraient être confondus. Tout d'abord, l'extension maximale tamely ramifiée d'un champ local a un groupe de Galois particulièrement simple.
A savoir, il est donné par (la complétion profinie de) le groupe

Gamma : langle tau, sigma | sigma tau sigma^{-1} = tau^q rangle, $$$

sigma$ est Frobenius, $tau$ est un générateur (pro-fini) d'inertie apprivoisée, et $q$ est l'ordre du champ de résidus (donc $q$ = p$ pour $Q_p$).
Dans les caractéristiques $l ne p$, unipotent implique pro-$l$ implique dompté, et donc unipotent implique dompté ramifié.
Comparons maintenant la condition 3 ci-dessus avec une nouvelle condition 4.

  1. La condition correspondante $l$-sont des représentations adiques pour $l ne p$ sont unipotentes sur l'inertie, c'est-à-dire qu'elles sont des représentations de $Gal(Qbar_p/Q_p)$ qui se factorisent par $Gamma$ et qui donnent donc lieu à des matrices $T$ et $F$ satisfaisant $FTF^{-1} = T^q$ et où $T$ est unipotent.

  2. Le correspondant $l$-sont des représentations adiques pour $l ne p$ sont faiblement ramifiées, c'est-à-dire qu'elles sont des représentations de $Gal(Qbar_p/Q_p)$ qui se factorisent par $Gamma$ et qui donnent lieu à des
    matrices $T$ et $F$ satisfaisant $FTF^{-1} = T^q$.

L'une des raisons pour lesquelles elles se ressemblent beaucoup est que la condition que $T$ est conjuguée à $T^q$presque On dirait que cela devrait impliquer que $T$ est unipotent, ou de manière équivalente que les valeurs propres (généralisées) de $T$ sont toutes $1$. Mais ce n'est pas tout à fait vrai, cela ne force pas les valeurs propres à satisfaire $lambda = 1$ mais seulement $lambda^{q-1}= 1$ et donc
seulement $q-1$ e racines de l'unité. (Correction : comme le souligne Will Sawin, cela devrait être $lambda^{q^k - 1} = 1$ pour quelques $k le n$. En effet, dans le cas supercuspide, on peut obtenir une primitive $(q^n-1)$ e racines d'unité). Donc 3 et 4 sont assez similaires, mais 4 donne une condition plus relaxée
et est la définition "correcte" de ramifié de manière apprivoisée.

Alors maintenant, revenons à votre question suivante (légèrement modifiée) :

Pourquoi [.] se traduit par le fait d'avoir un vecteur fixe Iwahori ? A quoi correspondent les représentations tamely ramifiées ?

OK, donc répondre au "pourquoi" aux questions de Langlands est toujours délicat. (Qu'est-ce que Langlands ? Une vaste généralisation de la théorie des champs de classe. Qu'est-ce que la théorie des champs de classe ? Une vaste généralisation de la réciprocité quadratique. Qu'est-ce que la réciprocité quadratique ? PERSONNE NE LE SAIT.) Mais laissez-moi tenter de répondre à votre question par un chemin quelque peu détourné. Je veux commencer par parler des conducteurs. (En fait, je ne vais pas dire grand-chose d'intéressant sur les conducteurs, mais je vais commencer de cette façon). Si vous êtes un étudiant diplômé en théorie des nombres, tôt ou tard vous allez lire
sur la modularité des courbes elliptiques. Et pour comprendre l'énoncé, il y a un invariant mystérieux.$N$ associé à une courbe elliptique $E/Q$.
À première vue, il fait quelque chose de raisonnable pour mesurer la mauvaise réduction de.$E$: si $p |N$, alors $E$ (ou un modèle convenablement bon) a une mauvaise réduction à $p$.
Et on a l'impression que la puissance de $p$ divisant $N$ mesure "à quel point" la réduction est vraiment mauvaise d'une manière contrôlable pour $p > 3$. Et ensuite pour $p = 3$ ou $p = 2$ tout devient fou, mais c'est OK parce qu'un gars appelé Tate a trouvé un algorithme et.$texttt{gp}$ peut le calculer pour vous. Mais si vous essayez d'y réfléchir, ça n'a aucun sens. Alors vous devez croire la même chose $N$ se retrouve au niveau de la forme modulaire, et c'est encore plus confus.
Afin de commencer à comprendre, il est essentiel de prendre du recul et de réfléchir au cas de $GL(1)$.
Dans ce cas, nous avons un caractère $chi$ que nous pouvons considérer comme un caractère de $mathbf{Q}^{times}_p$.
Et ce que la théorie des champs de classe nous dit est que le comportement de ramification de $chi$ est enveloppé dans la restriction de $chi$ à $Z^{times}_p$.
Les côtés "automorphe" et "galois" sont presque littéralement les mêmes ici, mais laissez-moi quand même essayer de les distinguer. Nous pouvons maintenant définir le conducteur comme suit :

