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Topologie de la séquence de Kummer etale

Nous recherchons dans différents forums afin de vous montrer la solution à votre dilemme, si vous avez encore des questions vous pouvez nous laisser votre question et nous y répondrons avec plaisir, car nous sommes là pour vous aider.

Solution :

$newcommand{un}{mathrm{un}}$$newcommand{Z}{mathbb{Z}}$$newcommand{Q}{mathbb{Q}}$$NNouvelle commande{Gal}{mathrm{Gal}}$Nouvelle commande{NHom}{mathrm{Hom}}$Nouvelle commande{NSpec}{mathrm{Spec}}$$ Voici un complément à Adrien Morin d'Adrien Morin. Sa réponse traite du cas où $S$ est le spectre d'un champ non parfait. Ce post abordera le cas plus subtil de $S=mathrm{Spec}(mathbb{Z})$.

Nous faisons l'affirmation suivante :

Revendication 1 : Soit $n$ est un nombre entier tel qu'il existe un nombre premier $p>2$ tel que $pmid n$. Alors la séquence
$0to mu_ntomathbb{G}_mtomathbb{G}_mto 0$$$
des présheaves abéliennes sur mathrm{Spec}(mathbb{Z})$ est exact dans la topologie fppf mais pas dans la topologie étale. En particulier, l'exactitude échoue à la seconde $mathbb{G}_m$ terme.

Le fait qu'il s'agisse d'une courte suite exacte de gerbes fppf est classique. A savoir, l'exactitude à tous les points sauf le second. $mathbb{G}_m$-est claire. Si $Xtomathrm{Spec}(mathbb{Z})$ est un objet quelconque du site fppf de $mathrm{Spec}(mathbb{Z})$. et $uin mathcal{O}_X(X)^times$ alors le morphisme affine $underline{mathrm{Spec}}(mathcal{O}_X[t]/(t^p-u))to X$ est une couverture fppf sur laquelle $u$ obtient un $p^text{th}$ racine, ce qui montre l'exactitude à la deuxième $mathbb{G}_m$ dans la topologie fppf. Il est également clair que le seul endroit où l'exactitude de cette séquence peut échouer en tant que gerbes sur le site d'Etale de $mathrm{Spec}(mathbb{Z})$ est au deuxième $mathbb{G}_m$.

Pour aller plus loin, rappelons que la séquence de préshavages

$$0tomu_ntomathbb{G}_mtomathbb{G}_mto 0$$

est exacte sur le site étale de mathrm{Spec}(mathbb{Z})$ si et seulement si pour tous les points géométriques $overline{s}$ de $mathrm{Spec}(mathbb{Z})$. la séquence

$0to mu_n(mathcal{O}_{S,overline{s})to mathcal{O}_{mathrm{Spec}(Z),overline{s}}^timesxrightarrow{xmapsto x^n}mathcal{O}_{mathrm{Spec}(Z),overline{s}^timesto 0qquad (1)$$

est exacte. Ceci découle de Tag03PU et du fait que si $mathcal{F}$ est un présheaf représentable sur $mathrm{Spec}(mathbb{Z})$. étant donné $mathrm{Hom}(-,X)$ avec $Xtomathrm{Spec}(mathbb{Z})$ de type fini alors

$$begin{aligned} mathcal{F}_{overline{s}} &=varinjlim_{(U,overline{u})}mathcal{F}(U) &=varinjlim_{(U, overline{u})}Hom(U,X) &overset{(*)}{=}Hom(varprojlim_{(U,overline{u})}U,X) &= Hom(Spec(varinjlim_{(U, overline{u})}mathcal{O}_U(U)),X) &= Hom(mathrm{Spec}(mathcal{O}_{mathrm{Spec}(mathbb{Z}),overline{s}}),X) &= X(mathcal{O}_{mathrm{Spec}(mathbb{Z}),overline{s}})end{aligned}$$$

$(ast)$ découle de l'étiquette 01ZC.