  1. Le conducteur automorphe de $chi$ est le plus petit $p^n$ telle que $chi$ a un invariant sous le sous-groupe $1 + p^n Z_p$.

  2. Le conducteur de Galois de $chi$ est le plus petit $p^n$ telle que $chi$ est trivial sur $1 + p^n Z_p$.

Bien sûr, ce sont clairement les mêmes. Mais même si je ne l'ai pas vraiment dit ici, ce qui est important dans la théorie des champs de classe est que la filtration de $Z^{times}_p$
par $1+p^n Z_p$ est intimement liée aux filtrations d'inertie sur les groupes de Galois. Le cas particulier que $1+p Z_p$ correspond à $I_{>0}$ est clair,
mais les autres sont plus subtiles. Ainsi, ici, l'"égalité" des conducteurs provenant de "Langlands locaux pour.$GL(1)$" exprime quelque chose d'assez
profond dans la théorie des champs de la classe. Pour donner au moins un exemple concret, il existe le Führerdiskriminantenproduktformel de Hasse qui
exprime le discriminant du champ fixe cyclique correspondant
champ fixe cyclique correspondant en termes de conducteurs des puissances non triviales de $chi$. L'étude des relations de cette saveur a été en fait la clé de la formulation par Artin
de ses diverses lois de réciprocité et la reconnaissance de la manière correcte de définir.$L$-fonctions. Je pense que Noah Snyder a écrit une intéressante thèse de premier cycle
sur ce sujet une fois. Bref, je m'éloigne un peu de mon sujet principal. Pour en revenir au sujet, l'élément clé de cet exemple qui se généralise est que les
deux choses sont intimement liées :

  1. La restriction de la représentation de Weil--Deligne. $rho$ à l'inertie.
  2. La restriction de $pi$ en tant que N- N- N- n(N- N- p)$ représentation à $GL_n(Z_p)$.

Il y a (une sorte de) contraire à cela, en ce sens que lorsque $pi$ est sphérique (nonramifié), alors il est déterminé
par les opérateurs de Hecke à $p$ et les opérateurs de Hecke classiques en $p$ proviennent des actions appropriées de matrices diagonales avec des puissances
de $p$ qui sont (dans un sens non technique) ``orthogonales'' à la copie de $GL_n(Z_p)$. (Attention, cette remarque est très vague).
Bien sûr, cette connexion est beaucoup plus profonde lorsque $n > 1$ que lorsque $n = 1$. Par exemple, lorsque $n > 1$ alors $pi$
est de dimension infinie, et donc sa restriction à ``Gl_n(Z_p)$''. se décompose en une infinité de représentations différentes.
(chacune avec une multiplicité finie par admissibilité). Voici, je pense, une réponse raisonnable à votre question :

Revendication :$rho$ est tamely ramifié si et seulement si ${pi$} a un vecteur invariant sous la $p$ sous-groupe de congruence K(p)$
de L'idée générale à retenir est que l'image de l'inertie en $rho$ est déterminée par la restriction de $pi$ à K = GL_n(Z_p)$.