Maintenant, supposons que $overline{s}:mathrm{Spec}(k(overline{s}))to S$ est un point géométrique de $S$ ayant pour racine le point $p$. Soit ${overline{mathbb{F}_p}$ désigne la fermeture algébrique (=séparable) de $mathbb{F}_p$ . dans $k(overline{s})$. Alors, $mathcal{O}_{S,overline{s}}$ n'est rien d'autre que la stricte henselisation de $mathbb{Z}$ à $(p)$ que nous désignons par $R$.

Ainsi, on voit pour montrer que la suite de Kummer n'est pas exacte qu'il suffit de montrer que la suite des groupes abéliens.

$0to mu_n(R)to R^timesxrightarrow{xmapsto x^n} R^timesto 0$$$

n'est pas exact, ou, vraiment qu'il n'est pas exact à la seconde. $R^times$ ou que tous les éléments de $R^times$ a un $n^text{th}$ -racine. Nous allons le faire en montrant qu'il existe des éléments de $R^times$ qui n'ont pas $p^text{th}$ de racines.

Faisons l'affirmation suivante :

Lemme 1 : L'anneau $R$ est la fermeture intégrale de $mathbb{Z}_{(p)}$ dans l'anneau des nombres entiers $mathbb{Z}_p^un$ dans $Q_p^un$ l'extension maximale unramifiée de $Q_p$.

Preuve : Soit $S$ désigne l'hensélisation de $Z_{(p)}$ à $(p)$. Ensuite, $S$ est la fermeture intégrale de $Z_{(p)}$ dans $Z_p$. Il y a plusieurs façons de voir cela. L'une consiste à utiliser l'approximation d'Artin. On peut aussi utiliser la construction des henselisations dans le livre de Nagata Anneaux locaux (milieu de la page 180). Là, puisque $mathbb{Z}_{(p)}$ est normal (avec un champ de résidus parfait), il construit $S$ comme suit . Soit $widetilde{S}$ est la fermeture intégrale de $mathbb{Z}_{(p)}$ dans $overline{mathbb{Q}}$. Soit $mathfrak{p}$ est un nombre premier de divisant $p$. Soit D:=D(mathfrak{p}mid p)subseteq mathrm{Gal}(overline{mathbb{Q}}/Q)$. désignent le groupe de décomposition de {{mathfrak{p}}}$ et du groupe de décomposition de -le sous-groupe des éléments du groupe de Galois fixant $mathfrak{p}$. Ensuite, il décrit $S$ comme $widetilde{S}^D$.

Notez cependant que compléter $overline{Q}$ à $mathfrak{p}$ on obtient le champ $mathbb{C}_p$ de nombres complexes et on peut identifier $D$ avec $mathrm{Gal}(overline{Q_p}/Q_p)$ ou les automorphismes conservant la norme de $mathbb{C}_p/Q_p$. Notons alors que $S$ s'incarne dans le $Gal(N-overline{Q_p}/Q_p)$ -invariants de $mathbb{C}_p$. Mais, ce ne sont rien de plus que $Q_p$ (voir par exemple la proposition 2.1.2 de
ceci). Ainsi , $S$ est évidemment contenue dans la fermeture intégrale de $Z_{(p)}$ dans $Z_p$. Mais, l'inclusion inverse est claire.

Pour déduire maintenant que $R$ est la fermeture intégrale de $Z_{(p)}$ dans $Z_p^un$ nous procédons comme suit. Notez que le champ de résidus $S$ est $mathbb{F}_p$ et donc, par Tag0BSL, il suffit que pour chaque $ngeqslant 1$ construire l'unique couverture étale finie et connectée $mathrm{Spec}(R_n)$ de $S$ avec champ de résidus $mathbb{F}_{p^n}$. Notez cependant que cela peut être facilement vu $R_n=S[zeta_{p^n-1}]$ qui est clairement la fermeture intégrale de $S$ dans $Z_{p^n}$.(l'anneau des entiers de l'unique extension nonramifiée de degré $n$ ) depuis $Z_{p^n}=Z[zeta_{p^n-1}]$. En laissant $n$ tendre vers l'infini donne le résultat souhaité. $N- Blacksquare$

De là, on obtient le corollaire suivant :

Corollaire 1 : Un élément $uin R^times$ possède un $p^text{th}$ racine dans $R^times$ si et seulement si il existe une racine $alpha$ de $x^p-u$ tels que $Q_p(alpha)/Q_p$ est unramifié.