Bien sûr, je ne peux pas vraiment prouver cela car cela nécessite (au moins) la correspondance locale de Langlands elle-même. Mais parlons de quelques exemples,
même pour le cas où $n = 2$ parce que vous voyez la plupart des phénomènes dans ce cas. En fait, pour beaucoup de personnes, la première chose à faire est
juste de comprendre l'énoncé de Langlands local pour $n = 2$ et $p > 2$ en comprenant simplement les objets des deux côtés.
Kevin Buzzard a écrit une excellente note à ce sujet
ici : http://wwwf.imperial.ac.uk/~buzzard/maths/research/notes/old_introductory_notes_on_local_langlands.pdf
et il a même donné un cours de 20 conférences :

Pour en parler, je suppose qu'il faut dire un peu ce que les représentations.$pi$ sont réellement.
Pour $n = 2$, il existe deux types de construction de base : l'induction (parabolique) à partir de l'ensemble de Borel. $B$ de N- N- 2(N- Q_p)$,
et induction (compacte) à partir des représentations de la compacte maximale K = GL_2(Z_p)$. (Je n'essaierai même pas de suivre les normalisations que je trouve toujours confuses). Dénotons également par $I$ le sous-groupe Iwahori de $K$ et par $P$ le pro- $p$ Iwahori (l'image inverse dans $K$ du sous-groupe unipotent le Borel de ``Gl_2(``F_p)$), et par $K(p)$ le sous-groupe de congruence complet de $K$.

Séries principales tamely ramifiées : Soit $chi_1$, {a6}{{i1}- 1}- 2} sont une paire de caractères admissibles tamely ramifiés de $Q^{{times}_p$$.,
que l'on peut considérer comme un caractère du tore $T$ et donc le caractère de Borel $B$ et laissons $Pi$ soit
la représentation en série principale correspondante, qui est en gros l'induction de $B$ jusqu'à $G$ du caractère correspondant de $B$.
Convenablement défini, $Pi$ possède des invariants sous la pro- $p$-Sous-groupe Iwahori $P$ de $K$. Notez que $P$ est normalisé par $I$ et donc $pi^{P}$ a une action de $I/P$.
Mais $I/P$ n'est rien d'autre que $(F^{times}_p)^2$ et ceci agit sur $pi^{P}$.
L'hypothèse selon laquelle $chi_i$ sont apprivoisés signifie que leur restriction à $Z^{times}_p$ donne des caractères sur $F^{times}_p$,
et donc la paire donne naturellement un caractère de $I/P$.
Si $pi$ est irréductible (comme ce sera le cas la plupart du temps) alors ${pi^{P}} est $1$-dimensionnelle et $I/P$ agit exactement par ce caractère.
Donc $P$ n'a jamais d'invariants sous l'Iwahori, à moins que les $chi_i$ soient toutes deux unramifiées. Dans ce cas, on parle soit simplement d'une série principale unramifiée, soit d'une torsion (éventuellement unramifiée) de la représentation de Steinberg, qui ont des invariants sous.$K$ et $I$ respectivement.

Supercuspidales (faiblement ramifiées) : Si nous voulons quelque chose avec K(p)$-invariants, nous pouvons prendre une représentation $tau$ de $K/K(p) = GL_2(F_p)$
et prendre l'induction compacte de $K$ jusqu'à $G$. Si vous prenez $tau$ pour être induit d'un Borel alors vous obtenez à nouveau un ${pi$} qui possède des invariants sous
le pro-p Iwahori. Mais si on prend $tau$ pour être l'une des représentations "exotiques" de dimension $p - 1$ alors $tau$ s'avère ne pas avoir de $P$-vecteurs invariants.
Les inductions compactes dans ces cas se révèlent maintenant irréductibles. Comparons $pi$ du côté de l'automorphisme avec le côté de Weil-Deligne.
de Weil-Deligne. Du côté automorphe, je pense toujours à.$tau$ comme "presque" construit de la manière suivante : prenez un caractère $psi$ de la
non divisé Cartan (qui est isomorphe à ${F^{{{times}_{p^2}}$
), et on prend l'induction pour Bien sûr, ce n'est pas tout à fait correct, parce que l'induction de quelque chose à partir du Cartan non scindé n'est pas irréductible, mais cela permet au moins de
voit $tau$ et d'autres représentations similaires. En tout cas, ce côté automorphe est lié à l'induction d'un caractère ${psi$} de $F^{times}_{p^2}$. Mais maintenant, le côté Weil-Deligne est très similaire --- la représentation est exactement induite à partir d'un caractère tamely ramifié.
caractère ( $psi$ ) de l'extension quadratique non ramifiée de $Q_p$. Mais, par la théorie des champs de classe, sur l'inertie $psi$ est tamely ramifié et donc le même qu'un caractère de
les unités du champ de résidus $k^{times} = F^{times}_{p^2}$.

Ces exemples épuisent en fait tous les $pi$ qui sont faiblement ramifiés. Même pour $mathrm{GL}_n(Q_p)$ la situation est similaire. Il y a des représentations construites à partir de plus petits sous-groupes de Levi, et il y a les supercuspidaux. Mais au moins les supercuspidales apprivoisées sont "faciles" en ce que nous savons du côté de Weil-Deligne qu'elles devraient être irréductibles (et tamely ramifiées) et donc induites à partir d'un degré cyclique non ramifié. $n$ extension de $mathbf{Q}_p$.(Les supercuspidaux ont été construits par Howe - la construction requiert qu'au moins un comprend les irréductibles de $mathrm{GL}_n(mathbf{F}_p)$. ) Et du côté des automorphes, ils peuvent être construits à partir d'inductions compactes de représentations "connues" de. $mathrm{GL}_n(mathbf{F}_p)$.

Retour aux conducteurs :
On peut deviner que le conducteur de est donné par le minimal $p^n$ telle que $pi$
a un vecteur invariant sous Mais en fait, ce n'est pas tout à fait correct --- le conducteur automorphe est le minimal $p^n$ tel que $pi$ a un vecteur invariant sous
le groupe Gamma_1(p^n)$. Dans le cas de la représentation en série principale ramifiée, le conducteur est donc $p^2$
si $chi_i$ sont tous deux ramifiés et $p$ si exactement un des $chi$ est ramifié. En particulier, $pi$
aura une torsion de conducteur $p$. De même, en prenant des séries principales ramifiées qui peuvent maintenant être sauvagement ramifiées, leur construction explicite montre que le conducteur
au sens automorphe est le produit (ou la somme si on prend l'exposant) des conducteurs de $chi_1$
et de $chi_2$. Et de même, le conducteur du côté "galois" est le même.
D'autre part,
les supercuspidaux ramifiés ont un conducteur $p^2$ et toutes leurs torsions ont pour conducteur $p^2$. En particulier, ils n'ont pas de
vecteurs invariants sous le pro- $p$ Sous-groupe Iwahori $P$(ceci peut être vérifié plus directement). Du côté galois,
la représentation est faiblement ramifiée mais irréductible, donc elle a également un conducteur $p^2$.

La réponse de Lycurgue est excellente. Voici quelques divagations pour ceux qui sont encore confus par la terminologie.

Weil-Deligne vs. <> -Représentations adiques
Soit $pi$ est un continu $ell$ -représentation adique de $W=W_F$. Alors $pi$ est dit nonramifié s'il est trivial sur l'inertie. $I$. Elle est tamely ramifiée avec monodromie unipotente si elle est triviale sur $I^+=I^{>0}$. et $I$ agit de manière unipotente. (Notez que certaines personnes supposent la monodromie unipotente mais ne le disent pas explicitement et se réfèrent simplement à ceux-ci comme étant apprivoisés. C'est une mauvaise habitude mais tellement ancrée maintenant que je ne suis pas sûr qu'il y ait quelque chose à faire à ce sujet).

Rappelons maintenant le théorème de Grothendieck : si $pi$ est un continu $ell$ -adique du groupe de Galois, alors un sous-groupe ouvert de $I$ agit de manière unipotente. Deligne a codé cette partie unipotente dans la représentation de $N$ de la représentation de Weil-Deligne correspondante. Ainsi, si $pi$ est unramifié, alors $N$ est trivial car $I$ agit trivialement. D'autre part, si $pi$ est tamely ramifié avec une monodromie unipotente, alors l'action entière de $I$ est codée dans $N$.