Preuve : Remarquez que puisque l'équation $x^p-u=0$ est monique et $R$ est intégralement fermé dans $Q_p^un$ nous voyons que cette équation a une solution dans $R$ (si et seulement si elle a une solution $R^times$ pour des raisons évidentes) si et seulement si elle a une solution en $Q_p^un$. De plus, une telle solution $alpha$ dans $N-overline{Q_p}$ se trouvera dans $Q_p^un$ si et seulement si $Q_p(alpha)/Q_p$ est unramifié. $N- Blacksquare$

Ainsi, pour terminer la preuve de l'affirmation, il suffit de produire des éléments de $uin R^times$ tels que pour toute racine $alpha$ de $x^p-u$ dans $overline{mathbb{Q}_p}$ nous avons que $Q_p(alpha)/Q_p$ est ramifié.

A savoir, nous avons ce qui suit :

Lemme 2 : Soit $uin R^times$ est tel que $u=1mod p$ mais $une 1mod p^2$. Alors, pour toutes les racines $alpha$ de $x^p-u$ dans $overline{{Q_p}$ nous avons que $Q_p(alpha)/Q_p$ est totalement ramifié de degré $p$.

Preuve : Ensemble $f(x)=x^p-u$ puis en substituant $x=t+1$ donne le polynôme

$$f(t)=t^p+p q(t)-(u-1)$$

$q(t)in mathbb{Z}[t]$ (ce qui découle du théorème binomial). Ceci montre que $f$ est Eisenstein et donc irréductible. L'affirmation de ramification découle alors de la théorie classique des nombres algébriques (voir par exemple le théorème 3.1 de celle-ci). $blacksquare$

Ainsi, par exemple, nous voyons que $1+pin R^times$ n'a pas de $p^text{th}$ racine.

Comme autre exemple, laissez $qinZ$ être comme dans la réponse de Minseon Shin. Notez alors que puisque $q^{p-1}ne 1mod p^2$ implique que son ordre dans $(Z/p^2Z)^timescong mathbb{Z}/p(p-1)Z$ est divisible par $p$. Ainsi, nous voyons que $q':=q^{p-1}$ satisfait à $(q')^{p-1}ne 1mod p^2$ et donc $q'$ n'a pas $p^text{th}$ racine dans $R^times$ comme dans la réponse de Minseon Shin. Mais, ce qui précède donne une preuve alternative que $q'$ n'a pas de racine dans $R^times$ puisque $q'=1mod p$ mais $q'ne 1mod p^2$. Inversement, ce qui précède montre en fait que pour tout $q$ comme dans la réponse de Minseon Shin et toute racine $alpha$ de $x^p-q$ dans $overline{mathbb{Q}_p}$ nous avons que $Q_p(alpha)/Q_p)$ est ramifié.

En fait, nous pouvons décrire explicitement le cokernel de l'expression $p^text{th}$ carte de puissance sur $R^times$:

Revendication 2 : Le cokernel de $R^times{{i1}flèche droite{i} {{i1}mapsto x^p}R^times$}. peut être identifié avec $overline{mathbb{F}_p}$.

Preuve : Notons que chaque élément de $fin R^times$ peut être écrit de manière unique sous la forme $f=zeta u$ avec ${zeta} dans mu^p(R)$ et $u=1mod p$

$$mu^p(R):=bigcup_{(m,p)=1}mu_m(R)$$.

En effet, notons que nous avons une carte de Teichmuller multiplicative. $[-]:overline{mathbb{F}_p}^timesto R^times$ qui découle de l'henselianité. Si l'on est plus familier avec la construction vectorielle de Witt, une autre façon de voir l'existence de cette carte est de noter que.$Rsubseteq Z_p^mathrm{un}subseteq W(overline{mathbb{F}_p})$ car ce dernier anneau est la complétion du premier. Par la théorie classique, nous avons une carte de Teichmuller multiplicative. $[-]:overline{mathbb{F}_p}^timesto W(overline{mathbb{F}_p})^times$. Mais, comme l'image de $[-]$ atterrit dans $Z_p^^mathrm{un}$ (puisque celle-ci contient déjà toutes les primes à $p$ racines d'unité) et celles-ci sont intégrales sur ${mathbb{Z}_{(p)}$ elles sont situées dans $mu^p(R)subseteq R^times$.