Il en résulte qu'une représentation de Weil-Deligne $rho$ de $W$ est unramifié s'il est trivial sur $I$ et en plus $N$ agit trivialement. D'autre part, $rho$ est tamely ramifié avec une monodromie unipotente si elle est triviale sur $I$ (mais aucune condition sur $N$).

Représentations avec vecteurs fixes Iwahori
Concernant maintenant la deuxième question : tout d'abord, pourquoi les représentations galoisiennes non bramifiées seraient-elles en bijection avec les représentations irréductibles lisses avec.$G(mathcal{O})$. vecteur fixe ? Cela se résume à l'isomorphisme de Satake. En d'autres termes, les isomorphismes de Satake établissent la correspondance non tramée de Langlands. Après que cela ait été souligné par Langlands, il était naturel d'essayer de pousser un peu plus loin. Du côté galois, compte tenu du théorème de Grothendieck, il est naturel de considérer la condition d'apprivoisement mentionnée ci-dessus. La question devient alors de savoir à quoi doit correspondre, du côté automorphe, une représentation galoisienne apprivoisée avec monodromie unipotente.

Notons que lors de la comparaison d'une représentation apprivoisée + unipotente par rapport à une représentation non tramée, la seule différence est l'ajout d'un certain bloc de Jordan nilpotent. Maintenant, du côté automorphe, Borel a remarqué que (grosso modo) les représentations lisses irréductibles avec vecteurs fixes d'Iwahori peuvent être construites par induction de Borel de caractères unramifiés et qu'il existe une partition classant quel type de représentation on obtient (cette partition provient du choix du caractère.$(chi_1,cdots, chi_n)$ du tore ; par exemple, si tous les caractères $chi_i$ sont égaux, on obtient la partition (n), qui correspond à l'élément principal unipotent. La représentation lisse résultante est appelée représentation de Steinberg).

Compte tenu de l'histoire ci-dessus, il était naturel de deviner que les représentations galoisiennes tamely ramifiées avec monodromie unipotente devraient correspondre à des représentations lisses irréductibles avec vecteurs fixes d'Iwahori. Je pense que ce qui était surprenant, c'est que pour que les choses fonctionnent, il fallait en fait ajouter des représentations d'un certain groupe fini, c'est-à-dire la correction de Lusztig à la conjecture de Deligne-Langlands. (Peut-être pouvez-vous nous expliquer pourquoi cette correction n'est pas surprenante. Je suppose qu'il y a une explication à partir du travail de Lusztig sur la théorie des représentations des groupes finis). Aujourd'hui, on sait que cette correction finie fait partie de l'histoire des paquets L.

Monodromie apprivoisée mais non unipotente.
Enfin, il existe des variantes si on relâche un peu les conditions. Ainsi par exemple, au lieu d'un vecteur fixe d'Iwahori, supposons que nous ayons un vecteur monodromique d'Iwahori, c'est-à-dire un vecteur.$v$ tel que x(v)=chi(x)v$ pour tout $x$ dans l'Iwahori, où $chi$ est un caractère de l'Iwahori. Il existe alors une version de l'histoire de Kazhdan-Lusztig dans ce cadre (comme l'a noté Bezrukavnikov dans son article de l'IHES). Je ne suis pas sûr de savoir comment décrire les représentations galoisiennes correspondantes. La monodromie n'est plus unipotente, alors quelle est la bonne condition ?

Notez que ce vecteur monodromique Iwahori est en fait fixe sous le radical pro-unipotent de l'Iwahori. Maintenant nous pouvons relaxer encore plus notre condition et exiger que nous ayons un vecteur fixe sous le radical pro-unipotent d'une certaine parahorie. (Lycurgue appelle cela pro-p Iwahori). Alors, du côté galois, nous obtenons une $ell$ -adique triviale sur $I^+$ (et aucune autre condition). C'est la correspondance locale de Langlands de profondeur zéro, énoncée pour $mathrm{GL}_n$. dans la réponse de Lycurgue.