Ainsi donc, notons que pour tout $fin R^times$ on peut écrire

$$f=[fmod p]([fmod p]^{-1} f)$$

ce qui donne une décomposition $f=zeta u$ comme souhaité. L'unicité est claire.

Notons que le $p^text{th}$ -est surjective sur $mu^p(R)$ et nous voyons donc que $R^times/(R^times)^p$ peut être identifié avec $(1+pR)/(1+pR)^p$. Nous affirmons que ceci est isomorphe à $overline{mathbb{F}_p}$. Pour ce faire, nous notons d'abord le lemme suivant :

Lemme 3 : Soit $uin R^times$ est tel que $u=1mod p$. Alors, $u$ a $p^text{th}$ racine dans $R^times$ si et seulement si $u=1mod p^2$.

Preuve : La nécessité de l'affirmation est claire d'après le lemme 2. Ainsi, il suffit de montrer que si $u=1mod p^2$ alors $u$ a un $p^text{th}$ racine. Notez que puisque $uin R_n:= S[zeta_{p^n-1}]$ (c'est-à-dire $R_n$ est la fermeture intégrale de $Z_{(p)}$ dans $Z_{p^n}=Z_p[zeta_{p^n-1}]$) il suffit de montrer que $u$ possède un $p^text{th}$ racine dans $R_n$. Mais, puisque $R_n$ est intégralement fermé dans il suffit de montrer que $u$ possède un $p^text{th}$ racine dans $Z_{p^n}$. Notez cependant que puisque $|u-1|leqslant p^{-2}$ nous avons que $log(u)$ existe dans Z_{p^n}^{i1}-times$. et $|log(u)|=|u-1|$ (voir par exemple le théorème 8.7 de ceci). Puisque $|log(u)||leqslant p^{-2}$ nous savons que $p^{-1}log(u)in Z_{p^n}^times$ et, en fait, $|p^{-1}log(u)|leqslant p^{-1}$. Ainsi, nous voyons que $exp(p^{-1}log(u)$ est un élément bien défini de $Z_{p^n}^times$. Notant alors que $exp(p^{-1}log(u))^p=u$ termine l'affirmation. $N- Blacksquare$

A partir de là, il est facile de voir que $(1+p R)/(1+pR)^p$ peut être identifié avec $(1+pR)/(1+p^2 R)$. Pour voir que ceci est isomorphe à $overline{mathbb{F}_p}$ nous pouvons procéder comme suit. Notez que nous avons un isomorphisme

$$(1+p R)/(1+p^2 R)to pR/p^2 R$$$

donné en prenant 1+px$ à $px$. Il suffit donc d'expliquer pourquoi $pR/p^2 Rcong overline{mathbb{F}_p}$. Mais, ceci est facile puisque $overline{mathbb{F}_p}cong R/pR$ et nous avons un isomorphisme naturel $R/pRà pR/p^2 R$ donné par $xmapsto px$. $N- Blacksquare$


En guise de dernier point, voici quelque chose à signaler. A priori, on pourrait croire que ce qui se joue réellement ici, c'est le fait.$p$ n'est pas inversible dans $mathbb{Z}$. Mais, notez ce qui suit :

Observation 1 : Si $S$ est un schéma sur $mathbb{F}_p$ qui est parfait (c'est-à-dire que le Frobenius absolu $F_S:Sto S$ est un isomorphisme), alors il en va de même pour toutes les cartes étales $Xà S$.

Preuve : Ceci découle du fait que, puisque $X/S$ est étale, nous avons que $F_{X/S}:Xto X^{(p)}$ est un isomorphisme. En effet, notons que $F_{X/S}$ est un homéomorphisme universel par Tag0CCB. Mais, en plus, on voit que la composition $Xto X^{(p)}to S$ est étale puisqu'elle coïncide avec $Xto S$. Mais, en plus la diagonale de $X^{(p)}à S$ est étale (en fait un encastrement ouvert) puisque $X^{(p)}$. est étale (étant le pullback de la carte $Xto S$ le long de F_S$ ). Ainsi, par le lemme d'annulation $F_{X/S}$ est étale. Mais, par Tag025G ce fait que $F_{X/S}$ est un homéomorphisme étale implique que c'est un isomorphisme. Enfin, notons que $F_X$ est la composition de $F_{X/S}$ et de la carte $X^{(p)}to X$ (qui est un changement de base de F_S$ et donc un isomorphisme) et donc un isomorphisme $blacksquare$

Corollaire 2 : Si
$S$ est un parfait $mathbb{F}_p$-alors le $p$
-Séquence Kummer $$0tomu_ptomathbb{G}_mtomathbb{G}_mto 0$$ est exacte sur le site étale de $S$.

Preuve : Soit xxxx à s$ est un objet du site étale de $S$ et laissons $uin mathcal{O}_X(X)^times$. Nous voulons montrer que etale localement sur $X$ nous avons que $u$ est un $p^text{th}$ puissance. Mais, puisque $Xto S$ est etale par l'observation ci-dessus, nous voyons que $X$ est parfaite donc, en fait, $u$ est un $p^text{th}$ puissance déjà dans $X$. $N- Blacksquare$

Donc, le $p$ -Kummer est une séquence exacte sur tout champs de résidus de $mathrm{Spec}(mathbb{Z})$. puisque ces champs de résidus sont soit caractéristiques, soit non $p$ soit parfaits de caractéristique $p$ , mais n'est pas une suite étale intégrale sur $mathrm{Spec}(mathbb{Z})$. Quelque chose de très subtil et intéressant se passe intégralement !

Je suis en train de rédiger (après des discussions avec Alex Youcis) un argument de Piotr Achinger.

Nous montrons que pour tout nombre premier $p$ la séquence de Kummer begin{align*} 1 to mu_{p} to mathbb{G}_{m} stackrel{times p}{to} mathbb{G}_{m} to 1 end{align*} n'est pas exacte sur le site étale de $mathbb{Z}$.

Il suffit de montrer qu'il existe un entier $q$ pour lequel l'unité $q in mathbb{G}_{m}(mathbb{Z})[frac{1}{q}])$ n'a pas de valeur étale-locale $p$ e racine. Choisir $q$ de telle sorte que p,q = 1 et $q^{p-1} notequiv 1 pmod{p^{2}}$ ; nous pouvons faire cela pour tout nombre premier $p$ puisque $(mathbb{Z}/(p^{2}))^{times}$ est cyclique d'ordre p(p-1)$. (Par exemple, si $p = 2$ alors $q = 3$ fonctionne.)