Il s'agit plutôt d'un commentaire étendu. Si je comprends bien la question, je ne crois pas qu'il soit correct de dire que les représentations galoisiennes tamely ramifiées avec monodromie unipotente correspondent précisément aux représentations avec vecteur fixe d'Iwahori, en dehors de disons.$GL_n$-- il me semble qu'on ne peut pas caractériser les représentants avec un vecteur fixe d'Iwahori en termes de seulement leur paramètre de Langlands.

[Edit: More precisely, there are strictly more unipotent tamely ramified representations than reps with an Iwahori-fixed vector. This is precisely analogous to the situation with Chevalley groups: there are more representations which are unipotent in the Deligne-Lusztig sense, i.e. are attached the trivial semisimple conjugacy class in the dual group, than there are unipotent principal series, i.e., reps with a Borel-fixed vector. This is accounted for by Lusztig's generalized Springer correspondence -- geometrically, it's the statement that not all equivariant perverse sheaves on the nilpotent cone are generated by the Springer sheaf, outside of $GL_n$.]

Le résultat de Kazhdan-Lusztig identifie les représentations avec vecteur fixe d'Iwahori comme ayant un paramètre de Langlands unipotent - c'est à dire des paires q-commutantes d'un semisimple et nilpotent dans le groupe dual. Cependant, les représentations ne sont pas classées par leur paramètre de Langlands - il faut plutôt les considérer comme des gerbes appropriées sur une pile de paramètres de Langlands, et il faut identifier l'action du stabilisateur (c'est-à-dire le paquet L). (Je pense qu'il s'agit d'une forme moderne de correspondance locale de Langlands, où l'on cherche à identifier les catégories de représentants de groupes sur des champs locaux comme ou à l'intérieur de catégories appropriées de réassemblages sur des piles de paramètres de Langlands). Kazhdan-Lusztig disent que nous n'obtenons que CERTAINS des objets dans les paquets L correspondants : les représentations des stabilisateurs qui apparaissent sont seulement celles qui prennent part à une forme de la correspondance de Springer. Cela a à voir avec l'existence de systèmes locaux cuspidaux sur Levis (comme dans la correspondance de Springer généralisée) et est donc invisible pour les objets suivants $GL_n$.

Lusztig a ensuite prouvé [Classification of unipotent representations of simple p-adic groups. Internat. Math. Res. Notices 1995, no. 11, 517–589] une "correspondance affine généralisée de Springer". Pour paraphraser : les paramètres de Langlands unipotents correspondent exactement aux représentations unipotentes -- une généralisation de reps avec un vecteur fixe d'Iwahori, dans laquelle la notion de vecteur fixe d'Iwahori (donnée par la représentation triviale du tore fini, donc du Borel fini, donc d'Iwahori) est remplacée par une représentation cuspidale unipotente d'un Lévi du groupe de Chevalley correspondant.

Cette distinction (unipotente vs fixe d'Iwahori) n'apparaît pas dans les Langlands géométriques -- il apparaît que les analogues catégoriques des représentations unipotentes ont des vecteurs fixes d'Iwahori. Ceci est par exemple bien compris pour les groupes réducteurs (plutôt que les groupes de boucles), où toutes les représentations unipotentes proviennent de la décatégorisation de la catégorie de Hecke finie. De même, si vous prenez formellement la trace catégorielle de Frobenius sur une version (convenablement mélangée ! !) de la dualité de Langlands de Bezrukavnikov pour la catégorie d'Iwahori-Hecke (citée par le Dr. Evil), vous obtenez (jusqu'à des problèmes de support singulier) la catégorie complète des réassemblages cohérents sur la pile des paramètres de Langlands unipotents -- c'est-à-dire la maison (grâce au théorème de Lusztig) de toutes les représentations unipotentes de notre groupe original.

Section des critiques et des évaluations

Si vous avez une hésitation ou un moyen de clarifier notre essai, nous vous rappelons d'ajouter une explication et nous l'observerons avec plaisir.



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