Supposons qu'il existe une couverture étale $f : U to operatorname{Spec} mathbb{Z}[frac{1}{q}]$ tel que $f^{ast}q$ a un $p$ e racine dans $mathbb{G}_{m}(U)$. Après avoir remplacé $U$ par l'union disjointe de sous-schémas ouverts affines finiment nombreux de $U$ dont les images dans $N-operatorname{Spec} mathbb{Z}[frac{1}{q}]$ forment un recouvrement, nous pouvons supposer que $U$ est affine. Puisque $gcd(p,q) = 1$. , les immersions fermées $N-operatorname{Spec} mathbb{Z}/(p^{n}) à operatorname{Spec} mathbb{Z}$ facteur par N-operatorname{Spec} mathbb{Z}[frac{1}{q}]$. Définir $U_{n} := U times_{i1}opérateur{i}{i1}spécifique} mathbb{Z}[1/q]} operatorname{Spec} mathbb{Z}/(p^{n+1})$. Ici, chaque $U_{n}$ est non vide, quasi-compacte, etale sur $mathbb{Z}/(p^{n+1})$ et est donc l'union disjointe d'un nombre fini de $operatorname{Spec}$. de finis etale $mathbb{Z}/(p^{n+1})$ (voir le lemme ci-dessous ; ici nous utilisons le fait que les cartes étales sont localement quasi-finies, donc les extensions étales des anneaux Artiniens sont Artiniennes). Les cartes sous-jacentes de $U_{n} à U_{n+1}$. sont des homéomorphismes ; choisissez une composante connectée $V_{0}$ de $U_{0}$ et soit $V_{n}$ est l'unique composante connectée de $U_{n}$ correspondant à $V_{0}$ sous la carte $U_{0} to U_{n}$. Disons que $V_{n} := operatorname{Spec}$. A_{n}$. On considère le $n=0,1$ cas ; puisque $mathbb{Z}/(p^{2}) to A_{1}$ est plat, la tensorisation de la séquence begin{align*} 0 to (p)/(p^{2}) to mathbb{Z}/(p^{2}) to mathbb{Z}/(p) to 0 end{align*} par mathbb{Z}/(p^{2}) to A_{1}$ donne une suite exacte begin{align*} 0 to (p)/(p^{2}) otimes_{mathbb{Z}/(p^{2})} A_{1} to A_{1} N- à A_{1} otimes_{mathbb{Z}/(p^{2})} mathbb{Z}/(p) à 0 end{align*} de $A_{1}$ -modules. Ici $A_{1} otimes_{mathbb{Z}/(p^{2})} mathbb{Z}/(p) simeq A_{0}$(isomorphisme en $A_{1}$-algebras) par définition des $A_{n}$ , et $pA_{1} simeq (p)/(p^{2}) otimes_{mathbb{Z}/(p^{2})} A_{1} simeq A_{0}$(isomorphisme en $A_{1}$ -modules) puisque $(p)/(p^{2}) simeq mathbb{Z}/(p)$. Ainsi, la séquence exacte ci-dessus est équivalente à begin{align*} 0 to pA_{1} to A_{1} to A_{0} to 0 end{align*} ce qui induit une séquence exacte begin{align*} 1 to 1+pA_{1} to A_{1}^{times} to A_{0}^{times} to 1 end{align*} impliquant les groupes d'unités puisque $pA_{1}$ est un idéal carré-zéro de $A_{1}$. On a que $A_{0}$(étant une extension étale finie (connectée) de $mathbb{F}_{p}$ (étant une extension étale finie de) ) est isomorphe à $mathbb{F}_{p^{k}}$ pour certains $k ge 1$ d'où $|A_{0}^{times}| = p^{k}-1$ et $|pA_{1}| = |A_{0}| = p^{k}$; ainsi $|A_{1}^{times}| = p^{k}(p^{k}-1)$ ; en fait, chaque élément de $A_{1}^{times}$ est p(p^{k}-1)$. -torsion puisque $pA_{1}$ est $p$ -torsion.

Par l'hypothèse que $U$ possède un $p$ e racine de $q$ on a que $A_{1}$ possède un $p$ e racine de $q$ disons $x^{p} = q$ pour un certain $x in A_{1}^{times}$. En élevant les deux côtés à la puissance de $p^{k}-1$ , on a $q^{p^{k}-1} = 1$ dans $A_{1}$. Puisque la carte ${mathbb{Z}/(p^{2}) to A_{1}$ est injective (puisqu'elle est fidèlement plate), nous avons que $q^{p^{k}-1} = 1$ dans $mathbb{Z}/(p^{2})$. On a $q^{p(p-1)} equiv 1 pmod{p^{2}}$ puisque $p(p-1) = varphi(p^{2})$ ; puisque $p^{k}-1 equiv p-1 pmod{p(p-1)}$ pour tout $k ge 1$ on a $q^{p-1} equiv 1 pmod{p^{2}}$ ; ceci contredit notre choix de $q$.

Lemme: Soit $varphi : A to B$. est une carte d'anneau de type fini où $A,B$ sont des anneaux artiniens. Alors $Varphi$ est fini.

Preuve: On peut supposer que $A$ est local, disons avec un idéal maximal $mathfrak{m}$ ; puisque $B$ est le produit fini d'anneaux locaux d'Artin, on peut supposer que $B$ est local, disons avec un idéal maximal $mathfrak{n}$ ; il existe un certain $s gg 0$ telle que $mathfrak{n}^{s} = 0$. Soit $k := A/mathfrak{m}$ et {i1}Cellule := B/mathfrak{n}$. désignent les champs de résidus de $A$ et $B$ ; alors $ell/k$ est une extension finie (c'est le Nullstellensatz), et $B$ possède une filtration $0 = mathfrak{n}^{s} subseteq mathfrak{n}^{s-1} subseteq dotsb subseteq mathfrak{n} subseteq B$ où chaque quotient successif $mathfrak{n}^{i}/mathfrak{n}^{i+1}$ sont de dimension finie comme <<<>-espaces vectoriels, donc de dimension finie en tant que $k$-et donc finiment générés sous forme de $A$ -modules ; d'où $B$ est lui-même finiment généré comme un $A$ -module.

Je n'ai pas réfléchi à la manière de le faire sur $mathrm{Spec}(mathbb{Z})$ mais je pense que vous devriez regarder la tige d'un point géométrique de caractéristique. $p$$p$ divise $n$. Il suffit alors de montrer la non-surjectivité à cette tige. Je suis moi-même en train d'apprendre la cohomologie étale et je n'ai pas encore appris les stalks donc je vais le faire d'une autre manière.

Rappelons que pour un champ $k$ , il existe une équivalence de catégorie entre les gerbes abéliennes sur {{mathrm{Spec}(k)}${mathrm{ét}}$. et les continues $mathrm{Gal}(k^{mathrm{sep}}/k)$ -modules, donnés par $F mapsto varinjlim F(k')$ où la limite passe par les extensions séparables finies de
$k$.

Maintenant si on regarde votre problème, ce qui nous embête c'est qu'il faut regarder toutes les couvertures étales, qui peuvent être nombreuses. Une façon de résoudre ce problème est de prendre un espace qui n'a que des couvertures étales* "triviales", à savoir le spectre d'un champ fermé séparable. Alors le théorème ci-dessus donne une équivalence des catégories entre les réas abéliens sur {{mathrm{Spec}(k)_{mathrm{ét}}$ et les groupes abéliens (le groupe de Galois est trivial), donnée par $F mapsto F(mathrm{Spec}(k))$ (seule l'extension triviale est séparable finie). Cela signifie (une équivalence est "fidèlement" exacte) qu'il suffit de vérifier que votre séquence n'est pas exacte lorsqu'elle est évaluée à.$mathrm{Spec}(k)$.
Maintenant, lorsque nous faisons cela, nous obtenons la séquence habituelle. $$ 0 rightarrow mu_{n} rightarrow k^{times} xrightarrow[n]{} k^{times} rightarrow 0$$ Si $n=p=mathrm{char}(k)$ , la surjectivité dirait que chaque élément de $k$ est un $p$-puissance. Maintenant, en prenant $k=(mathbb{F}_p(T))^mathrm{sep}$ on remarque que l'élément $T in k$ n'est pas un $p$ -ième puissance puisque l'équation $X^p-T$ est irréductible et non séparable, nous en avons donc terminé.

*Un étale $mathrm{Spec}(k)$ dans ce cas est couvert par des sous-schémas ouverts qui sont étales de type fini sur $mathrm{Spec}(k)$., donc finis et discrets, avec des anneaux locaux extensions séparables finies de $mathrm{Spec}(k)$. , donc ils sont de la forme $coprod_{i=1}^n mathrm{Spec}(k)$. Ceci montre qu'une étale $mathrm{Spec}(k)$-est juste un espace discret avec des anneaux locaux donnés par . $k$ , c'est-à-dire $coprod_I mathrm{Spec}(k)$.

EDIT : quand on regarde la séquence pour $overline{mathbb{F}_p}$ qui est la fermeture séparable de $mathbb{F}_p$ . , puisque ${mathbb{F}_p$} est parfaite, la séquence est en fait exacte. Donc je pense que tu ne peux pas faire fonctionner ton contre-exemple. Mais tout schéma qui a un point géométrique la fermeture séparable d'un champ non parfait de caractéristique.$p$ devrait fournir un contre-exemple pour $n$ divisible par $p$. Encore une fois, je ne connais pas beaucoup les points géométriques et les tiges à eux pour les réas abéliens étales, donc prenez ceci avec un grain de sel, il peut être un non-sens.



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